平面向量的数量积及运算律（2）

　　教学目的：
　　1 掌握平面向量数量积运算规律；
　　2 能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；
　　3 掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题
　　教学重点：平面向量数量积及运算规律
　　教学难点：平面向量数量积的应用
　　授课类型：新授课
　　课时安排：1课时
　　教 具：多媒体、实物投影仪
　　内容分析：
　　启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质
　　教学过程：
　　一、复习引入：
　　1．两个非零向量夹角的概念
　　已知非零向量 与 ，作   ，   ，则 ａｏｂ θ（０ θ π）叫 与 的夹角
　　2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量 与 ，它们的夹角是θ，则数量| || |cos叫 与 的数量积，记作  ，即有  = | || |cos，
　　（０ θ π） 并规定 与任何向量的数量积为0
　　3．＂投影＂的概念：作图
　　定义：| |cos叫做向量 在 方向上的投影
　　投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当 = 0时投影为 | |；当 = 180时投影为 | |
　　4．向量的数量积的几何意义：
　　数量积  等于 的长度与 在 方向上投影| |cos的乘积
　　5．两个向量的数量积的性质：
　　设 、 为两个非零向量， 是与 同向的单位向量
　　1  =  =| |cos；2    = 0
　　3当 与 同向时，  = | || |；当 与 反向时，  = | || |
　　特别的  = | |2或
　　4cos = ；5|  |   | || |
　　6．判断下列各题正确与否：
　　1若 = ，则对任一向量 ，有  = 0 (   )
　　2若  ，则对任一非零向量 ，有   0 (   )
　　3若  ，  = 0，则 = (   )
　　4若  = 0，则 、 至少有一个为零 (   )
　　5若  ，  =  ，则 = (   )
　　6若  =  ，则 = 当且仅当  时成立 (   )
　　7对任意向量 、 、 ，有(  )  (  ) (   )
　　8对任意向量 ，有 2 = | |2 (   )
　　二、讲解新课：
　　平面向量数量积的运算律
　　1．交换律：  = 
　　证：设 ， 夹角为，则  = | || |cos，  = | || |cos
　　 = 
　　2．数乘结合律：( ) = (  ) = ( )
　　证：若 > 0，( ) = | || |cos， (  ) = | || |cos， ( ) = | || |cos，
　　若 < 0，( ) =| || |cos() =  | || |(cos) = | || |cos，
　　(  ) = | || |cos，
　　( ) =| || |cos() =  | || |(cos) = | || |cos
　　3．分配律：( + ) = c + 
　　在平面内取一点o，作 = , = ， = ，
　　+ （即 ）在 方向上的投影等于 、 在 方向上的投影和，
　　即 | + | cos = | | cos1 + | | cos2
　　| | | + | cos =| | | | cos1 + | | | | cos2
　　( + ) =  +  即：( + ) =  + 
　　说明：（1）一般地，( • )   （ • ）
　　（2） •   • ，
　　（3）有如下常用性质： ２   ２，
　　（   ）（   ）  •   •   •   •
　　(   )２  ２ ２ •   ２
　　三、讲解范例：
　　例1 已知 、 都是非零向量，且 + 3 与7  5 垂直，  4 与7  2 垂直，求 与 的夹角
　　解：由( + 3 )(7  5 ) = 0  7 2 + 16  15 2 = 0 ①
　　(  4 )(7  2 ) = 0  7 2  30  + 8 2 = 0 ②
　　两式相减：2  = 2
　　代入①或②得： 2 = 2
　　设 、 的夹角为，则cos =   = 60
　　例2 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和
　　解：如图： abcd中， ， ， =
　　| |2=
　　而 =
　　| |2=
　　| |2 + | |2 = 2 =
　　例3 四边形abcd中，   ，   ，   ，   ，且 •   •   •   • ，试问四边形abcd是什么图形?
　　分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量
　　解：四边形abcd是矩形，这是因为：
　　一方面：         0，
　　－（   ）， (   )２ （   ）２
　　即   ２ ２ •    ２   ２ ２ •    ２
　　由于 •   • ，
　　２   ２   ２   ２①
　　同理有   ２   ２   ２   ２②
　　由①②可得     ，且     即四边形abcd两组对边分别相等
　　四边形abcd是平行四边形
　　另一方面，由 •   • ，有 （ － ） ０，而由平行四边形abcd可得  － ，代入上式得 •(2 ) ０
　　即 •  ０，    也即ab bc
　　综上所述，四边形abcd是矩形
　　评述：(1)在四边形中， ， ， ， 是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即         ，应注意这一隐含条件应用；
　　(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系
　　四、课堂练习：
　　1 下列叙述不正确的是（ ）
　　a 向量的数量积满足交换律  b 向量的数量积满足分配律
　　c 向量的数量积满足结合律  d • 是一个实数
　　2 已知| |=6,| |=4, 与 的夹角为６０ ，则( +2 )•( -3 )等于（ ）
　　a 72 b -72  c 36  d -36
　　3 | |=3,| |=4,向量 + 与 - 的位置关系为（ ）
　　a 平行 b 垂直  c 夹角为  d 不平行也不垂直
　　4 已知| |=3,| |=4,且 与 的夹角为150 ，则( + )２
　　5 已知| |=2,| |=5, • =-3,则| + |=______,| - |=
　　6 设| |=3,| |=5,且 +λ 与 －λ 垂直，则λ
　　参考答案：1 c 2 b 3 b 4 ２ ５ －１+2 5 6
　　五、小结 通过本节学习，要求大家掌握平面向量数量积的运算规律，掌握两个向量共线、垂直的几何判断，能利用数量积的5个重要性质解决相关问题
　　六、课后作业
　　1 已知| |=1,| |= ,且( - )与 垂直，则 与 的夹角是（ ）
　　a 60   b 30   c 135   d ４５
　　2 已知| |=2,| |=1, 与 之间的夹角为 ，那么向量   -4 的模为（）
　　a 2  b 2   c 6  d 12
　　3 已知 、 是非零向量，则| |=| |是( + )与( - )垂直的（ ）
　　a 充分但不必要条件  b 必要但不充分条件
　　c 充要条件 d 既不充分也不必要条件
　　4 已知向量 、 的夹角为 ，| |=2,| |=1,则| + |•| - |=
　　5 已知 + =2 -8 , - =-8 +16 ,其中 、 是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量，那么 • =
　　6 已知   、 与 、 的夹角均为60 ，且| |=1,| |=2,| |=3,则( +2 - )２ ______
　　7 已知| |=1,| |= ,(1)若   ,求 • ;(2)若 、 的夹角为６０ ，求| + |； (3)若 - 与 垂直，求 与 的夹角
　　8 设 、 是两个单位向量，其夹角为６０ ，求向量 =2 + 与 =2 -3 的夹角
　　9 对于两个非零向量 、 ，求使| +t |最小时的t值，并求此时 与 +t 的夹角
　　参考答案：1 d 2 b 3 c 4 5 –63 6 11
　　7 (1)- (2) (3)45  8 120  9 90
　　七、板书设计（略）
　　八、课后记及备用资料：
　　1 常用数量积运算公式：在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方和(差)公式在解题中的应用较为广泛
　　即(   )２  ２ ２ •   ２，（ － ）２  ２－２ •   ２
　　上述两公式以及(   )( － )  ２－ ２这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用
　　2 应用举例
　　例1 已知   ２，   ５， •  －３，求     ，  －
　　解：     ２ （   ）２  ２ ２ •   ２ ２２ ２ （－３） ５２ ２３
　　， （  －  ）２ （ － ）２  ２－2 •   ２ 2２－2 （－3） ５２ 35，
　　－   ．
　　例2 已知   8，   10，     16，求 与 的夹角θ(精确到１ )
　　解： （     ）２ （   ）２  ２ 2 •   ２   ２ 2   •   ｃｏｓθ   ２
　　１６２ ８２ ２ ８ １０ｃｏｓθ １０２，
　　ｃｏｓθ  ， θ ５５