构造等角，破解中考相似存在性压轴难题

　　相似三角形存在性问题，是各地中考和模拟考试压轴题的热点问题，这种类型的题目综合性较强，更重要的是涉及方程与函数思想、数形结合思想、分类讨论等重要的思想方法，对学生分析、解决问题的能力具有较高的要求。笔者拟就最新考题为例，从构造角度的角度，解密相似存在性问题。
　　我们知道，当题目表述成文字形式的“相似”而不是符号表达的“”，此时两个相似三角形就不存在对应关系，分类复杂难辨！但命此类题大多都是有迹可循的，往往题目中涉及的两个相似三角形会存在一组关键的相等角，这组相等的角一定是对应角，从而将复杂难辨的多种分类迅速简化成最多两类情形，下面以题来论，你会更清楚！
　　典型考题
　　1。从公共角出发，构造等角
　　例1。（2019娄底中考题）如图，抛物线yaxbxc与x轴交于点A（1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，3）点P、Q是抛物线yax2bxc上的动点
　　（1）求抛物线的解析式；
　　（2）当点P在直线OD下方时，求POD面积的最大值
　　（3）直线OQ与线段BC相交于点E，当OBE与ABC相似时，求点Q的坐标
　　【解析】（1）函数的表达式为：ya（x1）（x3），将点D坐标代入上式，即可求解为：yx2x3；
　　2。平行构造相等角
　　例2。（2018德州中考题）如图1，在平面直角坐标系中，直线yx1与抛物线yxbxc交于A、B两点，其中A（m，0）、B（4，n），该抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点D
　　（1）求m、n的值及该抛物线的解析式；
　　（2）如图2，若点P为线段AD上的一动点（不与A、D重合），分别以AP、DP为斜边，在直线AD的同侧作等腰直角APM和等腰直角DPN，连接MN，试确定MPN面积最大时P点的坐标；
　　（3）如图3，连接BD、CD，在线段CD上是否存在点Q，使得以A、D、Q为顶点的三角形与ABD相似，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由
　　【解析】（1）把A与B坐标代入一次函数解析式求出m与n的值，确定出A与B坐标，代入二次函数解析式求出b与c的值即可；
　　（2）由等腰直角APM和等腰直角DPN，得到MPN为直角，由两直角边乘积的一半表示出三角形MPN面积，利用二次函数性质确定出三角形面积最大时P的坐标即可求当m2，即AP2时，SMPN最大，此时OP3，即P（3，0）；
　　（3）存在，理由如下：
　　3。由三角函数值求相等角
　　例3。（2019郴州中考题）已知抛物线yaxbx3与x轴分别交于A（3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C
　　（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
　　（2）点F是线段AD上一个动点
　　如图1，设kAFAD，当k为何值时，CF12AD？
　　如图2，以A，F，O为顶点的三角形是否与ABC相似？若相似，求出点F的坐标；若不相似，请说明理由
　　【解析】（1）将A、B两点的坐标代入二次函数解析式，用待定系数法即求出抛物线对应的函数表达式，可求得顶点D（1，4）；
　　（2）由A、C、D三点的坐标求出AC32，DC2，AD25，可得ACD为直角三角形，若CF12AD，则点F为AD的中点，可求出k的值；
　　由条件可判断DACOBC，则OAFACB，若以A，F，O为顶点的三角形与ABC相似，可分两种情况考虑：当AOFABC或AOFCAB45时，可分别求出点F的坐标
　　4。题无定角，分类讨论相等角
　　例4。（2019襄阳中考题）如图，在直角坐标系中，直线y12x3与x轴，y轴分别交于点B，点C，对称轴为x1的抛物线过B，C两点，且交x轴于另一点A，连接AC
　　（1）直接写出点A，点B，点C的坐标和抛物线的解析式；
　　（2）已知点P为第一象限内抛物线上一点，当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；
　　（3）抛物线上是否存在一点Q（点C除外），使以点Q，A，B为顶点的三角形与ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由
　　解题反思总结
　　在坐标系中确定点，使得由该点及其他点构成的三角形与其他三角形相似，即为“相似三角形存在性问题”求解的出发点为根据题目给的已知条件选择恰当的判定方法，解决问题通常相似的两三角形有一个是已知的，而另一三角形中有1或2个动点，即可分为“单动点”类、“双动点”两类问题
　　常见思路分析如下：根据相似三角形的做题经验，可以发现，判定1基本是不会用的，这里也一样不怎么用，对比判定2、3可以发现，都有角相等！所以，要证相似的两个三角形必然有相等角，关键点也是先找到一组相等角然后再找：思路1：两相等角的两边对应成比例；思路2：还存在另一组角相等事实上，坐标系中在已知点的情况下，线段长度比角的大小更容易表示，因此选择方法可优先考虑思路1，构造等角两边对应成比例解题的关键是找到一组关键的相等角，这是第一步，而这组相等的角有时题目会很明显地交代出来，有时比较隐晦，需要自己有意识地去寻找这些特殊关系！
　　其中“一线三等角”是极其重要的相似形，在解题中可将其视为“工具”，其运用分三重境界，一重境是一线上已具备三个等角，只需识别模型，再证明相似，直接运用；二重境是一条线上有两个等角，需在补上一个等角，构造模型解题；三重境是一条线上只有一个等角，需补上两个等角，构造模型解题。这种模型的关键是一线加顶点在这条线上的三个等角，解题时模型完整则直接用之，模型残缺则补全模型再用之