垂直于弦的直径

　　第一课时 垂直于弦的直径(一)
　　教学目标:
　　(1)理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程;能初步应用垂径定理进行计算和证实;
　　(2)进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力;
　　(3)通过圆的对称性,培养学生对数学的审美观,并激发学生对数学的热爱.
　　教学重点、难点:
　　重点:①垂径定理及应用;②从感性到理性的学习能力.
　　难点:垂径定理的证实.
　　教学学习活动设计:
　　(一)实验活动,提出问题:
　　1、实验:让学生用自己的方法探究圆的对称性,教师引导学生努力发现:圆具有轴对称、中心对称、旋转不变性.
　　2、提出问题:老师引导学生观察、分析、发现和提出问题.
　　通过＂演示实验——观察——感性——理性＂引出垂径定理.
　　(二)垂径定理及证实:
　　已知:在 o中,cd是直径,ab是弦,cd ab,垂足为e.
　　求证:ae=eb, = , = .
　　证实:连结oa、ob,则oa=ob.又 cd ab, 直线cd是等腰 oab的对称轴,又是 o的对称轴.所以沿着直径cd折叠时,cd两侧的两个半圆重合,a点和b点重合,ae和be重合, 、 分别和 、 重合.因此,ae=be, = , = .从而得到圆的一条重要性质.
　　垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
　　组织学生剖析垂径定理的条件和结论:
　　cd为 o的直径,cd ab ae=eb, = , = .
　　为了运用的方便,不易出现错误,将原定理叙述为:①过圆心;②垂直于弦;③平分弦;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.加深对定理的理解,突出重点,分散难点,避免学生记混.
　　(三)应用和练习
　　例1、如图,已知在 o中,弦ab的长为8cm,圆心o到ab的距离为3cm,求 o的半径.
　　分析:要求 o的半径,连结oa,只要求出oa的长就可以了,因为已知条件点o到ab的距离为3cm,所以作oe ab于e,而ae=eb= ab=4cm.此时解rt aoe即可.
　　解:连结oa,作oe ab于e.
　　则ae=eb.
　　ab=8cm, ae=4cm.
　　又 oe=3cm,
　　在rt aoe中,
　　(cm).
　　o的半径为5 cm.
　　说明:①学生独立完成,老师指导解题步骤;②应用垂径定理计算:涉及四条线段的长:弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h
　　关系:r = h d;r2 = d2 (a/2)2
　　例2、 已知:如图,在以o为圆心的两个同心圆中,大圆的弦ab交小圆于c、d两点.求证ac=bd.(证实略)
　　说明:此题为基础题目,对各个层次的学生都要求独立完成.
　　练习1:教材p78中练习1,2两道题.由学生分析思路,学生之间展开评价、交流.
　　指导学生归纳:①构造垂径定理的基本图形,垂径定理和勾股定理的结合是计算弦长、半径、弦心距等问题的常用方法;②在圆中解决弦的有关问题经常作的辅助线——弦心距.
　　(四)小节与反思
　　教师组织学生进行:
　　知识:(1)圆的轴对称性;(2)垂径定理及应用.
　　方法:(1)垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、弦心距等问题的方法,构造直角三角形;(2)在因中解决与弦有关问题经常作的辅助线——弦心距;(3)为了更好理解垂径定理,一条直线只要满足①过圆心;②垂直于弦;则可得③平分弦;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.
　　(五)作业
　　教材p84中11、12、13.
　　第二课时 垂直于弦的直径(二)
　　教学目标:
　　(1)使学生把握垂径定理的两个推论及其简单的应用;
　　(2)通过对推论的探讨,逐步培养学生观察、比较、分析、发现问题,概括问题的能力.促进学生创造思维水平的发展和提高
　　(3)渗透一般到非凡,非凡到一般的辩证关系.
　　教学重点、难点:
　　重点:①垂径定理的两个推论;②对推论的探究方法.
　　难点:垂径定理的推论1.
　　学习活动设计:
　　(一)分解定理(对定理的剖析)
　　1、复习提问:定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对应的两条弧.
　　2、剖析:
　　(教师指导)
　　(二)新组合,发现新问题:(a层学生自己组合,小组交流,b层学生老师引导)
　　, ,……(包括原定理,一共有10种)
　　(三)探究新问题,归纳新结论:
　　(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦对应的两条弧.
　　(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦对应的两条弧.
　　(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.
　　(4)圆的两条平行线所夹的弧相等.
　　(四)巩固练习:
　　练习1、＂平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧＂这句话对吗?为什么?
　　(在推论1(1)中,为什么要附加＂不是直径＂这一条件.)
　　练习2、按图填空:在 o中,
　　(1)若mn ab,mn为直径,则________,________,________;
　　(2)若ac=bc,mn为直径,ab不是直径,则则________,________,________;
　　(3)若mn ab,ac=bc,则________,________,________;
　　(4)若 = ,mn为直径,则________,________,________.
　　(此题目的:巩固定理和推论)
　　(五)应用、反思
　　例、四等分 .
　　(a层学生自主完成,对于其他层次的学生在老师指导下完成)
　　教材p80中的第3题图,是典型的错误作.
　　此题目的:是引导学生应用定理及推论来平分弧的方法,通过学生自主操作培养学生的动手能力;通过与教材p80中的第3题图的对比,加深学生对感性知识的熟悉及理性知识的理解.培养学生的思维能力.
　　(六)小结:
　　知识:垂径定理的两个推论.
　　能力:①推论的研究方法;②平分弧的作图.
　　(七)作业:教材p84中14题.
　　第三课时 垂径定理及推论在解题中的应用
　　教学目的:
　　⑴要求学生把握垂径定理及其推论,会解决有关的证实,计算问题.
　　⑵培养学生严谨的逻辑推理能力;提高学生方程思想、分类讨论思想的应用意识.
　　⑶通过例4(赵州桥)对学生进行爱国主义的教育;并向学生渗透数学来源于实践,又反过来服务于实践的辩证唯物主义思想
　　教学重点:垂径定理及其推论在解题中的应用
　　教学难点:如何进行辅助线的添加
　　教学内容:
　　(一)复习
　　1.垂径定理及其推论1:对于一条直线和一个圆来说,具备下列五个条件中的任何个,那么也具有其他三个:⑴ 直线过圆心 ;⑵ 垂直于弦 ;⑶ 平分弦 ;⑷ 平分弦所对的优弧 ;⑸ 平分弦所对的劣弧.可简记为:＂知2推3＂
　　推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等.
　　2.应用垂径定理及其推论计算(这里不管什么层次的学生都要自主研究)
　　涉及四条线段的长:弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h
　　关系:r = h d ; r2 = d2 (a/2)2
　　3.常添加的辅助线:(学生归纳)
　　⑴ 作弦心距 ;⑵ 作半径 .构造直角三角形
　　4.可用于证实:线段相等、弧相等、角相等、垂直关系;同时为圆中的计算、作图提供依据.
　　(二)应用例题:(让学生分析,交流,解答,老师引导学生归纳)
　　例1、1300多年前,我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4米,拱高(弧中点到弦的距离,也叫弓形的高)为7.2米,求桥拱的半径(精确到0.1米).
　　说明:①对学生进行爱国主义的教育;②应用题的解题思路:实际问题——(转化,构造直角三角形)——数学问题.
　　例2、已知: o的半径为5 ,弦ab cd ,ab = 6 ,cd =8 .求:ab与cd间的距离.(让学生画图)
　　解:分两种情况:
　　(1)当弦ab、cd在圆心o的两侧
　　过点o作ef ab于e,连结oa、oc,
　　又 ab cd, ef cd.(作辅助线是难点,学生往往作oe ab,of ab,就得ef=oe of,错误的结论)
　　由ef过圆心o,ef ab,ab = 6,得ae=3,
　　在rt oea中,由勾股定理,得
　　,
　　同理可得:of=3
　　ef=oe of=4 3=7.
　　(2)当弦ab、cd在圆心o的同侧
　　同(1)的方法可得:oe=4,of=3.
　　.
　　说明:①此题主要是渗透分类思想,培养学生的严密性思维和解题方法:确定图形——分析图形——数形结合——解决问题;②培养学生作辅助线的方法和能力.
　　例3、 已知:如图,ab是 o的弦,半径oc ab ,ab=24 ,oc = 15 .求:bc的长.
　　解:(略,过o作oe ae于e ,过b作bf oc于f ,连结ob.bc = )
　　说明:通过添加辅助线,构造直角三角形,并把已知与所求线段之间找到关系.
　　(三)应用练习:
　　p8l中1题.
　　在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后.截面如图所示,若油面宽ab=600mm,求油的最大深度.
　　学生分析,教师适当点拨.
　　分析:要求油的最大深度,就是求有油弓形的高,弓形的高是半径与圆心o到弦的距离差,从而不难看出它与半径和弦的一半可以构造直角三角形,然后利用垂径定理和勾股定理来解决.
　　(四)小结:
　　1. 垂径定理及其推论的应用注重指明条件.
　　2. 应用定理可以证实的问题;注重构造思想,方程思想、分类思想在解题中的应用.
　　(五)作业:教材p84中15、16题,p85中b组2、3题.
　　探究活动
　　如图,直线mn与 o交于点a、b,cd是 o的直径,ce mn于e,df mn于f,oh mn于h.
　　(1)线段ae、bf之间存在怎样的关系?线段ce、oh、df之间满足怎样的数量关系?并说明理由.
　　(2)当直线cd的两个端点在mn两侧时,上述关系是否仍能成立?假如不成立,它们之间又有什么关系?并说明理由.
　　(答案提示:(1)ae=bf,ce df=2oh,(2)ae=bf仍然成立,ce df=2oh不能成立.ce、df、oh之间应满足)