教高中生微积分基本定理

　　作者 | 张海潮（台湾大学数学系退休教授）
　　来源 | 数学传播，45卷2期，pp.12-17，好玩的数学获授权转载，在此感谢！
　　如图一所示, 微分是求函数 图形上一点切线的斜率。
　　而当 时, 积分则是求 函数图形下方, 轴上方之间的面积, 如图二所示, 阴影部分代表介于, , 轴和函数图形之间的面积(注一)。在图一的情形, 求一条直线的斜率, 需要知道两点, 因此作法是在图形上除了点 之外, 另在附近取一点, 如图三所示(注二)。
　　先求 线的斜率
　　然后再令 趋近于, 将所得的极限定为切线的斜率。式(1) 一方面是图三中割线 的斜率, 另一方面式(1)也代表当 变动到 时, 的平均变率(average rate of change), 而当 时, 式(1)的极限便是 在 点的瞬间变率 (Instantaneous rate of change at )。
　　平均或是瞬间变率的考量可以针对任意的函数, 一旦能够掌握 在 的极限 便可以从 反求, 这正是牛顿当年发现微积分基本定理的切入点。牛顿首先将图二改成图四(注三)。
　　图四
　　图四是连续函数 的图形从 到 这一段与 轴之间的面积, 在 这一点, 函数 是高度, 面积以函数 表示。牛顿的想法是求面积函数 在 点的瞬间变率。欲求 的瞬间变率, 必须先求平均变率, 因此牛顿考虑下面的图五(并见注三)。当 变化到 时, 从 到 的面积是 而 就是图五中在 上方的面积, 因此平均变率等于。如果函数 在 上是常数的话, 则 这块面积是一个以 为高度的长方形, 如图六所示：
　　在图六的情形, 不论 的大小, 都等于长方形面积 的高, 令, 自然得到 对 的瞬间变率是此长方形的高, 即。
　　一般而言面积 这一块并非长方形而是形如图七：
　　图七
　　在图七中, 令 和 分别是函数 在 上的最大值和最小值, 则显然有(注四)
　　当 时, 和 都会趋近, 因此 也会趋近, 亦即 对 的瞬间变率是, 或者说。这就是当年牛顿发现的微积分基本定理(注五)。
　　根据此一定理, 我们有下列结论：
　　如图二所示, 令 满足, 则图二中的面积等于。原因是, 因为如图四, , 如果 也等于, 则, 是一个常数(注六)。图二中的面积等于, 注意到, 所以
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　　虽然满足微分是 的函数并不唯一, 但是因为这些＂反微分＂彼此只差一个常数, 在计算 时, 所差的常数自然会对消, 因此并不重要(注七)。
　　以下, 我们补充当 不一定恒正时图四中的面积函数 应该如何定义。如图八, 当 在某一区段小于0 时, 从 到, 阴影部份的面积若是除以, 得到的＂高度＂是正的, 而非 (此处), 因此一个合理的面积函数 在图八中应该计以负值, 如此, 而 也小于0, 并且当 时, 会趋近于, 也小于0。
　　图八
　　如此一来, 只要将 时的＂面积＂计以负值, 则微积分基本定理仍然成立, 如图九
　　图九
　　函数 有正有负, 当 时阴影部分面积以正计之, 而 时阴影部分面积以负计之, 则总面积仍然会等于, 是 的反微分(注八)。
　　换句话说, 只要将 的部份, 面积以负计, 则微积分基本定理仍然成立(利用 的任一个反微分, 图九的阴影部份＂面积＂皆等于)。读者不妨试试下面这个函数, 其在 这一段的＂面积＂计算。
　　图十
　　若以反微分 代1 和-1 相减，
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　　恰是图十中阴影部分面积取负号。
　　总之, 微分是求函数图形切线的斜率, 积分是求图形与 轴之间的＂面积＂, 这面积两字需要打一引号，来说明＂面积＂是要考虑正负的。唯有如此, 微积分基本定理才会广泛的成立。因此, 可能如注八, 得到＂面积＂为0 时, 原因不过是正的面积和负的面积对消, 一点也不奇怪。
　　注一：, 以便处理 函数图形与 轴之间的面积，将来，当 时, 会引进＂负的面积＂的概念。并见注八。
　　注二：代表一个微小的量，可正可负，但是不能等于0，本文为了方便说明，均大于0。
　　注三：莫里斯⋅克莱因着古今数学思想(Morris Kline，Mathematical Thought Frome Ancient to Modern Times)中译本第69页重现了牛顿所画的图
　　图中的记号＂0＂ 相当于现在的。
　　注四：在闭区间 上有最大值和最小值，并且当 时, 最大和最小值均趋近 。
　　注五：一般认为莱布尼兹亦独立发现此定理。
　　注六：的函数统称是 的反微分或反导函数， 的所有反微分彼此只差一个常数，图五中的面积函数 是 的一个特别的反微分，它满足 。
　　注七：多项式 的反微分是 ， 是任意常数。三角函数 的反微分是, 是任意常数。下面二个函数图形阴影部份的面积分别是 和。
　　注八：简言之，若面积在 轴上方以正计，在 轴下方以负计，则＂面积＂仍然等于 。式中 是函数 的反微分。以 为例, 下图的面积0。此时若取, 则 亦等于0。