高中数学基本初等函数知识点总结及习题解析！

　　一、基本初等函数
　　1、幂函数
　　一般地，函数yxa（a为常数，aQ）叫做幂函数。
　　幂函数yxa（aQ）的性质：
　　所有幂函数在（0，）上都有定义，并且图象都经过点（1，1）。
　　若0，幂函数图象都经过点（0，0）和（1，1）在第一象限内递增；
　　若0，幂函数图象只经过点（1，1），在第一象限内递减。
　　幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限，且不经过第四象限；
　　如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是坐标原点。
　　画幂函数图象时，先画第一象限的部分，在根据函数的奇偶性完成整个图象。
　　常见幂函数的图象
　　常见幂函数的图象
　　2、指数函数
　　一般地，函数yax（0且a1）叫做指数函数，自变量x叫指数，a叫底数。
　　指数函数的定义域是R。
　　指数运算法则：
　　指数运算法则
　　指数函数yax（0且a1）的图象：
　　指数函数图象（分两种情况）
　　指数函数的主要性质：
　　指数函数yax（0且a1）定义域为R，值域（0，）；
　　函数yax（1）在R上递增，函数yax（01）在R上递减；
　　指数函数的图象经过点（0，1）。
　　3、反函数
　　一般地，对于函数yf（x），设它的定义域为D，值域为A，
　　如果对于A中任意一个值y，在D中总有唯一确定的x值与它对应，且满足yf（x），
　　这样得到的x关于y的函数叫做yf（x）的反函数，记作xf1（y），
　　习惯上自变量常用x来表示，而函数用y来表示，所以把它改写为yf1（x）（xA）。
　　（1）反函数的判定：
　　反函数存在的条件是原函数为一一对应函数；
　　定义域上的单调函数必有反函数；
　　周期函数不存在反函数；
　　定义域为非单元素的偶函数不存在反函数。
　　（2）反函数的性质：
　　函数yf（x）与函数yf1（x）互为反函数；
　　原函数yf（x）和反函数yf1（x）的图象关于直线yx对称；
　　若点（a，b）在原函数yf（x）上，则点（b，a）必在其反函数yf1（x）上；
　　原函数yf（x）的定义域是它反函数yf1（x）的值域；
　　原函数yf（x）的值域是它反函数yf1（x）的定义域，
　　原函数与反函数具有对应相同的单调性；
　　奇函数的反函数还是奇函数。
　　（3）求反函数的步骤：
　　用y表示x，即先求出xf1（y）；
　　x，y互换，即写出yf1（x）；
　　确定反函数的定义域。
　　注：
　　若函数f（axb）存在反函数，则其反函数为y1a〔f1（x）b〕，
　　而不是yf1（axb），
　　函数yf1（axb）是y1a〔f（x）b〕的反函数。
　　4、对数函数
　　一般地，对数函数
　　对数函数
　　就是指数函数
　　指数函数
　　的反函数。
　　对数函数
　　的性质：
　　对数函数ylogax的图象都在y轴的右侧，定义域（0，），值域R；
　　对数函数ylogax的图象都经过点（1，0）；
　　对数函数ylogax（1）：
　　当1时，0；当01时，0；
　　对数函数ylogax（01）：
　　当1时，0；当01时，0。
　　对数函数ylogax（1）在（0，）上是增函数，
　　对数函数ylogax（01）在（0，）上是减函数。
　　二、习题检测
　　【习题1】用定义证明：函数f（x）x1x在x〔1，）上是增函数。
　　【解析】
　　【习题2】已知函数f（x）x22ax1a在区间〔0，1〕有最大值2，求实数a的值。
　　【解析】
　　解：函数f（x）x22ax1a的对称轴为xa，
　　当0时，
　　〔0，1〕是函数f（x）的递减区间，f（x）maxf（0）1a2，解得a1；
　　当1时，
　　〔0，1〕是函数f（x）的递增区间，f（x）maxf（1）a2，解得a2；
　　当0a1时，
　　综上所述，a1或2。
　　【习题3】已知2x256，log2x12，求函数
　　的最大值和最小值。
　　【解析】
　　【习题4】已知0且a1，求使方程
　　有解时的k的取值范围。
　　【解析】
　　01或1。
　　【习题5】某商品进货单价为40元，若销售价为50元，可卖出50个，如果销售单价每涨1元，销售量就减少1个，为了获得最大利润，则此商品的最佳售价应为多少元。
　　【解析】
　　解：设最佳售价为（50x）元，最大利润为y元，
　　y（50x）（50x）（50x）40
　　x240x500
　　当x20时，y取得最大值，
　　应定价为70元。