2019年中考数学总复习：压轴题中的费马点问题

12月20日栀璃鸢投稿

　　一、费马点的由来
　　费马（PierredeFermat，16011665）是法国数学家、物理学家费马一生从未受过专门的数学教育，数学研究也不过是业余爱好然而，在17世纪的法国还找不到哪位数学家可以与之匹敌他是解析几何的发明者之一；概率论的主要创始人；以及独承17世纪数论天地的人一代数学大师费马堪称是17世纪法国最伟大的数学家尤其他提出的费马大定理更是困惑了世间智者358年费马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在ABC内求一点P，使PAPBPC之值为最小，人们称这个点为“费马点”
　　二、探索费马点
　　1当三角形有一个内角大于或等于120的时候，则费马点就是这个内角的顶点
　　下面来验证这个结论：如图1，对三角形内任意一点P，延长BA至点C，使得ACAC，作CAPCAP，并且使得APAP即把APC以A为中心做旋转变换则APCAPC，
　　BAC120，PAP60在等腰三角形PAP中，APPP，
　　PAPBPCPPPBPCBCABAC所以A是费马点
　　2如果三个内角都在120以内，那么，费马点就是三角形内与三角形三顶点的连线两两夹角为120的点
　　如图2，以B点为中心，将APB旋转60到ABP因为旋转60，且PBPB，所以PPB为正三角形因此，PAPBPCPAPPPC
　　由此可知当A，P，P，C四点共线时，PAPBPCPAPPPC为最小
　　当A，P，P共线时，BPP60，APBAPB120同理，若P，P，C共线时，则BPP60，BPC120
　　所以点P为满足APBBPCCPA120的点
　　二、费马点相关问题
　　等腰直角三角形，已知在直角平分线上的一点P，PAPBPC最小值为62，求直角边的长度？
　　解答：如图
　　将三角形PAC逆时针旋转60度得三角形DEC，则角PCD60度，三角形PCD是正三角形，PCPD且DEPA，所以PAPBPCDEPDPB，根据两点之间线段最短，当点E、D、P、B在一条直线上时，DEPDPB最小，这时BPC120，APCEDC120
　　下证这时的点P就在角ACB的平分线上。
　　在三角形DCE和PCB中，因CECACB得角E角PBC，又有EDCBPC120，
　　得三角形CDE、CPA、CBP全等，ECDACPBCP，点P在ACB的平分线上。
　　所以点P是这样一个点：它使APCBPCAPB120度（这个点叫三角形的费马点）。
　　延长CP交AB于F，则CF垂直AB，且由三角形CPA、CBP全等知PAPB，得角FPA60度，
　　设PFx，则PAPB2x，AFCF3x，PC（31）x，有2x2x（31）x62，x136。所以AFCF2，AC2CF222。
　　三、费马点与中考试题

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