例析平面直角坐标系中面积的求法

　　我们常常会遇到在平面直角坐标系中求三角形面积的问题。解题时我们要注意其中的解题方法和解题技巧。现举例说明如下。
　　一、有一边在坐标轴上
　　例1如图1，平面直角坐标系中，ABC的顶点坐标分别为（3，0），（0，3），（0，1），你能求出三角形ABC的面积吗？
　　
　　分析：根据三个顶点的坐标特征可以看出，ABC的边BC在y轴上，由图形可得BC4，点A到BC边的距离就是A点到y轴的距离，也就是A点横坐标的绝对值3，然后根据三角形的面积公式求解。
　　解：因为B（0，3），C（0，1），所以BC3（1）4。因为A（3，0），所以A点到y轴的距离，即BC边上的高为3，
　　二、有一边与坐标轴平行
　　例2如图2，三角形ABC三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（4，5），C（1，2），求三角形ABC的面积。
　　
　　分析：由A（4，1），B（4，5）两点的横坐标相同，可知边AB与y轴平行，因而AB的长度易求。作AB边上的高CD，则D点的横坐标与A点的横坐标相同，也是4，这样就可求得线段CD的长，进而可求得三角形ABC的面积。
　　解：因为A，B两点的横坐标相同，所以边ABy轴，所以AB514。作AB边上的高CD，则D点的横坐标为4，所以CD4（1）5，所以
　　。
　　三、三边均不与坐标轴平行
　　例3如图2，平面直角坐标系中，已知点A（3，1），B（1，3），C（2，3），你能求出三角形ABC的面积吗？
　　
　　分析：由于三边均不平行于坐标轴，所以我们无法直接求边长，也无法求高，因此得另想办法。根据平面直角坐标系的特点，可以将三角形围在一个梯形或长方形中，这个梯形（长方形）的上下底（长）与其中一坐标轴平行，高（宽）与另一坐标轴平行。这样，梯形（长方形）的面积容易求出，再减去围在梯形（长方形）内边缘部分的直角三角形的面积，即可求得原三角形的面积。
　　解：如图，过点A、C分别作平行于y轴的直线，与过点B平行于x轴的直线交于点D、E，则四边形ADEC为梯形。因为A（3，1），B（1，3），C（2，3），所以AD4，CE6，DB4，BE1，DE5。所以
　　（ADCE）DE
　　ADDB
　　CEBE
　　（46）5
　　44
　　6114。
　　平面直角坐标系中的面积问题（提高篇）
　　“割补法”的应用
　　一、已知点的坐标，求图形的面积。
　　1、在平面直角坐标系中，ABC的顶点坐标分别为A（2，2），B（0，1），C（1，1），求ABC的面积。
　　2、在平面直角坐标系中，四边形ABCD的各个顶点的坐标分别为A（4，2）B（4，2）C（2，2）D（2，3）。求这个四边形的面积。
　　3、在平面直角坐标系中，四边形ABCD的四个点A、B、C、D的坐标分别为（0，2）、（1，0）、（6，2）、（2，4），求四边形ABCD的面积。
　　4、在平面直角坐标系中，ABC的顶点坐标分别为A（1，1），B（1，4），C（3，1），（1）求ABC的面积；
　　（2）将ABC先向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，求线段AB扫过的面积。
　　二、已知面积（可以求面积），求点的坐标
　　5、在平面直角坐标系中，A（5，0），B（3，0），点C在y轴上，且ABC的面积为12，求点C的坐标。
　　6、在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点的坐标分别为：（2，5）、（6，4）、（2，0），且边AB与x轴相交于点D，求点D的坐标。
　　7、已知，点A（2，0）B（4，0）C（2，4）
　　（1）求ABC的面积；
　　（2）设P为x轴上一点，若
　　，试求点P的坐标。
　　8、在平面直角坐标系中，P（1，4），点A在坐标轴上，
　　，求点P的坐标
　　三、点的存在性问题（运动性）
　　9、在直角坐标系中，A（4，0），B（2，0），点C在y轴正半轴上，
　　，
　　（1）求点C的坐标；
　　（2）是否存在位于坐标轴上的点P，使得
　　。若存在，请求出P的坐标，若不存在，说明理由。
　　10、在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，0），（3，0），现同时将点A、B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A、B的对应点C、D，连接AC、BD。
　　（1）求点C、D的坐标及四边形ABDC的面积；
　　（2）在y轴上是否存在一点P，连接PA、PB，使
　　，若存在这样的点，求出点P的坐标，若不存在，试说明理由。
　　11、如图，已知长方形ABCO中，边AB8，BC4。以O为原点，OAOC所在的直线为y轴和x轴建立直角坐标系。
　　（1）点A的坐标为（0，4），写出B、C两点的坐标；
　　（2）若点P从C点出发，以2单位秒的速度向CO方向移动（不超过点O），点Q从原点O出发，以1单位秒的速度向OA方向移动（不超过点A），设P、Q两点同时出发，在他们移动过程中，四边形OPBQ的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求变化的范围。
　　12、在平面直角坐标系中，已知O是原点，四边形ABCD是长方形，A、B、C的坐标分别是A（3，1）、B（3，3）、C（2，3）。
　　（1）求点D的坐标；
　　（2）将长方形ABCD以每秒1个单位长度的速度水平向右平移，2秒钟后所得的四边形A1B1C1D1四个顶点的坐标各是多少？
　　（3）平移（2）中的长方形A1B1C1D1，几秒钟后OB1D1的面积等于长方形ABCD的面积？