【中考专题】“鸡爪”模型构造手拉手旋转

　　注：以下本文授权转改自微信公众号“广州新东方优能中学”。
　　模型提出
　　我们知道在直角三角形ABC中，若C90，则有cab，这里符合勾股定理公式的前提是：三条线段在一个直角三角形中。大家有没有遇到这样的题呢？比如：
　　如图，点P在正三角形ABC中，APB150，求证PAPBPC
　　或者再比如：
　　如图，点P在正三角形ABC外，APC30，求证PBPAPC
　　三条线段并不在一个直角三角形中，怎么证勾股关系呢？
　　我们观察发现三条线段不是随意的，而是共顶点的。往往是这样：
　　或者这样
　　哈哈，是不是长得很像？
　　三脚架？
　　V。S。
　　是不是也很像我们爱吃的鸡爪呢？
　　于是我们常常把这样一个顶点引出的三条线段叫做“鸡爪型”线段。
　　解法探究
　　接下来问题来了，怎样解决三条线段不在同一直角三角形的问题？
　　那当然是要对线段进行位置变换了。
　　我们初中阶段一共是有三种位置变换：平移、旋转、翻折（对称）。
　　这里我们用的是旋转思想。
　　平移和对称我们已经学过，旋转在初中是放在九年级上册（第23章）的，但我们小学和初中教材的编排是螺旋式的深入的，其实旋转在小学就有学过，包括旋转的三个要素：绕哪转（旋转中心），顺时针转还是逆时针转（旋转方向），转多少度（旋转角）。
　　初二上我们其实接触过一类旋转式的全等：
　　哈哈，记起来了吗？这不就是我们前文讲过的手拉手模型吗？它们的全等都叫旋转式全等。关于手拉手模型可看以下文章：
　　【中考专题】手拉手模型（一）等腰旋转，全等出现
　　【中考专题】手拉手模型（二）旋缩变换，相似成双
　　特征是：两个顶角相等的等腰三角形共点旋转
　　核心是：两组相等的线段（两组手）、两组手的夹角一样
　　全等类手拉手模型，简图如下：
　　那么如果我们给出三条手，你能画出第四条吗？
　　找两条大手（红色的）及大手的夹角，
　　利用大手的夹角就是小手的夹角确定第四条手；
　　所以大家画的是不是这样：
　　或者
　　实战中我们往往是两步：先找到前两条手（等腰的两腰），再找第三条手，根据夹角相等的原则画第四条手。
　　实战应用
　　我们来看一下如何应用吧！
　　例1：
　　如图，点P在正三角形ABC中，APB150，求证PAPBPC。
　　PA，PB，PC，确认过眼神，这是我们要找的鸡爪型
　　来吧：
　　Step1：找顶点，找两腰（就是找等腰三角形啦）
　　本题A、B、C都可以当等腰的顶点，这里举例A作顶点，则两腰为AB和AC
　　Step2：找第三条手画第四条手
　　我们知道四条手是共点的，那自然AP就是我们的第三条手，再按照我们上面的方法就可以画出第四条手
　　当然这里往左边也可以啦
　　Step3：大拉小（连DC），连等腰（连PD）
　　书面作答描述：
　　解：将ABP饶点A逆时针方向旋转60至三角型ACD位置，
　　则ABPADC，
　　则BAPCAD，PADA，DCPB
　　PACCADBAPPAC60
　　APD为等边三角形
　　PAPD
　　PDCADCADP1506090
　　即三角形PDC为直角三角形（核心所在！）
　　PDCDPC
　　即PAPBPC。
　　怎么样，方法是不是很炫酷呢？
　　当然我们说过，这题A、B、C都可以当顶点，而且可以左旋可以右旋，所以这题一共有六种旋转方法，学霸们可以都试一下的
　　总结一下：
　　在识别出我们的鸡爪图后，我们三步法
　　1、找顶点、找两腰
　　2、找第三条手，画第四条手
　　3、大拉小，连等腰
　　最最最最重要的，连完后往往还会有直角三角形出现，也就出现了我们的勾股关系；
　　来道变式检测大家是否掌握完全。
　　变式1：
　　如图，点P在正三角形ABC外，APC30，求证：PBPAPC。
　　先识别：PB，PA，PC共顶点的三条线段，就是鸡爪，接下来就三步走啦！
　　这里过程就不详写啦，和前面那题差不多，可以证DPC90；
　　DPPCDC，即PAPCPB。
　　变式2
　　如图，点P在等腰直角三角形ABC中，APB135，求证2PAPBPC。
　　思考：结论和之前有何不同？为什么会多一个2，不妨先变换线段位置再看看吧！
　　确认过眼神，你就是我要找的爪，看我的三步法
　　注意：
　　这题有些不一样：PDPADA，PBDC，PDCADCADP1354590
　　PDCDPC
　　即2PAPBPC
　　变式3
　　如右图，点P在等腰直角三角形ABC外，APC45，求证2PAPCPB。
　　思考一下哦！
　　确认过眼神，你就是我要找的爪，看我的三步法
　　变式4
　　如右图，点P在等腰直角三角形ABC斜边BC上，求证2PAPCPB。
　　过程还是基本同上哦，这里就不细写啦！
　　最后留一道广州中考题给大家思考啦
　　真题实战
　　（2018年广州中考25）（本小题满分14分）
　　如图12，在四边形ABCD中，B60，D30，ABBC。
　　（2）连接BD，探究AD，BD，CD三者之间的数量关系，并说明理由；
　　思考片刻，先不要往下看哦
　　思考中
　　我们来对一下答案吧
　　和我们变式1是不是一样一样呢？
　　另外，2016年广州中考最后一题最后一问也是可以用我们的三步法秒杀的，这里杨老师就先不展开了
　　末尾，我们再总结一下今日所学：
　　【模型特征】：鸡爪型
　　【操作三部曲】：
　　找顶点，找两腰
　　找第三条手，画第四条手
　　大拉小，连等腰
　　【核心结论】：
　　连完辅助线往往会产生新的直角三角形、等边三角形等。