新高考改革背景下数学文化情境试题的考查研究兼评2020年高考数学文化试题

　　本文为＂第三届数学文化征文比赛
　　新高考改革背景下数学文化情境试题的考查研究
　　——兼评2020年高考数学文化试题
　　作者: 刘金海
　　作品编号：039
　　1.问题提出
　　2014年9月国务院印发《关于深化考试招生制度的实施意见》，提出将上海、浙江作为试点开始推行新高考改革，＂文理不分科＂等措施成为了关注的焦点。[1]2017年京、津、鲁、琼四省（市）继浙、沪两地高考数学文理合卷后启动新高考并于2020年高考中执行。2019年11月教育部考试中心发布＂中国高考评价体系＂，评价体系由＂一核四层四翼＂组成，其中：＂一核＂为考查目的，即＂立德树人、服务选才、引导教学＂,是对素质教育中高考核心功能的概括，回答＂为什么考＂的问题；＂四层＂为考查内容，即＂核心价值、学科素养、关键能力、必备知识＂，是素质教育目标在高考内容中的提炼，回答＂考什么＂的问题；＂四翼＂为考查要求，即＂基础性、综合性、应用性、创新性＂，是素质教育的评价维度在高考中的体现，回答＂怎么考＂的问题。在此基础，针对＂四层＂考查内容和＂四翼＂考查要求，评价体系指出通过情境和情境活动来实现。[2]
　　2018年1月由教育部颁布的《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称新课标）中指出数学文化要融入课程内容，并对其进行了定义：数学文化是指＂数学的思想、精神、方法、观点，以及他们的形成和发展；还包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献和意义，以及与数学相关的人文活动＂。[3]基于数学文化的视角来创设课堂情境教学，向来是我国一线数学教师和数学教育研究者重点关注的方面，并且由于国内文化热的大环境和数学教育改革需要等因素，数学文化的研究方面也取得了较大的成果。[4]在教育部考试中心下发的《关于2017年普通高考考试大纲修订内容的通知》（教试中心函[2016]179号）中关于数学学科也明确提出了＂增加数学文化＂的要求）[5]
　　基于以上政策文件对高考数学的考查要求，在新高考改革的背景下，随着课程改革的不断推进，为探究以数学文化作为试题情境在历年高考中的考查比重变化，试题考查知识点分布情况和试题情境取材的来源，本文对近四年高考数学文化试题进行分析，对2020年高考数学试卷中出现的数学文化试题进行评析，预测后续改革平稳进行的数学文化试题命题趋势，提高中学数学教师对数学文化的认识以及提供数学课堂教学中数学文化教学策略。
　　2.数学文化试题的命题特征分析
　　2.1 新高考改革背景下数学文化试题
　　据不完全统计，在2017—2020年高考中数学文化试题共出现31道（筛选依据参照新课标中数学文化的定义），为更直观体会历年高考中数学文化试题的分布情况，现整理如下（见表1），并总结了数学文化试题的一些特征:
　　第一，从历年高考中数学文化试题数量来看，2017年到2020年期间，数学文化试题数量逐年增多。考查数量由2017年4道、2018年7道、2019年9道至2020年11道能够看出数学文化试题的平稳增多以及考试评价中对数学文化的逐步重视。第二，从试卷和题型来看，全国卷是承载数学文化考查的主要载体，并且北京卷和浙江卷每年也都会涉及对数学文化情境的考查。另外数学文化的考查题型逐步趋向多样化，但仍以选择题、填空题为主。第三，从文化素材选取来源来看，数学文化主要涉及中国古代文化事物，数学史、数学美为典例的素材，中国科技文化发展的相关素材和数学在人类生活和社会发展过程中贡献和意义等几类。第四，从考查知识点分布来看，贯穿新课标中课程内容的主线，包含函数、几何与代数和概率与统计等内容。
　　表1 2017-2020年高考中数学文化试题
　　年份
　　试卷
　　题号
　　题型
　　数学文化情境
　　知识点分布
　　2017年
　　全国Ⅰ卷
　　理2文4
　　选择题
　　中国古代太极图
　　几何概型
　　全国Ⅱ卷
　　理3
　　选择题
　　中国古代数学名著《算法统宗》
　　等比数列
　　北京卷
　　理8文8
　　选择题
　　科技文化—天文学
　　对数函数计算
　　浙江卷
　　11
　　填空题
　　刘徽创立割圆术
　　圆内接多边形
　　2018年
　　全国Ⅰ卷
　　理10
　　选择题
　　希波克拉底研究的几何图形
　　几何概型
　　全国Ⅱ卷
　　理8
　　选择题
　　陈景润与哥德巴赫猜想
　　古典概型
　　全国Ⅲ卷理3文3
　　理8选择题
　　选择题中国古代建筑的榫卯设计
　　科技文化—移动支付三视图
　　二项分布
　　北京卷
　　理4文5
　　选择题
　　朱载堉和＂十二平均律＂
　　等比数列
　　上海卷
　　15
　　选择题
　　《九章算术》中的阳马几何体
　　立体几何
　　浙江卷
　　11
　　填空题
　　《张邱建算经》中的＂百鸡问题＂
　　解方程组
　　2019年
　　全国Ⅰ卷理4文4
　　理6选择题
　　选择题断臂维也纳与黄金分割比例
　　古代典籍《周易》中的＂卦＂比例计算
　　排列组合
　　全国Ⅱ卷理4
　　理13文14
　　理16文16选择题
　　填空题
　　填空题科技文化—嫦娥四号中继星＂鹊桥＂
　　科技文化—高铁列车
　　中国传统金石文化—印信函数求解
　　加权平均值
　　立体几何
　　全国Ⅲ卷理3文4
　　理16文16选择题
　　填空题中国传统文化—四大名著
　　科技文化—3D打印技术模型数据分析
　　立体几何
　　北京卷
　　理6文7
　　选择题
　　科技文化—天文学
　　函数求解
　　浙江卷
　　选择题
　　祖暅原理—＂幂势既同，则积不容异＂
　　三视图
　　2020年
　　全国Ⅰ卷
　　理3文3
　　选择题
　　世界建筑奇迹—古埃及胡夫金字塔
　　立体几何
　　全国Ⅱ卷理3文4
　　文3
　　理4
　　理12选择题
　　选择题
　　选择题
　　选择题中国抗疫文化—处理配货订单
　　数学文化美—钢琴上的和弦键
　　中国古代传统建筑—北京天坛的圜丘坛
　　科技文化—通信技术中的0-1周期序列概率统计
　　列举法的应用
　　数列求和
　　周期数列
　　全国Ⅲ卷
　　理4文4
　　选择题
　　中国抗疫文化—Logistic传染模型
　　函数新高考Ⅰ卷
　　新高考Ⅱ卷6
　　12选择题
　　选择题
　　多选题中国古代测定时间仪器—日晷
　　中国抗疫文化—疫情初期指数模型
　　科技文化—信息论中的信息熵线面角
　　指、对数运算
　　随机变量
　　北京卷
　　10
　　选择题
　　国际圆周率日（Day）—国内外求法
　　解三角形应用
　　浙江卷
　　11
　　填空题
　　杨辉、朱世杰等研究高阶等差数列求和
　　等差数列求和
　　2.2 2020年高考中数学文化试题
　　2020年高考共计13套数学试卷，除全国卷继续沿用文理分科外，其余试卷均文理合卷。整理高考数学试卷发现全国卷（含Ⅰ卷、Ⅱ卷、Ⅲ卷的文理）、新高考Ⅰ卷（山东省使用）、新高考Ⅱ卷（海南省使用）、北京卷和浙江卷中共11道题创设数学文化情境来进行考查，2020年高考中数学文化素材选取来源见表2，可得到以下几个结论：
　　首先，数学文化素材的选取占比均衡，其中突出考查数学史、数学美典例，包括国内外的数学史料、国际上的圆周率日（ Day）等让学生领略国内外数学史的发展。其次，新高考试卷中主要涉及中国传统文化事物、中国科技文化和中国抗疫文化，通过这些数学文化的情境创设可培养学生坚定文化自信。最后，在数学文化试题的考查中体现了新课标中的数学课程目标，在学习和应用数学的过程中引导学生感悟数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值。
　　表2 2020年高考中数学文化试题
　　数学文化素材来源
　　试卷
　　数学文化情境
　　价值
　　中国古代文化事物
　　新高考Ⅰ（Ⅱ）卷
　　测定时间仪器—日晷文化价值
　　应用价值
　　全国Ⅱ卷
　　古代传统建筑—圜丘坛
　　数学史、数学美典例
　　浙江卷
　　杨辉、朱世杰等研究高阶等差数列求和文化价值
　　应用价值
　　审美价值
　　北京卷
　　国际圆周率日（Day）—国内外求法
　　全国Ⅰ卷
　　世界建筑奇迹—古埃及胡夫金字塔
　　全国Ⅱ卷
　　数学文化美—钢琴上的和弦键
　　中国科技文化
　　新高考Ⅰ（Ⅱ）卷
　　信息论中的信息熵科学价值
　　应用价值
　　全国Ⅱ卷
　　通信技术中的0-1周期序列
　　中国抗疫文化
　　新高考Ⅰ（Ⅱ）卷
　　疫情初期指数模型
　　应用价值全国Ⅱ卷
　　全国Ⅲ卷处理配货订单
　　Logistic传染模型
　　3 数学文化试题欣赏与评析
　　3.1 以中国古代文化事物为情境
　　数学文化事物包含文化符号、文化物品等素材，[6]中国有着悠久历史和灿烂文化的文明古国，在数千年发展过程中凝结了不少的传统优秀成果，日晷和圜丘坛位列其中。日晷作为我国古代计时仪器出现在春秋时期，史料中最早的记载是＂汉书·律历志·制汉历＂一节：太史令司马迁建议共议＂乃定东西，主晷仪，下刻漏＂。古代宫殿前设置日晷，象征皇帝拥有向天下万民授时的最高权利。北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，始建于明嘉靖九年(1530年)，圜丘的整个结构是对数学的巧妙运用。数学教育承载着德育的重要任务，通过弘扬中国传统文化，增强民族自信，激发学生的爱国主义热情。
　　中国古代测定时间仪器—日晷
　　（2020年新高考Ⅰ（Ⅱ）卷 4，5分）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为
　　图1
　　A20° B. 40° C. 50° D. 90°
　　（2）中国古代传统建筑—北京天坛的圜丘坛
　　（2020年全国Ⅱ卷（理4），5分）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)
　　图2
　　A. 3699块 B. 3474块 C. 3402块 D. 3339块
　　评析：这两道试题的数学文化情境均通过中国古代文化事物的引入来进行创设，日晷和圜丘坛作为中国古代劳动人民智慧的结晶，包含了数学在生产生活方面的应用思想，体现了数学的文化价值和应用价值。圜丘坛，介绍其构造后，考查数列求和的相关知识，可算得扇面形石板(不含天心石)共计3402块。
　　3.2 以呈现数学史、数学美典例为情境
　　数学文化的审美特征和历史特征等使得数学文化能够以最小限度和更有意义的单位来呈现[4]，在浩瀚的数学文化中以数学史、数学美为载体的典例也数不胜数，放眼国内外数学家，数学史，数学美，数学名著，数学名题，数学发展的历史等都可作为数学文化情境在数学教学和评价中引导学生培养理性精神，陶冶人文底蕴。
　　（1）杨辉、朱世杰等研究高阶等差数列求和
　　例3（2020年浙江卷11，4分）我国古代数学家杨辉、朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列{}就是二阶等差数列．数列{}的前3项和是．
　　（2）国际圆周率日（ Day）—国内外求法
　　例4（2020年北京卷10，4分）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ Day）．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的＂割圆术＂相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为2的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是．
　　A.
　　B..
　　C..
　　D..
　　（3）世界建筑奇迹—古埃及胡夫金字塔
　　例5（2020年全国Ⅰ卷（理、文）3，5分）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为
　　图3
　　A. B. C. D.
　　（4）数学文化美—钢琴上的和弦键
　　例6（2020年全国Ⅱ卷（文）3，5分）如图，将钢琴上的12个键依次记为a，a，…，a12.设1≤i<j<k≤12．若k–j=3且j–i=4，则称ai，aj，ak为原位大三和弦；若k–j=4且j–i=3，则称ai，aj，ak为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为
　　图4
　　A. 5B. 8C. 10D. 15
　　评析：数学史和数学美是数学文化的核心成分，同时在考查中能够发现也占据了很大的地位。在例3和例4中分别介绍我国数学史上杨辉、朱世杰研究高阶等差数列求和问题和刘徽的割圆术，这些伟大成就不可磨灭，旨在体现文化自信；例4和例5中介绍数学家阿尔·卡西求圆周率的方法和世界七大奇迹之一的胡夫金字塔，让考生放眼全球并关注首个国际圆周率日（πDay）；例6以钢琴上的数学小知识为情境，体现数学知识在音乐上的重要意义。这些数学文化情境的设置，让学生感悟数学的文化价值和审美价值。例3考查题型为填空题，知识点为数列求和，属于基础题可求得前3项和为10。例4考查圆周率π的近似值的计算，由题意计算单位圆内接正6n边形和外切正6n边形的周长，主要考查数学运算能力，属于中档题，答案为A选项。例5考查知识点为空间立体几何知识，以埃及胡夫金字塔为情境抽象出正四棱锥，通过简单计算可得到答案为C选项。例6考查列举法的应用，需要考生对新定义理解和应用，属于基础题，答案为C。
　　3.3 以当代科技文化为情境
　　在新课程的教学理念指导下，强调数学与生活及其他学科的联系，提升学生应用数学解决实际问题的能力，以当代科技文化为背景，数学与物理学、天文学等交叉学科中的应用均能较好的体现数学作为基础学科的重要性。[7]同时，数学在信息通信中也扮演着不可或缺的角色。
　　（1）科技文化—信息论中的信息熵
　　例7（2020年新高考Ⅰ（Ⅱ）卷 12，5分）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为1,2，,n且
　　A. 若n=1，则H(X)=0
　　B. 若n=2，则H(X)随着的增大而增大
　　C. 若，则H(X)随着n的增大而增大
　　D. 若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为，且
　　（2）科技文化—通信技术中的0-1周期序列
　　例8（2020年全国Ⅱ卷（理）12，5分）0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列满足{0,1}，且存在正整数，使得成立，则称其为0-1周期序列，并称满足的最小正整数m为这个序列的周期.对于周期为m的0-1序列
　　的序列是
　　A. B. C. D.
　　评析：试卷中出现两道以科技文化为背景的试题，在选择题中属于偏难。新高考试卷中提出信息熵的概念，设置了多项选择，考查新定义的理解和运用，侧重于分析、解决问题的能力。例8中提出0-1周期序列的新定义，侧重于数学运算能力的考查。两道以信息通讯为载体的科技文化试题主要考查学生信息转化能力，体现数学的科学价值和应用价值。例7中需要考生对四个选项逐一计算，可得选项AC正确。例8通过计算可求得C选项正确。
　　3.4 以中国抗疫文化为情境
　　受新冠疫情影响，2020年高考时间推迟了一个月，数学科目的试卷在难度方面整体保持了稳定，但在数学文化试题情境中加入了中国抗疫文化，回应了新课标提出的融入数学在人类生活、社会发展中的贡献和意义，让学生感悟数学的应用价值。新高考改革背景下意在引导学生关注社会生活，增强责任感与自我担当，试卷中结合当下抗击疫情的时政情境，体现我国科学防疫的成果和社会主义的制度优势，具有鲜明的时代特色。
　　（1）中国抗疫文化—疫情初期指数模型
　　例9（2020年新高考Ⅰ（Ⅱ）卷 6，5分）基本再生数与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与，T近似满足.有学者基于已有数据估计出=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)
　　A. 1.2天 B. 1.8天 C. 2.5天 D. 3.5天
　　（2）中国抗疫文化—Logistic传染模型
　　例10（2020年全国Ⅲ卷（理、文）4，5分）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ln19≈3）
　　A. 60 B. 63 C. 66 D. 69
　　（3）中国抗疫文化—处理配货订单
　　例11（2020年全国Ⅱ卷（理3，文4），5分）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者
　　A. 10名 B. 18名 C. 24名 D. 32名
　　评析：通过对2020年高考数学试题的整理，发现对抗击新冠疫情时政的考查主要有三道选择题，分被在新高考卷和全国卷中体现。例9和例10介绍疫情初期和疫情爆发时期确诊病例的增长模型，例11介绍在疫情防控期间网上订单配货的处理问题。引导学生认识数学在人类生活、社会发展中的贡献和意义，体现了数学的科学价值和应用价值。例9和例10分别考查指数函数的应用于对数函数的运算，要求有良好的数学运算素养，属于中档题。指数式转化为对数式，求解算出1.8天；Logistic模型中计算得出求得初步遏制疫情时约为66天。例11考查概率统计和函数模型的简单运用，属于基础题，求得所需18名志愿者。
　　4 启示与思考
　　4.1 新高考改革背景下数学文化情境试题的命制趋势
　　数学教育承载着落实立德树人的根本任务，发展素质教育的功能。新课标在学业水平考试和高考命题建议中明确命题原则、考试命题路径等方面内容，[3]结合以上数学文化试题分析，在新高考改革推动下可推测今后高考数学文化情境试题的命制特点。
　　首先，从考查题型和知识分布来看将呈现题型多样化、知识分布全面化。在2020年命题中题型较往年相比增加多项选择题模式，考查知识点分布包含函数、几何与代数和概率与统计。未来数学文化试题命制或将增加解答题或探究题，并以解答题或探究题为载体考查学生数学建模活动或数学探究活动。
　　其次，从命题情境素材的选取来看选择范围将更为宽广。根据新课标中数学文化的定义和试题分析，数学文化情境的命题趋势将仍以数学史、数学美等典例为主、同时弘扬中国传统文化和近现代科技发展，除此之外，数学与人类生活、社会发展中的贡献和意义将成为考查常态。
　　最后，从新高考试卷的考查来看将命题普遍化。根据新课标的基本理念，数学文化融入数学课程，那么在考试评价中势必将对此进行相应的考核，有理由相信在新高考下数学试卷中出现数学文化为情境的试题普遍化，以此更好的引导学生会用数学眼光观察世界、会用数学思维思考世界和会用数学语言表达世界，促使学生掌握数学思想和方法，提升数学素养。
　　4.2 新高考改革背景下数学文化教学策略
　　新高考背景下，教师应积极学习新课改要求，倡导新课程理念，数学教学以发展学生核心素养为导向，创设合适的教学情境，融入数学文化。
　　第一，实施新课程，钻研新教材。在中学数学教学中，教师必须 ＂以新教材为本，以新课标为纲＂，努力提升自身的通识素养，达到教给学生一杯水，教师要有一桶水的状态。一方面从政策文件中体会数学文化的教学要求，教材教辅中汲取数学文化素材，另一方面还要能够掌握数学文化教学情境的创设，巧用数学文化突破教学重难点，培养学生学习兴趣，扩宽学生数学学习视角。
　　第二，分析数学文化试题，积累数学文化素材。试题作为最宝贵的资源，数学教师应当反复总结，积累考试素材，以点带面充实自身对数学文化的认识。在对数学文化情境素材的积累和学习中，要坚持真实性原则、公平性原则、一致性原则和简洁性原则并重。 [8]日常所积累的数学文化素材不仅能够使试题锦上添花，更能达到全面考查学生的目的。
　　第三，关注数学考查目标，明确数学考查要求。教师要认识新高考数学的地位和作用，新一轮高考改革提出的一核四层四翼考核目标使得高考的考查要求更加丰富和科学。[9]教师应把握高考数学的核心价值、学科素养、关键能力和必备知识，通过创设基础性、综合性、应用型和创新性的数学文化情境来对学生进行考查，阶段性和整体性相结合实施以培育学生的数学素养。
　　参考文献
　　[1] 中华人民共和国国务院. 国务院关于深化考试招生制度改革的实施意见[N]. 人民日报,2014-09-05(006).
　　[2] 中国高考评价体系说明[M]. 人民教育出版社 , 教育部考试中心, 2019
　　[3] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018：10
　　[4] 代钦.释数学文化[J].数学通报,2013,52(04):1-4.
　　[5] 教育部考试中心http://www.neea.edu.cn/html1/report/16103/415-1.htm
　　[6] 李隽易.数学文化题编拟研究[J].数学通报,2018,57(09):25-28.
　　[7] 张瑾,刘金海.2019年高考中数学文化的考查研究[J].数学通报,2020,59(01):52-56+66.
　　[8] 柯跃海.高考数学试题情境的创设实践[J].中国考试,2020(06):1-9.
　　[9] 于涵,任子朝,陈昂等.新高考数学科考核目标与考查要求研究[J].课程.教材.教法,2018,38(06):21-26.
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