思维训练16。导数中的切线问题大整理

　　本文转载于公众号：曹老师的高中数学课
　　切线问题一直不是学生重视的知识点，一般都会认为切线问题只是导数中最浅显最入门的东西，顶多会出现在文科试题中，但是事实绝非如此，切线或者叫切线思想有时候在处理一些复杂问题时会起到极大简化计算步骤的功能，例如2018年高考中有两道题目就可以通过切线的思想快速的计算出结果，因此本专题将高中数学中较为常见的切线问题做一个归纳，也借此希望同学们重视切线在高中数学中的运用。
　　part1
　　公切线问题处理函数零点问题
　　在高中数学零点问题中，较为常见的一类问题是给出函数零点个数求参数范围，处理时可以转化为两图像的交点个数问题，例yex与直线ykx至少有一个交点，此时我们可以根据函数形态计算出两函数想切时的参数值，然后根据参数的变化再确定图像交点个数的变化，其实不只是曲线和直线处理起来可以这么做，在曲线和曲线交点个数问题上有时候也可以这么做，例如两函数的凹凸性相反，如果其中一个函数中含有参数，且参数不影响函数的趋势，此时将两函数进行平移，会发现两函数有可能交于一点，过了这一点之后的交点个数又会发生变化，此时就可以利用公切线和公切点计算出临界条件下的参数值，再根据零点个数选择合适的参数区间即可，其实不只是凹凸性相反时可以这么做，即便是凹凸性一致，在增减性一致的前提下只要两函数之间存在增长速率上的差别，也可以利用公切线或公切点求出对应参数的值和取值范围，例：
　　解读：题目是选择题压轴题，此时完全没有必要按照常规方法计算，在保持指数函数和二次函数同增的前提现，又因为指数函数增长速率较二次函数增长速率大，所以即可找出两函数只有一个公共点时的参数值，此时公共点即为两函数的公切点，因此联立方程即可求出此时的参数，再根据条件中零点个数选择合适的区间即可。
　　解读：处理指对数混合型函数的难度还算是比较大的，本题目的常规方法是构造函数利用单调性进行求解，但是不等式恒成立问题如果反应在图像上是一个函数恒在另一个函数之上，且本题目进行适当的变形后能够确定出两函数各自的趋势，加上指数函数和对数函数凹凸性相反，因此适当移动指数函数后两函数可以交于一点，且该点即为公切点，同上，联立方程求出参数即可，但是本题目与上题目所不同的是不能直接解出方程的根，但是在存在指数和对数的方程中我们可以采用试值法找到需要的点即可。
　　解读：题目虽是证明题，但是我们可以反其道而行之，找到f（x）0恒成立时参数a的取值范围，题目可以转化为一个含参指数函数和一个不含参对数函数的位置关系问题，找到两图像相切于一点时所对应的参数值，再根据不等关系确定出参数所在的区间即可，相似的问题如下：
　　解读：本题目是2018年全国2理科导数压轴，用传统方法求参的复杂度较大，但是本题目可以直接利用公切线和公切点求出参数a的值，可大大节省做题时间，如果题目出在选择或填空题中，用此方法优势较大，如果出现在大题中由于表述的不严谨可能会存在扣分现象。
　　part2
　　与公切线存在与否公切线条数有关的问题
　　先看一个公切线求法的问题，如果两曲线函数存在公切线，因为不知道两函数存在相同的公切点还是不同的公切点，因此在设切点的时候最好分开设，这样才能避免出现两函数不切于一点的情况。
　　解读：题目很基础，但是可以反映两曲线函数存在公切线问题时应该注意的点，即设切点问题，设出两个不同的切点，分别求出两切线，因为存在公切线，则求出来的两切线的斜率和截距分别相同，这样产生的两个等式关系可以为我们提供出x1，x2的转化关系，例如基于此类问题的延伸题目如下：
　　解读：过程类似于第五题，题目是只存在一条公切线，因此在斜率和截距各自相等的条件可以找到两切点横坐标之间的转化关系，进而转化互为一个含有参数m和只含有一个未知量x2的等式关系，题目中存在一条公切线，则关于x2的方程根的个数只有一个，若存在两条公切线，则关于x2方程根的个数只有两个，这样就转化为一个函数零点个数求参数范围的题目，2018年高考中天津理科数学压轴题中出现的正是此类问题：
　　解读：题目有难度，题目是切线条数转化为函数零点个数求参数范围加上隐零点问题加放缩证明的综合体，综合性很强，但是是一道值得研究的好题目。
　　解读：上题是类似问题的一道变种问题，同样是两曲线函数存在公切线问题，但是所不同的是并没有直接给出公切线的条数，因此如按照上题的步骤，将存在公切线转化为一个函数存在零点的问题继而求出参数的取值范围，但是本题目的解法更为简单，因为通过两切点出斜率相等以及两点间斜率公式可以将两个变量x1，x2转化为一个，继而转化为一个含有参数a和一个变量的等式关系，分离参数a后，a的取值就等价于后面函数的值域，因此直接求值域即可求出a的取值范围。
　　以上三个题目均为存在公切线求参数范围的题目，根据条件的不同要适当选择不同的解题方法。
　　part3
　　三次函数切线问题
　　三次函数是文科考试中最常见的一类函数，也是高二同步学习中最常用的函数，常见的题目类型时求出三次函数在某点处的切线方程，但是这里有个误区，如果一个点是三次函数图像上的点，那么过此点的切线有几条？很多同学都会直接误认为只有一条，但事实并非如此，条数可能是一条或两条。
　　即便都是三次函数上的点，过此点的切线条数也不尽相同，这是个坑千万不可掉坑里。
　　解读：注意没必要刻意分成p点就是切点和p点不是切点来求，直接设出切点计算即可，最后求得的切点横坐标有几个就有几条切线。
　　解读：经过不在三次函数上的点与三次函数切线的条数问题在之前讲到过，做法很简单，设出切点，写出切线方程，切线的条数就等价于一个三次函数零点的个数，由于三次函数零点个数很容易判断，因此此类问题处理起来不是太困难，希望在高二同步学习中将题型掌握住，高三文科生也需要掌握此类方法。