精要复习 前面我们讲了导数微分： “导数”是函数的原因，函数是“导数”的结果。 引出了积分： 不定积分，是把函数降维投影，求到了一系列的投影F（x）C。 定积分，是“原因”f（x）经过一段过程（atob）所造成的结果改变。 微分方程 如果您从前面的专栏一路学过来，就会有一种感觉，“微积分”的核心对象并不是“微分”与“积分”，其实应该是： 原函数与导函数 而微分积分只是研究原函数与导函数之间关系的一种方法。 规律，就是函数 如果，我们知道原函数与导函数之间的关系，如何求出原函数呢？这就是： 微分方程（Differentialequation，DE） 比如，函数yx的导数为1，那么反过来问：什么函数的导数为1呢 1 这就是最简单的微分方程了。解就是： yxC 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的 阶 所以上面就是一阶微分方程。 那为啥解里多个C呢，因为很显然，xC的导数也是1呀，它也满足方程给出的条件。 除非再加个条件： y（0）0 这样，解就只能是yx了，这种条件叫做 微分方程的初始条件 微分方程DE 微分方程的应用 微分方程的应用太多太多，甚至我们可以说，微积分能有今天这种科学基石的地位，很大一部分来自微分方程。 例几个应用一看便知： 力学 动力学中的牛顿第二运动定律 欧拉拉格朗日方程 哈密顿力学 热力学 热力学中的牛顿冷却定律 热力学中的热传导方程 电磁学 麦克斯韦方程组 流体力学 纳维斯托克斯方程 对流扩散方程 导管中气流的仿真：纳维斯托克斯方程 材料学 泊松方程 生物学 威尔霍斯特方程生物族群增长模型 生物个体增长模型 洛特卡沃尔泰拉方程掠食者和猎物的动态模型 经济学 布莱克休斯方程 索洛模型 马尔萨斯模型 太多了 广义相对论中的爱因斯坦场方程 量子力学中的薛定谔方程 复变分析中的柯西黎曼方程 分子动力学中的泊松玻尔兹曼方程 根本数不过来，可以说，没有微分方程，就没有现代科学。 为啥应用这么广 还记得我们前面讲过的么 “导数”是函数的原因，函数是“导数”的结果。 要解释物体的位移现象，就要研究速度；要解释速度，就要研究加速度。 研究一个量的导数的规律，才有可能从根本上理解这个量的规律。 微积分研究世界的内在规律 解微分方程 列出微分方程就算是解决了一大半问题，另一半就是解方程了。 然而事实上，微分方程不太好解，教材上一般也就列举了几种很特殊的微分方程的解法，但其实真到了使用微分方程的时候，往往不在这几种列举的范围之内。 所以，除要考试或以数学为专业外，建议不要花时间在学习如何手算解微分方程上。 这个时代，直接用计算机求解呗！这么好的工具，一定要擅于使用。 君子生非异也，善假于物也 《劝学》 计算机是最好的帮手 MATLAB求解微分方程解析解 求微分方程的解析解，就是要求出函数的表达式。 MATLAB中，一般用这个函数就能搞定： dsolve 例，解方程： symsay（t）eqndiff（y，t）dsolve（eqn）ansC2exp（at） 简单吧，注意方程里的等号，要写成“”。 （MATLAB中，表示等于，表示赋值） 高阶的也一样啊： symsy（t）aeqndiff（y，t，2）ySol（t）dsolve（eqn）ySol（t）C2exp（a（12）t）C3exp（a（12）t） 如果有初始条件，就把初始条件也写成一个方程的形式，跟在方程后面，如： symsy（t）aeqndiff（y，t）condy（0）5；ySol（t）dsolve（eqn，cond）ySol（t）5exp（at） 微分方程数值解 其实，能求出解析解的微分方程并不多，基本都是“线性微分方程”和“低阶的特殊微分方程”，一般的非线性微分方程根本求不出解析解，只能求出数值解。
样本量估算（一）：随机对照试验（两组率）。。。一、研究实例随机对照试验研究：探讨运动对产妇产后抑郁症率的影响。采用完全随机的方法将研究对象分……软文写作分享：写文章，逻辑比文采更重要说到文章的逻辑，必须明确一件事：表达，是将我们头脑中的信息进行编码后发送。当它被发送出去以后，别人怎么解读，就由不得我们了。因此，在编辑发送信息之前，要充分考虑如何降低沟通成本……动作描写的技巧之一：化大为小，有写法辅导。。。写人、记事、写景、状物很多体裁的作文中都会涉及到“动作描写”，尤其是在写人、记事的作文中是必不可少的。动作描写是刻画人物的重要方法之一。根据其内容不同，可以起到交代人物的……练习写小说四个步骤，快速进状态似乎永远都是这样，那怕天大的事儿，一旦过去，都显得云淡风轻。每次我们都觉得走投无路了，但每次还是蹚着水，粘着泥，深一脚浅一脚地踏出一条路来。新手想写小说……像公式一样简单的写作方法，人人都该知道写作是一项在学习和工作中都需要掌握的技能。学生期中期末考试都需要写作文，而且作文占的分值很高，写作能力的高低甚至在一定程度上决定今后的命运。当我们工作了以后，也经常要写总结报告……语文老教师直言：这100个精美排比句运用好，。。。在语文这门科目当中，想必最让同学们感到头痛的要属作文这个项目了。特别是在初高中阶段，作文的考试分数更是占据了语文考试总成绩的一半，所以同学们作文分数的高低，更是往往能决定他们语……语文阅读理解的24个万能公式，背熟轻松拿高分在语文的学习中，有两大重难点，一是阅读理解，二是作文。如果说写作可以多积累素材，想要提升作文也是很简单的，但是对于阅读理解就没有那么简单了，这个不仅需要在平时多积累，多练习，还……超简单七步教你分分钟学会思维导图说到思维导图，你可能并不陌生，如果让你画一张思维导图，大多数人可能面露难色。这个，其实并不难啦。接下来就我们一起走近日本作家矢岛美由希的《日常生活……研究生、硕士生、博士、博士后有哪些区别现在本科毕业选择深造的学生越来越多，什么硕博连读、研究生、博士、博士后，都是想要深造的学生需要面临的选择。到底硕士生、研究生、博士、博士后有哪些区别？为何把考硕士叫考研？今天就……学习就是：学知识、练技能、变态度我们平时所说的学习，其中只包括了三件事：用脑学知识，用手练技能，用心改态度。什么是知识？知识就是已经被发现和证……安全教育道路安全教育教案nbs……尖子生的秘密：连晚上学习都是有套路的！很。。。对于时间紧张的初中生来说，晚自习时间是能自我支配的黄金时间，学习效果如何，直接影响到各科的成绩。孩子应该怎么规划，才能让晚自习成为成绩逆袭的利器呢？根据多位北大清华……