急报！雕兄传来书信：计算第二型曲线积分的。。。

　　大家好，我是宝刀君，是一名将军，也许你不了解我，但你只要知道我是像令狐冲大侠那样潇洒自由的将军就足够了，很高兴，我们又在知乎上见面了。
　　谁是令狐冲大侠？就是下面这位
　　是不是有点看不清晰？
　　算了，重新上传个高清的吧，诺，就是这样：
　　在攻打完上一仗：报告将军，前方求极限时洛必达法则失效了，肿么办？之后，我和我的小伙伴们经过短暂的调理休息，我们又重新出发了。
　　本来我们大部队是按计划继续往前走的，但谁知走到五霸岗这个地儿，我们就收了同伴发来的的大雕传书。
　　雕哥平时很威猛的，不知为啥，这次一见到我们，显得很疲惫，我们走进去一看，才发现大雕哥的脚丫子那儿充满了血迹，带来的传书也被鲜血浸泡的成为了黑红色。
　　“辣眼睛啊，好怕好怕”！助理惊叫了一声。
　　此情此景，我马上吩咐助理：“让队伍停止前进，就地安营，等候前进命令”，我自己走到雕哥面前，伸手打开了传书，看看伙伴到底是遭遇了什么事？
　　信纸打开，上面的第一行“第二型曲线积分的计算”赫然在目，紧跟其后的第二行字是“含奇点的格林公式怎么破？”！
　　刹那间，我突然明白为什么伙伴们会发出求助信号了，我突然明白为什么雕哥会疲惫不堪的躺在那儿了。
　　又是那魔头考研数学派的小弟！
　　真没想到这厮这次竟然大下黑手，派出对大部分人来讲都挺难的家伙（格林公式）来坑害我的同伴！真是可恶至极！
　　不行，我不能坐视不理，我的同伴既然能像我发出求救信号，这说明他信得过我，毕竟人在危难时刻发出求救时的对象，都是他自己觉得最能帮他的人。
　　原来这就是信任的力量！我瞬间觉得自己有一种使命感！
　　“助理，去叫一下咱们的智囊团，我们接下来研究研究对策，记住，一定要把格林前辈请来”。
　　“是的，将军”
　　不一会儿，我的营帐里坐满了所有的智囊团，所有数学系的顶尖大牛聚集在一起，场面异常壮观！
　　很快，我就发表了自己针对此事的观点：
　　“各位数学系的大牛老师们，咱们这次遇到了了同行伙伴的求助，这次敌人“考研数学”派出了2大悍将，一个是“第二型曲线积分的计算，另一个是含奇点的格林公式怎么破？
　　相信诸位已经看到了，同伴已被敌方打的伤痕累累，既然咱们都是同道中人，那就应该同仇敌忾，互相帮助，本将军打算先就地解决完这个问题再走，不知各位前辈意下如何？诸位给出点意见！”
　　“第二型曲线积分的计算，根据我的研究，它在真题中历年只考2个点”。格林前辈坚定的说道。
　　“哦，2个点，哪2个点呢？”
　　“一个是考利用格林公式来计算曲线积分的问题，另一个是考做功与路径无关的问题，敌人虽然抛出来的是第二型曲线积分的计算，但是但凡真正遇到敌人（真正考试）那一天，要考这个点，那肯定是考格林公式的相关应用”
　　“格林老师，您的意思是：其实最终还是在围绕着格林公式在考？”
　　“对的，是这样的呢”。
　　格林前辈说完后，我马上陷入了沉思，我在回忆当初格林老师教我那套他自己自创的“格林公式”的刀法套路。
　　我还记得格林老师当时教完我之后，顺便给我说了他这套刀法的使用条件：
　　条件1是封闭且正向，条件2是保证函数及其偏导数在域内连续有定义，这些我都还能记得。
　　“格林前辈，我记得您上次讲过你创造的这套刀法，我课后亲自用过，确实很方便呢，要不我现在就拿你这套刀法上阵杀敌？”
　　“将军，万万不可啊！实不相瞒，我跟敌人（考研数学）也打交道了多年，对方每年怎么给我使绊子，我是一清二楚啊”
　　“哦，使绊子？这个怎么讲？”
　　“哎，将军有所不知啊！早年我在磨坊工作时，白天工作，晚上自学从布朗利（Bromley）图书馆借来的数学书籍，经过自己的潜心研究，终于自成体系！研究出专门针对第二型曲线积分的计算办法格林公式法，这套刀法，对第二型曲线积分的计算时带来了大大的方便！”
　　“恩恩，格林前辈勤勉的工作，大家有目共睹，我一直很钦佩！”
　　“可是渐渐的，我发现，我的这套刀法使用起来有条件限制，不能随随便便乱用，如果乱用，只会导致练武之人自己走火入魔！况且近一二十年来，敌方考研数学也发现了我这个刀法的使用限制，因此经常给我使绊子”。
　　“奥，原来是这样啊，那老贼给你使啥绊子呢”？
　　“将军请看，他们经常这样限制我”
　　我仔细看了下，原来对方是以牙还牙啊。格林公式是用来计算第二类曲线积分的，由于它的使用有两个条件，因此敌人经常去破坏这两个条件，
　　“格林前辈，那您有办法破解这个吗？”
　　“有是有，只不过我需要支持”
　　“需要什么你随便讲，无论是人力、资金，我都可以尽全力去支持你”
　　“资金上倒是不需要，我只需要个援手，援手先给我打头阵，先帮我扫清了前方的障碍之后，我就可以施展拳脚，展现我的刀法了！”
　　“哦，原来是这样，那就由我来打这个头阵吧，不管怎么说，最后一次和敌人（考研数学）应战时，都是我一个人去解决的，该来的躲不去，未来这场未来3小时的厮杀，在所难免，倒不如现在就开始和他过过招！”
　　“将军说的在理，不过将军不要担心，只要你接下来按我说的做，咱们两联手，就可以顺利解决这类问题的呢”
　　“好的，没问题”
　　接下来，营帐里一片安静，都在听格林前辈讲话。
　　“老夫创造的这套刀法，凡练武之人在使用时，一定要摸着胸口问自己三个问题：
　　1封闭吗？
　　2正向吗？
　　3连续吗？
　　如果不封闭，那就加线减线，如果不正向，那就添个负号就可以，这两个都不会给我造成什么困难，真正会给我造成威胁的，其实是第三个条件的破坏不连续！”
　　助理，你将大雕兄弟传来的题目拿过来，我给将军解释什么是第三个条件的破坏”。
　　助理呈上了敌人给的这道题：
　　“诸位请看，敌人这套题，积分函数是一个分式，这个函数在积分区域D内不连续，甚至无定义，这个原点就是大家平时听到的“奇点”（qidian），我把它称为内奸。
　　这个内奸的存在啊，极大地限制了我这套刀法的使用，于是身边有同僚建议，把这个内奸给我挖去，把这个内奸给扣掉，把这个内奸给我阉割了！
　　同僚们怎么做的呢？
　　老夫是个有菩萨心肠的人呐，同僚们阉割奇点阉割内奸的做法让我下不了手啊，虽然同僚们是想让我出出风头，去解决这个二型曲线积分的问题，但是手刃二型曲线积分的原始办法是转化成定积分，犯不着因为要重用我一个人而造成不必要的伤亡啊！
　　后来，我在夜晚油灯下，仔细研究同僚的招数，惊人的发现，原来他们所谓的“挖去、扣掉、阉割”并不是真正意义上的“挖去、扣掉、阉割”啊，这只是虚晃一枪，这里面有个循序渐进的过程，给大家造成了错觉。
　　诸位不妨回想一下第二型曲线积分产生的物理背景：变力沿曲线做功！
　　功等于什么？力乘以位移。
　　对于上面这个题，假设力沿着曲线做功，从起点A出发开始走，走到B点时，它其实是沿着向下的那条线往下走，绕着咱们构造的这个曲线C一圈，然后回到B点，再继续沿着原来的方向走！因为力沿着曲线向下，转一圈后又沿着曲线向上，力的大小相等，方向相反，所以这两段一下一上做功刚好抵消掉。因此，这就给大家造成一种错误的感觉：“哇，这是个奇点我取不到，所以我把它给挖去了啊”！
　　用图表示就是这样：
　　
　　因此，事实上这里根本就没有“挖掉奇点”这一说，它本质上是对做功相等的一种路径的恒等变形！因为对于同样一个力，沿着曲线L和沿着曲线LC做功，数值是相等的！即：
　　“格林前辈，我有个问题：你里面的这个椭圆，沿着沿着图中标的逆时针方向，这是正向还是负向啊？”
　　一旁的助理答道：“逆时针为正向，顺时针为负向”
　　“这种回答是错误的”，格林前辈振振有词的说道，“正负向的判别不是以顺时针逆时针来看的，而是根据你这条曲线围成的区域，你沿着曲线走时，你的左手是不是一直在区域D内！如果是，那就是正向，如果不是，那就是负向！与顺逆时针没有一点关系！”
　　用图表示，就是这样：
　　听到这里，我明白自己该怎么做了，“前辈，我去打头阵，我在L内补这样一个曲线C，就按你的同僚的打法做”
　　于是乎，我和格林前辈联手在众人面前打出了如下的刀法：
　　“不错不错，真是精彩！大将军和格林前辈并肩作战，真是勇猛！分分钟灭敌人！”助理连连拍手称赞道。
　　“格林前辈，小女子跟随将军多年，对您的这套刀法也有所耳闻，也曾学过一段时间，不知小女子可否和您合作，就这道题发表下我的看法？”
　　“完全可以啊！都知道大将军勤学好问，没想到就连身边的助理也都熏陶养成了如此好的习惯，这对于提升部队的整体实力，有很大的鼓舞啊！”
　　“谢谢前辈，小女子献丑了！”
　　话说完，只见助理腾空一跃，用手中的剑勾勒出如下的破解法：
　　我仔细查看助理的剑法，发现和我的非常像啊，只不过他这里使用的是特殊值，取得椭圆方程很特殊，就用一个常数就可以了，看着更简单一些，最终答案也和我一样，哎，我要是早知道这个题还可以这样做，我想我会选助理的方法，它的太简单了。
　　“对了，好奇怪啊，为什么曲线方程要这样添加呢？为啥要添加一个椭圆？我添加正方形、长方形、三角形或者任意的曲线不行吗？”我的心里突然顿生出这样的疑问。
　　格林前辈好像看出了我在思考什么，这个老头，不得不服，每次我想啥，他好像都知道，尤其是他熟悉的东西。
　　“将军，你是不是在思考辅助曲线方程添加的原则是什么？”
　　“恩恩，是的呢”
　　“哈哈，被我猜中了，其实呢，理论上说，我们在曲线L里面可以添加任意的曲线C，只要你这个曲线方程C是在这个L内就行，但是我们不能忘记添加曲线C的目的：简化计算！
　　像之前给将军讲授的曲线积分、曲面积分，它们和二重积分、三重积分最大的不同就是：
　　“我的被积函数方程f（x，y）是可以用曲线方程yy（x）代替的！”
　　因为这个被积函数f（x，y）是定义在某段曲线、某个平面上的，既然是定义在这里，那么当然可以带进去计算！而且是必须得代入，否则你没法算。
　　因此，出于简化计算的考虑，我们添加什么样的曲线C，就取决于这个曲线L的分母长什么样！
　　换句话说，在曲线L里面
　　添加曲线C的核心目的是：去掉被积函数中的分母！
　　辅助曲线方程添加的原则是：分母长啥样，我就添加啥样的曲线C！
　　“格林前辈，您今天讲的内容比较多，像您创的这套刀法，为什么让别人帮你打个头阵（内部取同方向的曲线C）就可以了呢？您可以从理论上给证明下吗？”
　　“完全可以”，格林前辈说完，快步走向前方，用大刀挥洒自如的给出证明：
　　挥舞完大刀，格林前辈对着大伙说道：如何选取这个辅助曲线C0（L1）呢？
　　选取的标准就是你可以把那个被积函数的分母给去掉！
　　说完后，继续表演，给出了结论：
　　看着格林前辈精彩的表演，我突然意识到：原来这就是所谓的转化啊！
　　一条路走不通了，我试着换一条路，两条路走的“功效”是一模一样的！
　　“感谢格林前辈精彩的讲解！您讲的这套刀法的使用条件、如何除掉内奸、转化的思想我已完全弄懂，非常感谢！”
　　“哈哈，将军不用客气，懂了就好，现在快去解救你的同伴吧！”格林前辈哈哈大笑。
　　“好的”，顺着刚才的格林前辈的教导，我又重新推演了一遍，将信纸交给雕哥的爱侣雕妹，让她寄给我的同伴。
　　“好了，现在同伴的危难已经解除，今天下午大家也耗费了不少精力，尤其是格林前辈，现在临近晚饭时间，不如开始准备晚饭吧！今天请大家吃羊肉！，助理，顺便再来3大坛上等的女儿红，奏上笑傲江湖！，明天继续赶路！”
　　好嘞！
　　在大家一篇欢歌笑语中，我注意到一个细节：雕兄和高斯前辈一直在交谈，从今天雕兄和我们汇合后，他好像就一直和高斯前辈探讨什么问题，而且最关键的是：格林前辈在给大家讲解那套刀法的限制使用条件时，高斯前辈在那一刻好像也露出一丝焦虑。
　　这一切，我都看在眼里。
　　哎呀，难道是那个？我头脑中迅速闪过一个想法：
　　格林公式是将第二类曲线积分（也叫对坐标的曲线积分）转化成二重积分来计算；
　　高斯公式是将第二类曲面积分（也叫对坐标的曲面积分）转化成三重积分来计算；
　　换句话说，现在是将这种单独的曲线、曲面积分转化成了他们所围成的某个区域的积分。
　　难道说，明天敌人会来骚扰高斯前辈？
　　算了，先让本将军在五霸岗吃了这坛酒和羊肉，保持充足的体力，再迎接明天未知的战斗吧！
　　（备注：这篇文章内容正经的讲解是在宝刀君之前发的帖子挖洞法？抠点法？阉割法？格林公式究竟怎么玩？中，由于在准备高斯公式的讲法，为了保持连贯性，故这里又将旧文重新改版，写成了武侠范儿，希望大家能够喜欢
　　）
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　　少年，我看你考研有点动力不足，来吧，给你打一针鸡血！
　　专业院校如何选择？底子差的该怎么调整复习策略？