学霸的最痛恨的题，值得关注的具有高中数学背景的中考试题

　　2021年堪称广东中考数学的巅峰，试题难度被列为近10年史上之最。出题人第一次因为题目太难被找出，这几天广东中考数学成绩出炉后，满分120，东莞市平均分49.46，其他地方平均分甚至没超过40分。
　　而谈起选择压轴第10题，考生则无不咬牙切齿，认为＂这是全卷最超纲的一道题＂，也有老师认为这题原封不动放进高考卷子都毫无违和感。
　　很多人乍一看这不就是高中抛物线的二级结论。但需从初中思维出发，用到＂定角定弦＂型的隐圆轨迹（C点的轨迹是一个圆），整题就颇有难度，且计算繁复，不过又因确实可以利用初中的知识以及手法来处理，所以也不算超纲。
　　虽然从区分度来看，广东卷第10题因太难放于中考卷中并不合适，理应慎重，但从命题取材角度看，我们可以看到在近年中考命题中， 含有高中数学背景的试题一直深受命题人青睐 。
　　中考具有学业水平测评和选拔学生进入高一级学校学习的双重功能.因此，试题命制时既要关注测评功能的设置，又要注重选拔功能的渗透.其中，体现选拔功能的试题中有部分试题注重对初、高中知识衔接的考查.从而，高中数学为这类试题的命制提供了广阔的空间。
　　命题者将高中数学的一些概念、定理、法则、公式等初中化（用初中数学知识内容包装、初中试题命制技术设置）处理，命制出具有高中数学背景的试题.这类试题往往对学生思维能力和创新能力要求较高，能有效检验学生是否具备进入高中学习的潜能。
　　这类题目往往形式新颖，在课本上很难找到原型，要是找根源的话，需要到高中的知识找原型，但是用初中的知识和生活常识是完全可以解决的。也就是所谓的＂高中背景，初中解法＂。
　　出题意图重在测试学生对数学知识的应用能力，同时也有效检验学生是否具有进入高中学习的潜能，具有较强的选拔功能。
　　因此，在初中数学学习和备考过程中，重视初高中衔接，关注这类高中知识初中化处理的＂下放式＂考题也同样重要。
　　类型1. 以高中数学概念为背景
　　李邦河院士认为： 数学根本上就是玩概念的，而不是纯粹的技巧 。因为掌握了数学概念很大程度就意味着掌握了与数学概念相关的数学知识。中考数学命题人喜欢玩概念也善于玩概念。
　　∴b＝0，a＝1（舍去）或b＝0，a＝﹣1，
　　∴b﹣a＝0﹣（﹣1）＝1，故选：C．
　　例2．（2021•遵义）数经历了从自然数到有理数，到实数，再到复数的发展过程，数学中把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，用z＝a+bi表示，任何一个复数z＝a+bi在平面直角坐标系中都可以用有序数对Z（a，b）表示，如：z＝1+2i表示为Z（1，2），则z＝2﹣i可表示为（　　）
　　A．Z（2，0） B．Z（2，﹣1） C．Z（2，1） D．Z（﹣1，2）
　　【解析】 根据题中的新定义解答即可．
　　由题意，得z＝2﹣i可表示为Z（2，﹣1）．故选：B．
　　又如：2020年临沂中考第19题以＂两点间的距离＂＂点到直线的距离＂＂点到曲线的距离＂的概念为背景，2014年北京中考第25题以有界函数的概念为背景。
　　命题人将高中数学概念作为素材，或考查学生对数学概念内涵和外延的理解，或考查学生直接运用概念解决问题，或考查学生运用数学概念衍生结论解决问题等。
　　类型2. 以高中数学符号为背景
　　符号化是数学化的＂命根子＂，是数学发展史上的一个飞跃，能使得数学概念、数学关系表现出十分精确的性质，便于逻辑处理和计算。
　　如何考查考生的符号意识？最直接、最有效的方式就是将一些新的符号引入中考试卷，近年来高中数学中的 取整函数[x]（比如2020年乐山第16题、2018年娄底第12题）、对数符号（比如2019年安顺第22题）、求和符号∑（比如2012年临沂第19题）、连乘符号∏ 等都是中考命题的重要素材。
　　以高中数学中的一些符号为载体，命题人常通过对符号的抽象和理解，充分考查学生的抽象能力、运算能力和推理能力。
　　例3．（2021•凉山州）阅读以下材料：
　　苏格兰数学家纳皮尔（J．Npler，1550﹣1617年）是对数的创始人．他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．
　　∴＂伴生数列＂B是：0，1，0，1，故答案为0，1，0，1．
　　类型3. 以高中数学公式为背景
　　例6．（2021•娄底）如图①，E、F是等腰Rt△ABC的斜边BC上的两动点，∠EAF＝45°，CD⊥BC且CD＝BE．
　　（1）求证：△ABE≌△ACD；
　　【分析】 （1）先判断出∠B＝∠ACB，进而判断出∠B＝∠ACD，即可得出结论；
　　（2）先判断出∠DAE＝90°，进而判断出∠EAF＝∠DAF，利用SAS判断出△AEF≌△ADF，得出DF＝EF，最后用勾股定理，即可得出结论；
　　【解答】 证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
　　∴AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，
　　∵CD⊥BC，∴∠BCD＝90°，
　　∴∠ACD＝∠BCD﹣∠ACB＝45°＝∠B，
　　在△ABE和△ACD中，
　　∴△ABE≌△ACD（SAS）；
　　（2）由（1）知，△ABE≌△ACD，∴AE＝AD，∠BAE＝∠CAD，
　　∵∠BAC＝90°，
　　∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝∠CAE+∠BAE＝∠BAC＝90°，
　　∵∠EAF＝45°，∴∠DAF＝∠DAE﹣∠EAF＝45°＝∠EAF，
　　∵AF＝AF，∴△AEF≌△ADF（SAS），∴DF＝EF，
　　又如2017年福建中考第22题取材于高中数学中三角公式；2020年凉山州中考第27题取材于高中数学中的正弦定理；2020年枣庄中考第20题取材于欧拉公式V+F-E=2；……
　　每一个数学公式都是一个 数学问题 ，每一个数学公式都是一个 数学模型 。
　　从周长、面积、体积到诱导、求和、排列、组合、积分等，利用相应的数学公式，能为推理提供基本依据，为问题的解决提供路径和方法。
　　而以高中数学公式为背景的中考试题主要考查学生对公式结构特征的识别和＂套用＂，当然，偶尔会涉及高中数学公式的证明（能运用初中数学方法解决的高中数学公式）。
　　类型4.以高中数学方法为背景
　　美国数学教育家乔治·波利亚把数学思想方法训练看作是 揭示数学发明的本质和阐述数学教学的实质 。
　　例7．（2021•张家界）阅读下面的材料：
　　例8．（2021•鄂州）数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题．
　　猜想发现
　　拓展应用
　　疫情期间，为了解决疑似人员的临时隔离问题．高速公路检测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），用63米长的钢丝网围成了9间相同的长方形隔离房，如图．设每间离房的面积为S（米2）．问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积S最大？最大面积是多少？
　　通过数学思想方法训练，能把一个个＂散装零件＂的数学知识点装配成一部杀伤力无敌的＂机器＂。
　　近年来，无论高考还是中考，都越来越重视对数学思想方法的考查，一些中考试题的命制过程可以说就是高中的数学方法在手后的＂穿衣戴帽＂过程，掌握高中一些基本方法，通过倒推可以破解试题的命制＂程序＂。
　　反思建议：
　　如何面对近年来中考数学试题中频频出现的一些以高中数学知识为载体的考题？
　　通过上述分析，这类试题往往看似难度较大，其实 起点高，落点低。尽管含有高中数学背景，但其解答通常并不会给考生带来太多思维上的障碍。
　　解决的关键往往是运用初中学习过的知识和研究与处理数学问题的思想和方法，认真阅读细心审题，通过题设中简单的背景知识介绍，结合一些公式、图形、数据等，在此基础上找到与初中数学相联系的落脚点，运用已掌握的解决数学问题的方式方法加以解决。
　　归根到底考的是数学的应用能力。因此，在初中数学学习和备考的过程中，除了夯实基础知识，还应做到：
　　①不断提升自己独立思考问题的习惯和能力。
　　对同一问题应从不同角度、方面去思考和分析，寻找多种途径和方法解决，使思维更广阔灵活。
　　②重视对数学思想方法的掌握。
　　数学中的许多公式、概念、定理本身就隐含丰富的数学思想方法内容，如分类讨论方法、数学模型思想，掌握了数学思想方法就等于掌握了初高中衔接的＂万能＂金钥匙，受益终身。
　　③适当在初中数学学习中渗透一些高中内容。
　　在不超越教材和接受能力的情况下，适当在初中阶段渗透符合知识的发展发展规律的高中内容依旧非常有必要，其不仅能开阔数学视野，激发求知欲，还能使准高一新生更好地完成高中数学与初中数学的和谐接轨，避免陡坡效应。
　　例如初高中数学衔接学习主要会集中在以下的几个内容：1、乘法公式和因式分解；2、二次根式的运算与化简；3、二次函数的图像与性质；4、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理的应用）；5、一元二次方程根的分布（含参问题）；6、复杂的高次（无理）方程和二元二次方程组的解法；7、平面几何的补充定义与定理。
　　毕竟真正选拔具备数学应用实力的考试，或许会迟到，但永远不会缺席。
　　参考文献：黄东坡：全市中考数学平均分竟不足50分，这道难哭众多学霸的送命题，明年恐怕还会再现！