非欧几何令人惊叹的思维和富于想象的实用场景

　　爱因斯坦把人类的思维带到了一个类似魔幻的场景。在那个环境下，时间可以倒流，空间是弯曲的，人类甚至可以排除距离的障碍，到远离自己有几万光年跨度的地方去旅行。这一切竟然有科学根据，你不得不感叹科学家想象力的丰富。而这些突破常人思维的推论，可以说基本来源于非欧几何。
　　大家好，今天伟岗给大家聊聊非欧几何，这又是我们普通人没有或者很少接触的数学知识。请不要拘泥于数学只是写写算算，那样的话太小看数学家了。当代数学家对世界的认识，其深度之深，广度之广，可以说超过所有的科幻小说。我们虽然不能比肩那些数学家，但是了解一下他们的工作还是非常有趣和有益的。这样做，既丰富了我们的想象，又拓展了我们的思维，更引发我们思考，从此我们慢慢远离痴呆，远离毒鸡汤，成为一个正常有思维的人。
　　文章开始之前，还是感谢朋友同学的鼓励打赏！没想到那么多朋友同学伴随伟岗有差不多5万字之多，非常的不容易，谢谢大家了。
　　我们前面讲过，非欧几何主要是对欧几里得第五公设的否定。也就是说，过直线外一点能够做多少直线平行线的问题。欧氏几何只承认做一条且只能做一条直线的平行线。其它的就是非欧几何了。
　　目前大家公认的是，发现非欧几何存在的第一个人高斯。不过高斯在生前没有发表他的非欧几何观点，首先公开发表非欧几何理论的是俄罗斯数学家罗巴切夫斯基。罗巴切夫斯基首先还是想证明第五公设，但是没有成功，最后他大胆假设第五公设不成立，过直线外一点可以做无穷多直线的平行线。
　　罗巴切夫斯基的思路是从他的假设出发，重演几何原本的内容。也就是说，以直线外可以做很多直线的平行线出发，看看欧几里得那些几何题会演变成怎么样。
　　罗巴切夫斯基活跃的那个年代（1826年左右），数学家对弯曲的空间还没有概念，而且非欧几何没有直观性（没有直观性的原因是因为否定了第五公设，平面就不存在了。而做几何图只能在纸上，纸却是平的，你在一张平的纸上很难画出非欧几何的图形）。或者不太准确地说，你在纸上要过一点画出一条直线的几条平行线是非常困难的，你要把图形扭曲起来，这样一张纸，才能显得是弯曲的。问题的关键是，你怎么扭曲？要让你的图按照你设想的方式扭曲非常难，但是不扭曲就是欧氏几何了。所以很难实现罗巴切夫斯基几何的直观性。罗巴切夫斯基遇到的障碍之大，可想而知。
　　罗巴切夫斯基还真是个天才，他还真画出了这样的图形，而且用他的图形证明了三角形的内角和小于180度。也就是说，用他的假设代替第五公设，同样可以得到一系列的几何结论。
　　罗巴切夫斯基以他的非欧三角形（内角和小于180度）出发，开创了非欧几何的新领域。单凭这一点，他就可以在数学史上留名了。事实上普林斯顿数学指南确实有他的名字。不过他的理论在他的生前没有得到认可。虽然高斯是他同时代的人，非常认可他的工作，甚至邀请他为哥廷根大学的通讯院士。但是我们前面提到过，高斯不太愿意跟人打交道，在当时也没有被认为是最伟大的数学家，所以高斯能够做的非常有限。
　　从我们现代人的观点看，罗巴切夫斯基是在一个凹曲面上做几何论证，但同时你又要把这个凹曲面想象成二维的，这个似乎有点不可思议。弯曲空间你没有想象力是很难理解的，二维弯曲平面情况还好一点，有三维的曲面来做想象的基础。但是如果是三维弯曲空间，你就根本想象不到是怎么回事。
　　罗巴切夫斯基的天才就在于，他把凹面上作图的特性映射到了平面上，得出了三角形内角和小于180度的结论。并从这个出发，得出了一些三角形性质的公式。也就是说他非要体现出非欧几何的直观性，这一点就相当地勉为其难了，不被当时的数学家理解是非常正常的。
　　虽然罗巴切夫斯基的论文还是得到发表，不过由于不被认可，他晚年生活非常悲惨。他甚至被免除了大学教职，这使得他经济和精神上都受到巨大打击。加上他的小孩众多（据说至少有15个小孩），他最喜欢的、很有才华的大儿子又因患肺结核医治无效去世，使得他在65岁就因病在郁闷中孤独离世。去世前还双目失明。这么多的打击在数学家中是罕见的。
　　不过平心而论，罗巴切夫斯基的路径有点问题。欧几里得把第五公设决定为过直线外一点能且只能做直线的一条平行线，这个符合直观的要求。也就是说，如果你靠作图来研究几何，直观是必须，或者至少好理解。你要在非直观的意义上，用作图的方式来研究几何，这个还不光是难度的问题，它还是一个能不能深入发展的问题。毕竟作图就是为了直观。你的问题都没有直观的意义，作图就不是一个好的方法了。所以虽然罗巴切夫斯基有天才般的想象，在他生前不被接受也是情有可原的。
　　而且，后续也很少数学家在罗巴切夫斯基的基础上做深入的研究，也就是说，罗巴切夫斯基的突破，目前只能雪藏起来，也许等到人类随便都能做出弯曲空间的直观图时，罗巴切夫斯基的理论才会回到数学家的眼中。
　　那么非欧几何是不是就没有前途了？这个问题数学家给予了否定的回答，这时另一个数学天才黎曼登上了数学发展的大舞台，成了一个闪亮的明星。
　　不过讲起来，黎曼也是一个悲剧人物。可以说他的悲剧甚至从他的童年就开始了，原因就是他小时候身体就很差。可以说疾病伴随了他一生，最后不到40岁就因为肺结核不治而离开人世。而且他的家人寿命都不长，他母亲在他不到20岁就去世了，他的父亲，一个兄弟，三个姐妹都在他母亲去世后，很快先后离世了。这对黎曼的心理是巨大的打击。有人说他是疑病症患者，可见他心理承受的压力有多大。
　　不过黎曼倒是个数学神童，据说不到6岁就掌握了很多运算的技巧，读了很多书。这为他在短短的职业生涯中创造奇迹打下了基础。黎曼的父亲本来安排他学神学的，可是他自己强烈要求学数学，他爸爸也没有办法，只好允许他在哥廷根大学学数学，那时高斯也在哥廷根大学，有人说高斯是黎曼的老师，这个也有可能。不过高斯不太注重他的授课和带学生，所以黎曼得到高斯的教诲应该不多。
　　黎曼跟罗巴切夫斯基是同一个时代的人，罗巴切夫斯基发表他的罗氏几何是1826年，而黎曼公布他的非欧几何成果是在1851年，这个是为他就职哥廷根大学讲师所写的就职报告。
　　黎曼就职演说的题目是《论几何学作为基础的假设》，同样他也是否定欧几里得的第五公设，不过他跟罗巴切夫斯基相反，他宣称＂过直线外的一点，一条平行线也画不出来＂。
　　当然黎曼不仅仅是跟罗巴切夫斯基假设反一下，如果那样的话，就有一点民科的味道了。黎曼的思维要比罗巴切夫斯基要深邃得多。需要提的一点是，除了几何，黎曼还是分析专家，我们常规的积分就叫黎曼积分，这也是为了表彰黎曼在分析领域里的贡献。关于黎曼在分析方面的贡献，我们以后有机会再详述，我们这里单单讲讲他的非欧几何。
　　我们之所以说黎曼在思维上远远高过罗巴切夫斯基，是因为他不单单是否定第五公设，他更厉害之处是抛弃了欧氏几何的直观性。这话怎么解释呢？
　　黎曼的非欧几何，现在叫黎曼几何，它不单单是建立在＂过直线外的一点，一条平行线也画不出来＂上，更为关键地是，黎曼几何已经不研究，或者说不着重研究空间的直观性质。要理解这一点，就要跳出我们初等数学思维的框框。
　　黎曼几何后来发展成微分几何，也就是说微分几何的基础是黎曼几何。它到至今还是热门的研究领域，反观罗巴切夫斯基几何的萧条，更显得黎曼几何的厉害。
　　事实上，近代，现代很多数学家都是因为微分几何而成名天下。比如华裔的陈省身和丘成桐，还有非常多菲尔兹得奖的得主，都因为在微分几何领域有重大突破而蜚声中外的。一个领域能够如此地兴旺发达，创始人可谓功不可没。
　　由于在分析领域的强悍，也就是微积分懂得很深，黎曼把他的几何重点研究放到微积分在几何中的应用，这大大打开了数学家的思维空间。
　　在黎曼之前，数学家的思维还是被几何原本框住了。所以想当然地认为，几何就是研究三角形的内角和啊，全等啊，相似啊等等等等，这些直观的性质。最多也就是像阿基米德那样，求求曲线包围的面积体积，这个直观性不是那么明显的空间性质。虽然高斯和欧拉有几篇论文指出了研究曲面变化的重要，但都不是像黎曼那样，把研究的重点放到空间的变化上。具体讲就是空间的曲率，测地线，向量场这些参数。空间的这些性质，对我们只有初等数学基础的人，一下子很难理解。
　　我们目前只要知道，我们生活的空间比我们肉眼看到的，耳朵听到的要复杂得多，数学家描绘的空间已经大大超过了我们的想象，我们要做的，就是静下心来，慢慢学习，这样才能逐渐了解这个复杂的社会。
　　黎曼几何另一个出乎意外的，就是竟然被物理学家看中，演绎了一场思维解放大战，最著名的自然是爱因斯坦的相对论，不过这个讲起来，又篇幅太长了，还是留在以后写吧。
　　文章最后，还是感谢朋友同学的鼓励打赏。下一篇我们来谈谈阿基米德，这个充满豪气的古希腊数学家。
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