数学竟然也需要观察和实验？

　　看过老郭写的科普文章的人都知道，我喜欢用轻松的语气来聊科学，但是本文我要用比较严肃的方式跟大家聊聊数学观察与实验。
　　观察与实验作为一种方法的运用，是解决数学问题中经常运用的方法，能帮助学生找到解题方法和数学证明方法。更重要的是任何学科的观察与实验方法都在其背后隐藏着这个学科特有的理论及其思维方式。我们可以把观察与实验作为数学思维、数学思维方法有某种联系的外在表现形式。
　　图1 在做数学游戏的孩子
　　一、数学观察与实验的概念
　　目前，学界对数学实验的理解不尽相同。借鉴前人对数学实验的多种定义，数学实验的概念应该界定为：为了帮助学生建构数学的概念、数学的理论表述，提高运用数学解决实际问题的能力问题，借助于一定的技术手段，通过对实验素材进行实际操作来帮助学生不断地经历至关感觉、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、反思与建构数学的学习活动。
　　图2 图片来自网络侵删
　　二、数学与物理学中观察与实验的异同
　　在物理学的研究中，科学家一般都是通过观察、测量、分析、综合、类比、分类、实验等多种手段来解决问题。数学中的一些方法与物理学研究的方法也有相同的地方，有些方法并不是数学所独有的，但是数学研究对象的特殊性使得数学中的一些科学方法有了自己的独特特点。
　　图3 几种物体的体积公式
　　在物理学的研究中，观察与实验是非常重要的方法。物理学家们通过观察与实验收集物体运动的客观事实，获取物理学研究的第一手资料，这是物理学形成、论证及检验物理学理论的最基本的实践活动。
　　图4 数学观察游戏
　　数学对观察和实验方法的依赖和物理学相比有很大的差异。这是由于数学研究的对象是一种形式化的思想材料，尽管数学起源于经验，但是随着数学的发展，经过思维的抽象化处理，现在的数学实际上已经舍弃和远离了事物的具体内容。这一点，作为物理系毕业的老郭是深有体会的。
　　图5 数学观察游戏二
　　三、观察与实验在数学中的意义
　　我们现在的数学教育，尤其是在中国的数学教育中，特别注重形式，注重数学自身的结构。在我们的教科书中大量充斥着＂已知—求证＂式的逻辑推演形式。在这样的教学和学习过程中，学生的观察与实验能力没有得到任何培养，学生们变成了只会死记硬背的学习机器，学习数学的乐趣丧失殆尽，学习数学的兴趣和信心全无。
　　图6 某道数学题
　　如果我们能够通过学生自己的观察与实验，得到对数学概念、数学运算、数学理论的个体体验和理解，学生就可以从实际生活中抽象出自己的体会和概念，使个体的经验成为对数学概念理解的好帮手。这种观察和实验能力都会有助于学生提高运用数学工具解决具体的实际问题。事实上，在数学的发展过程中，数学家们成功的重要因素之一就是因为他们有自己的观察和实验的独特经历。
　　图7 勾股定理
　　比如，勾股定理，其内容最早见于商高的话中，所以当时人们就把这个定理叫做商高定理。商高是公元前11世纪西周时期的人，当时西周还是属于奴隶社会时期。当时数学家商高就提出＂勾三、股四、弦五＂。我们来看图7，这就是从经验中总结出来的规律。
　　图8 图片来自网络侵删
　　其实，在中小学数学的学习中，很多概念和数学对象的性质都可以通过观察和实验来得到，比如有关数、形、函数的概念和性质，各种图形的面积和体积；在高等数学中的极限、连续、导数、微分也是可以通过观察和实验来的到它们具体的物理意义。
　　图9
　　通过这些观察和实验，能够培养学生们学习数学的兴趣和信心，催生学习数学的欲望。然而不幸的是，在我们今天令人沮丧的淘汰选拔式教育体制下，有多少孩子失去了学习数学的兴趣和自信？成绩不好的，成为考试的失败者，成绩好的对于数学也毫无兴趣。可以这么说，强化观察和实验对于数学的学习意义重大。
　　图10
　　四、观察和实验在数学中的运用
　　数学的观察和实验方法可以大致分为两种：一是运用观察和实验来解决和验证数学理论；二是运用观察和实验来解决具体的数学问题。在中小学阶段主要是后者。
　　在中小学中，观察和实验还是比较多的。比如，与几何图形相关的知识、定理、公式的探求或验证，如平行四边形面积、梯形面积、圆的面积公式的推导，圆柱体积、圆锥体积公式的推导等。还有一些与实践活动紧密相关的内容也可以采用操作性实验来完成，如研究小球滚动角度和滚动距离之间的关系，研究影响小球弹起的高度与哪些因素有关等。
　　图11
　　在数学的发展史上，费马因观察而猜想可能所有2^(2^n)+1形的数都是素数，但是后来的数学家欧拉进行了实验，结果2^(2^5)+1就不是素数，后来又有人发现2^(2^25)+1也不是素数。
　　数学家高斯在大学一年级的时候就完成了正十七边形的尺规作图。正三角形、正五边形和正十二边形都是很容易做的，但是在做正七边形、正十一边形和正十七边形的时候遇到了非常大的困难。高斯不仅在实验的基础上完成了正十七边形的尺规作图，而且还进一步证明了这个定理：凡边数为费马素数（即2^(2^n)+1为素数）的正多边形可用尺规作图作出，当边数为素数但不是费马素数时，这样的正多边形不能用尺规作图作出。
　　图12 尺规作图
　　在当今计算机软件飞速发展的情况下，现在很多数学上的计算都可以利用计算机软件进行模拟实验。很多高等院校的理工类专业都开设有专门的＂数学实验＂课程。主要内容是介绍利用科学计算软件来实现高等数学，线性代数、概率论与数理统计等课程中的各类计算、运算问题，包括求导数、不定积分等符号运算。在数学实验课程中，数学计算不再是那种在纸张上的计算过程，而是一个综合了数学知识、数学建模与计算机应用等多学科的知识，利用软件解决大学数学中的计算问题。其实利用计算机软件进行数学实验这个方法，同样试用于中小学生。
　　图13
　　五、观察与实验的方法值得每一个学习数学的人关注
　　不论是文科还是理科，不论是中小学生还是大学生，都应该在数学的学习中注重数学的观察与实验能力。这种能力几乎是数学家和物理学家都具备的潜质，很多数学家在其数学创新的过程中，观察与实验能力都发挥过巨大的作用。只是我们普通人经常忽略了隐藏在理论背后的这个过程。
　　我们要鼓励和培养学生的观察能力与实验能力，这实际上就是在鼓励和支持学生们参与数学的活动，激发学生学习数学的积极性。
　　今天老郭要介绍的内容就写到这里了，感谢您的阅读，欢迎您在评论区留下您的宝贵意见。