垂直于弦的直径的课程教学设计

　　第一课时 （一）
　　教学目标 ：
　　（1）理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用垂径定理进行计算和证明；
　　（2）进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；
　　（3）通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱。
　　教学重点、难点：
　　重点：
　　①垂径定理及应用；
　　②从感性到理性的学习能力。
　　难点：垂径定理的证明。
　　教学学习活动设计：
　　（一）实验活动，提出问题：
　　1、实验：让学生用自己的方法探究圆的对称性，教师引导学生努力发现：圆具有轴对称、中心对称、旋转不变性。
　　2、提出问题：老师引导学生观察、分析、发现和提出问题。
　　通过演示实验观察感性理性引出垂径定理。
　　（二）垂径定理及证明：
　　已知：在 O中，CD是直径，AB是弦，CDAB，垂足为E。
　　求证：AE=EB， =， =。
　　证明：连结OA、OB，则OA=OB。又 CDAB，直线CD是等腰 OAB的对称轴，又是 O的对称轴。所以沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合， 、 分别和 、 重合。因此，AE=BE， =， =。从而得到圆的一条重要性质。
　　垂径定理：平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
　　组织学生剖析垂径定理的条件和结论：
　　CD为 O的直径，CDAB AE=EB，
　　为了运用的方便，不易出现错误，将原定理叙述为：
　　①过圆心；
　　②垂直于弦；
　　③平分弦；
　　④平分弦所对的优弧；
　　⑤平分弦所对的劣弧。
　　加深对定理的理解，突出重点，分散难点，避免学生记混。
　　（三）应用和训练
　　例1、已知在 O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求 O的半径。
　　分析：要求 O的半径，连结OA，只要求出OA的长就可以了，因为已知条件点O到AB的距离为3cm，所以作OEAB于E，而AE=EB= AB=4cm。此时解Rt AOE即可。
　　解：连结OA，作OEAB于E。
　　则AE=EB。
　　 AB=8cm，AE=4cm。
　　又 OE=3cm，
　　在Rt AOE中，
　　（cm）。
　　 O的半径为5 cm。
　　说明：①学生独立完成，老师指导解题步骤；②应用垂径定理计算：涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h
　　关系：r =h+d； r2 =d2 + （a/2）2
　　例2、 已知：在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点。求证AC=BD。（证明略）
　　说明：此题为基础题目，对各个层次的学生都要求独立完成。
　　练习1：教材P78中练习1，2两道题。由学生分析思路，学生之间展开评价、交流。
　　指导学生归纳：①构造垂径定理的基本图形，垂径定理和勾股定理的结合是计算弦长、半径、弦心距等问题的常用方法；②在圆中解决弦的有关问题经常作的辅助线弦心距。
　　（四）小节与反思
　　教师组织学生进行：
　　知识：
　　（1）圆的轴对称性；
　　（2）垂径定理及应用。
　　方法：
　　（1）垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、弦心距等问题的方法，构造直角三角形；
　　（2）在因中解决与弦有关问题经常作的辅助线弦心距；
　　（3）为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足
　　①过圆心；
　　②垂直于弦；则可得
　　③平分弦；
　　④平分弦所对的优弧；
　　⑤平分弦所对的劣弧。
　　（五）作业
　　教材P84中11、12、13。
　　第二课时 （二）
　　教学目标 ：
　　（1）使学生掌握垂径定理的两个推论及其简单的应用；
　　（2）通过对推论的探讨，逐步培养学生观察、比较、分析、发现问题，概括问题的能力。促进学生创造思维水平的发展和提高
　　（3）渗透一般到特殊，特殊到一般的辩证关系。
　　教学重点、难点：
　　重点：
　　①垂径定理的两个推论；
　　②对推论的探究方法。
　　难点：垂径定理的推论1。
　　学习活动设计：
　　（一）分解定理（对定理的剖析）
　　1、复习提问：定理：平分这条弦，并且平分弦所对应的两条弧。
　　2、剖析：
　　（教师指导）
　　（二）新组合，发现新问题：（A层学生自己组合，小组交流，B层学生老师引导）
　　（包括原定理，一共有10种）
　　（三）探究新问题，归纳新结论：
　　（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦对应的两条弧。
　　（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦对应的两条弧。
　　（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
　　（4）圆的`两条平行线所夹的弧相等。
　　（四）巩固练习：
　　练习1、平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧这句话对吗？为什么？
　　（在推论1（1）中，为什么要附加不是直径这一条件。）
　　练习2、填空：在 O中，
　　（1）若MNAB，MN为直径，则________，________，________；
　　（2）若AC=BC，MN为直径，AB不是直径，则则________，________，________；
　　（3）若MNAB，AC=BC，则________，________，________；
　　（4）若 =，MN为直径，则________，________，________。
　　（此题目的：巩固定理和推论）
　　（五）应用、反思
　　例、四等分 。
　　（A层学生自主完成，对于其他层次的学生在老师指导下完成）
　　教材P80中的第3题图，是典型的错误作。
　　此题目的：是引导学生应用定理及推论来平分弧的方法，通过学生自主操作培养学生的动手能力；通过与教材P80中的第3题图的对比，加深学生对感性知识的认识及理性知识的理解。培养学生的思维能力。
　　（六）小结：
　　知识：垂径定理的两个推论。
　　能力：
　　①推论的研究方法；
　　②平分弧的作图。
　　（七）作业 ：
　　第三课时
　　垂径定理及推论在解题中的应用
　　教学目的：
　　⑴要求学生掌握垂径定理及其推论，会解决有关的证明，计算问题。
　　⑵培养学生严谨的逻辑推理能力；提高学生方程思想、分类讨论思想的应用意识。
　　⑶通过例4（赵州桥）对学生进行爱国主义的教育；并向学生渗透数学来源于实践，又反过来服务于实践的辩证唯物主义思想
　　教学重点：垂径定理及其推论在解题中的应用
　　教学难点 ：如何进行辅助线的添加
　　教学内容：
　　（一）复习
　　1垂径定理及其
　　推论1：对于一条直线和一个圆来说，具备下列五个条件中的任何个，那么也具有其他三个：
　　⑴ 直线过圆心 ；
　　⑵ 垂直于弦 ；
　　⑶ 平分弦 ；
　　⑷ 平分弦所对的优弧 ；
　　⑸ 平分弦所对的劣弧。可简记为：知2推3
　　推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
　　2应用垂径定理及其推论计算（这里不管什么层次的学生都要自主研究）
　　涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h关系：r =h+d ； r2 =d2 + （a/2）2
　　3常添加的辅助线：（学生归纳）
　　⑴ 作弦心距 ；
　　⑵ 作半径 。——————构造直角三角形
　　4可用于证明：线段相等、弧相等、角相等、垂直关系；同时为圆中的计算、作图提供依据。
　　（二）应用例题：（让学生分析，交流，解答，老师引导学生归纳）
　　例1、1300多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4米，拱高（弧中点到弦的距离，也叫弓形的高）为7.2米，求桥拱的半径（精确到0.1米）。
　　说明：
　　①对学生进行爱国主义的教育；
　　②应用题的解题思路：实际问题（转化，构造直角三角形）数学问题。
　　例2、已知： O的半径为5 ，弦AB CD ，AB =6 ，CD =8 。求：AB与CD间的距离。（让学生画图）
　　解：分两种情况：
　　（1）当弦AB、CD在圆心O的两侧
　　过点O作EFAB于E，连结OA、OC，
　　又 AB CD，EFCD。（作辅助线是难点，学生往往作OEAB，OFAB，就得EF=OE+OF，错误的结论）
　　由EF过圆心O，EFAB，AB =6，得AE=3，
　　在Rt OEA中，由勾股定理，得
　　同理可得：OF=3
　　EF=OE+OF=4+3=7。
　　（2）当弦AB、CD在圆心O的同侧
　　同（1）的方法可得：OE=4，OF=3。
　　说明：
　　①此题主要是渗透分类思想，培养学生的严密性思维和解题方法：确定图形分析图形数形结合解决问题；
　　②培养学生作辅助线的方法和能力。
　　例3、 已知：AB是 O的弦，半径OC AB ，AB=24 ，OC =15 。求：BC的长。
　　解：（略，过O作OEAE于E ，过B作BFOC于F ，连结OB。BC =）
　　说明：通过添加辅助线，构造直角三角形，并把已知与所求线段之间找到关系。
　　（三）应用训练：
　　P8l中1题。
　　在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后。截面如图所示，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度。
　　学生分析，教师适当点拨。
　　分析：要求油的最大深度，就是求有油弓形的高，弓形的高是半径与圆心O到弦的距离差，从而不难看出它与半径和弦的一半可以构造直角三角形，然后利用垂径定理和勾股定理来解决。
　　（四）小结：
　　1 垂径定理及其推论的应用注意指明条件。
　　2 应用定理可以证明的问题；注重构造思想，方程思想、分类思想在解题中的应用。
　　（五）作业 ：教材P84中15、16题，P85中B组2、3题。
　　探究活动
　　直线MN与 O交于点A、B，CD是 O的直径，CEMN于E，DFMN于F，OHMN于H。
　　（1）线段AE、BF之间存在怎样的关系？线段CE、OH、DF之间满足怎样的数量关系？并说明理由。
　　（2）当直线CD的两个端点在MN两侧时，上述关系是否仍能成立？如果不成立，它们之间又有什么关系？并说明理由。