第一单元 分数乘法 教材解读 【课标解读】 分数乘法是在学习了整数乘法、分数的意义和性质的基础上进行教学的，同时又是学习分数除法和百分数的重要基础。《课程标准（XX版）》提出：＂掌握必要的运算技能＂ ＂能解决小数、分数和百分数的简单实际问题＂。通过学习，学生将所学知识应用于解决实际问题，充分体现了＂从生活中来，到生活中去＂的课堂教学理念。 一、利用熟悉的生活情境，使学生在已有知识经验的基础上，掌握新的运算技能 1.教材强调通过对算理的充分理解得出算法。利用＂分蛋糕＂＂桶装水容积计算＂＂土地中农作物的种植面积计算＂等生活中的情景，借助＂几何直观＂，沟通分数乘法意义与整数乘法意义的联系，实现由整数乘法意义向分数乘法意义的正迁移，促进学生形成对分数乘法意义的有效理解，再引导学生自主归纳出分数乘法的计算方法。 2.结合尝试计算、探索验证、比较优化、合作交流等活动，引导学生经历自主构建新知的完整过程。在教学内容方面，体现为在观察、操作的基础上开展探索、讨论与交流，理解计算算理，归纳计算法则，分析数量关系，寻找解决问题的思路，充分体现学生学习的主体地位。 二、通过丰富多样的练习，使学生进一步理解新知，培养优化意识，提高运算能力 1.注重在练习中对学生进行算法优化意识的渗透和培养。利用分数计算中＂能先约分的可以先约分，再计算＂、分数乘法简便计算等内容的教学，培养和训练学生灵活合理地选择计算方法的能力，以切实提高运算能力。 2.习题的编排注重与实际生活的联系，选用丰富的素材拓展学生的课外知识。既激发了学生的兴趣，又对良好思想品质的形成起到了积极影响。 三、通过解决问题的教学，培养学生的分析推理能力，丰富解题策略，感受数学在生活中的广泛应用，体会学习数学的价值。 1.强化对解决问题的方法指导。通过＂阅读与理解＂＂分析与解答＂＂回顾与反思＂的教学环节，既培养学生收集处理数学信息、提出问题分析问题的能力，又对数学思考方法进行有步骤的渗透，对于培养学生数学思维能力和解决问题的能力具有重要意义。 2.进行解决问题方法的多样化教学。利用图形、线段图等方式帮助学生更好地理解数量关系，并强调了对结果进行检验的重要性。 3.借助丰富的习题素材，使学生感受数学在生活中的广泛运用，体会学习数学的价值。在解决问题的过程中获得成功的体验。 从教材的整体编排看，《分数乘法》这一单元是本册教材的教学重点之一。在课程实施中，应始终注重激活学生已有的知识和经验基础，利用知识的迁移、比较和推理，引导学生自主探索并建构新知。对于学生＂运算能力＂的培养是《课程标准》中提出的重要任务，结合本单元的教学，引导学生通过对算理的理解熟练掌握算法，并在实际应用中加以巩固和深化。 四、课标要求：《课程标准（XX年版）》在＂学段目标＂第二学段中提出了＂掌握必要的运算技能＂。《课程标准（XX年版）》在＂课程内容＂中提出＂能分别进行简单的小数和分数（不含带分数）的加、减、乘、除运算及混合运算（以两步为主，不超过三步）＂＂能解决小数、分数和百分数的简单实际问题＂＂经历与他人交流各自算法的过程，并能表达自己的想法＂的要求。 【教材分析】 本单元教材是在学生掌握了整数乘法、分数意义和性质以及分数加减法的计算等知识的基础上进行编排的。利用分数乘法的计算，不仅可以解决有关的实际问题，也是后面学习分数除法和百分数的重要基础。本单元的内容包括分数乘法以及利用分数乘法解决实际问题，具体地说，教学内容主要有以下几方面：分数乘法的意义、分数乘法的计算方法、分数四则混合运算、问题解决。 一、与实验教材（《义务教育课程标准实验教科书<数学>六年级》，下同）的主要区别 （一）分数乘法的意义 突出强调分数乘法意义的两种形式，增加例2，作为教学＂求一个数的几分之几是多少，用乘法计算＂的铺垫。分数乘法的意义是在整数乘法的意义的基础上扩展而来的，可以分为两种情况。第一种，求几个相同分数相加之和是多少，这和求几个相同整数相加之和的意义是完全相同的，是整数乘法意义的延续。第二种，求一个数的几分之几是多少可以用乘法计算，这是整数乘法意义的扩展。例如，一桶水12 l,求这桶水的 是多少升和求半桶（ 桶）水是多少升，意义是完全相同的，列式都是 。因此，求一个数的几分之几是多少，也就是求几分之几个单位＂1＂是多少，只是我们一般更习惯于采用前一种表述。把这两种情况综合起来看，分数乘法的意义是整数乘法的意义的扩展，二者在本质上是一致的，都是求几个相同的数之和，这里的＂几＂既可以是整数，也可以是分数，＂相同数＂既可以是整数，也可以是分数。 此外，学生以前学过＂求一个数是另一个数的几倍＂＂求一个数的几倍是多少＂等数量关系，知道＂求一个数的几倍是多少＂用乘法计算。这里的＂几倍＂可以是＂整数倍＂，也可以是＂小数倍＂，但一般是指倍数大于1的情况。当一个量与另一个量的＂倍数＂小于1时，一般就不说＂几倍＂而说成＂几分之几＂。例如，＂甲是乙的3倍＂，我们一般就说＂乙是甲的 ＂，而不说＂乙是甲的 倍＂，但二者的数量关系在本质上是一致的。所以，＂求一个数的几分之几是多少＂只是＂求一个数的几倍是多少＂的一种延伸而已。一个数乘分数与分数的意义是相通的，就是用更小的单位去度量。如 就是把 平分成 份，取其中的 份。当 时，就是整数乘法。 （二）分数乘法的计算方法 增加分数与小数的乘法（例如 ，按比分配的计算）。小数和分数相乘，既可以把小数改写成分数后进行相乘，如果分数可以化成有限小数，也可以把分数化成小数再相乘。但对于一些特殊的小数，如果小数和分数的分母可以直接约分，可以采用先约分再相乘的计算方法。这样依据数据算式特点选择灵活合理的计算方法的技能对学生来说是有必要掌握的，这也是课标＂倡导算法多样化，培养运算能力＂的具体体现与落实。因此，本次教材修订把此类问题编入教材。 （三）利用分数乘法解决实际问题 教材没有单独编排＂求一个数的几分之几是多少＂的实际问题的求解，而是结合分数乘法的意义、计算进行教学；增加了连续求一个数的几分之几的实际问题；将求比一个数多（或少）几分之几的实际问题由两个例题缩减为一个。 与分数乘法相关的现实问题分为三类。第一类问题，数量关系是以前学过的，只是相关数据变成了分数，学生利用已有知识可以直接列式；第二类问题，数量关系是＂求一个数的几分之几是多少＂。教材把这两类问题编排在理解分数乘法的意义和解决分数乘法计算的过程之中，避免了过多的重复。在此基础上，教材又编排了第三类问题：稍复杂的分数乘法问题，即连续求一个数的几分之几是多少的问题和求比一个数多（或少）几分之几的数是多少的问题，这两类问题都是以＂求一个数的几分之几是多少＂为基础的，需要学生在解决问题的过程中明确数量关系，虽然问题的复杂度提高了，但基本的数量关系其实没有改变，只是＂一个数的几分之几＂中的＂一个数＂和＂几分之几＂根据情境不同而发生改变。 （四）＂倒数的认识＂由＂分数乘法＂单元移到＂分数除法＂单元 由于倒数是学习分数除法的基础，因此教材把＂倒数的认识＂移至＂分数除法＂单元，加强了知识之间的联系。 二、教材例题分析 例1：分数乘法意义的第一种形式：几个相同分数相加是多少 本例实际是整数乘法的意义、分数加法计算等已有知识经验在分数乘整数教学中的应用。因此，教学中尤其要充分利用学生已有的认知基础，并在此基础上引导学生自主推导，理解算理。 例2：是例3教学的铺垫，只列式不计算。根据已学数量关系＂每桶水的体积 桶数=水的体积＂，通过类比推理列式，只是桶数可以由整数扩展到分数。教材结合情境，说明求 桶水、 桶水的体积就是求12 l的 和12 l的 分别是多少。在此基础上，概括出＂一个数乘几分之几，可以表示这个数的几分之几是多少＂。由整数乘法的意义类推出分数乘法的意义和算式，在情境中理解分数乘法算式在这里表示＂一个数的几分之几是多少＂。 例3：分数乘法意义的第二种形式：一个数的几分之几是多少 是在学生会利用＂求一个数的几分之几是多少，用乘法计算＂列式之后，学习分数乘分数的计算方法。教材借助直观动态图及分数的意义，使学生在探索和理解分数乘分数算理的基础上，一步一步总结出分数乘分数的计算方法。在这里，有些分数是带单位的＂量＂，有些分数是不带单位的＂率＂，事实上，＂量＂与＂率＂也是可以互相转化的。例如， 公顷，实际上就是1公顷的 ； 公顷的 ，就是1公顷的 ，即 公顷。这需要教师充分利用动态图帮助学生理解＂量＂与＂率＂之间的转换。 例4：分数乘法的简便约分方法 学习分数乘法的简便方法。教材把分数乘法意义的两种形式混合编排在一起。第（1）小题是＂求一个数的几分之几＂，第（2）小题既可以根据＂速度 时间=路程＂列式，也可以根据＂几个相同分数相加＂列式。在数据处理上，本例中既包含分数与分数相乘，又包含分数与整数相乘。学生可以通过此例，进一步掌握分数乘法的一般性算法。 例5：分数与小数相乘 是教材修订中增加的内容。分数和小数相乘，可把分数化成小数相乘（在分数可以化成有限小数的情况下），也可把小数化成分数相乘。不管哪种方法，都是学生已学的知识，可以让学生自行解决。而当小数与分数的分母存在公共因数时，可以直接＂约分＂。这种约分虽然与以前学过的约分形式不同，但实质都是除以一个相同的数。在倡导算法多样化的同时，也要通过比较分析，帮助学生认清＂通用方法＂与＂特殊方法＂之间的相互关系，同时明确简便算法的局限性。 例6：分数混合运算顺序 教材的编排首先借助学生用不同方法计算长方形的周长，自然引出分数四则混合运算，并直接说明分数混合运算的顺序和整数混合运算顺序相同，让学生自主解决。本例特意用两道有关联的算式讲解分数混合运算的顺序，为接下来把整数乘法运算定律推广到分数乘法的正式教学进行了很好的铺垫。 例7：整数乘法运算定律扩展到分数 在例6教学的基础上，再通过观察、计算，归纳得出＂整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于分数乘法也适用＂的结论。结合具体计算，说明应用乘法运算定律可以使分数混合运算更加简便。 例8：连续求一个数的几分之几是多少 是让学生在会解决求一个数的几分之几是多少的基础上，进一步解决连续求一个数的几分之几是多少的实际问题。在这里，由于研究的是三个量之间的关系，在描述其中某两个量的数量关系时，单位＂1＂是在动态变化的。 教材编排通过折纸或画图等操作活动，借助直观图形帮助学生理清题中有几个量，这些量之间有什么样的数量关系，体会画图是分析问题、解决问题的重要策略。另一方面，倡导解决问题方法的多样化。既可以先求出萝卜地的面积，再求出红萝卜地的面积；也可以先求出红萝卜地占大棚面积的几分之几，再求出红萝卜地的面积。不同解题思路的呈现，可以提高学生思维的灵活性和发散性。 例9：求比一个数多（或少）几分之几的数是多少 本例是＂求一个数的几分之几的是多少＂的发展题，其复杂性主要是没有直接给出＂一个量是另一个量的几分之几＂，需要先求出一个量比另一个量多（或少）的具体数量或者先求出一个量是另一个量的几分之几。教材通过线段图直观地表示出＂婴儿每分钟心跳的次数比青少年多 ＂的意思，揭示两个数量之间的关系，让学生明确＂多（或少）几分之几＂是＂多（或少）谁的几分之几＂。这对于学生理解题意、选择计算方法会起到关键性的作用。 本单元的教学重点是理解分数乘法的意义；理解与掌握分数乘法的计算方法；应用分数乘法解决简单的实际问题。教学难点是理解分数乘分数的算理以及用分数乘法解决＂求比一个数多（或少）几分之几的数是多少＂的实际问题。 【重难点突破】 1. 理解分数乘法的意义 突破建议： （1）正确把握学生认知基础及知识的逻辑起点，运用迁移、类推，引导学生自主列出乘法算式。《义务教育数学课程标准(XX年版)》指出：＂教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础。＂由此可见，正确把握学生认知基础及知识的逻辑起点，是开展有效教学的基础。分数乘法的意义是整数乘法的意义的扩展，因此，在让学生学习表示＂几个相同分数相加＂的分数乘法时，可以完全放手让学生根据已学的分数加法进行推导。在此基础上，引出分数乘法的第二种意义：求一个数的几分之几是多少。在此过程中，教师同样可以充分挖掘学生的已有知识经验来教学。 例如讲到例2时，根据教材呈现的三幅图，在学生充分观察的基础上，引导学生根据第一图列出算式12 3后进行思考：你是根据什么列式的？使学生明确列式的依据是＂单位量 数量=总量＂。然后教学紧紧抓住这个学生熟悉的数量关系，不断追问：如果把单位量换成分数，是什么情形？（即例1中几个相同分数相加的情况）；如果把数量换成分数，是否同样成立？引导学生根据整数乘法的数量关系列出分数乘法的算式。 （2）借助图形直观，在＂量＂＂率＂转换中实现乘法意义的建构。根据＂单位量 数量=总量＂＂每桶水12 l， 桶水就是 l＂，再结合直观图强调，看到的 桶水就是半桶水，即12 l水的一半，用分数的语言，就是12 l的 。至此，＂ 可以表示12的 ＂的教学难点就解决了。另一方面，再结合情境强调，＂12的 ＂和＂ 个12＂含义相同，只是表述方式不同而已。这样，就能把分数乘法的意义与整数乘法的意义有机地统一起来，学生在迁移、类推、比较中自主地理解了分数乘法的意义。 2. 理解与掌握分数乘法的计算方法 突破建议： （1）借助动手操作，运用分数的意义、数形结合理解分数乘法的算理。分数乘分数的计算方法并不复杂，记忆和应用算法也不难，但是，理解为什么这样计算却不容易。在教学中，教师可以先让学生用一张纸（或画一个长方形）来表示1公顷地，再利用涂色来理解求 公顷的 就是把 公顷平均分成5份，取其中的一份。像这样借助涂色将数与形结合，将计算与分数的意义紧密相联，充分展示知识的发生、发展和联系的教学方式，为学生的独立探究提供了保证，是学生理解算理的好方法。接下去就可以通过直观的涂色结果来让学生得到结果，并明确把1公顷看作单位＂1＂，求 公顷的 是多少，其实就是把1公顷平均分成（2 5）份，取其中的一份，也就是 ，从而得出 。当然，在动手操作探索的过程中，应该充分尊重学生的思考，允许学生用多种方法来对结果进行说明验证。鉴于学生的学习理解能力，教师也可以在讲课开始之时先提供一些图例，让学生们通过看图来直观感知＂几分之一的几分之一＂表示的是什么，感受两个分数相乘会产生一个新的分数，对学生的理解也会有很大的帮助。 （2）引导观察、讨论、归纳推导出分数乘法的计算方法。计算方法的获取、表达如果来自于学生自己的思考，学生会掌握得更扎实。在教学中，教师可以结合例题的教学，让学生通过画图对算法进行理解；从计算分子为1的乘法算式 算理的理解，到 的计算，由易到难逐步进行；在对 算法理解的基础上进行大胆、合理的猜想并进行验证；让学生经历＂观察——讨论——猜想——验证——得出结论＂的过程，使得他们在不断观察、不断发现、不断归纳的过程中总结出分数乘分数的计算方法。 3. 应用分数乘法解决简单的实际问题 突破建议： （1）紧密联系分数乘法的意义，引导学生在理解数量关系的基础上正确列式，解决实际问题。分数乘法的意义有两种不同的表述，其中＂求一个数的几分之几是多少用乘法计算＂对学生而言是全新的。在解决相关实际问题时，教师要引导学生找出两个相比较的量，分析两个量之间的数量关系，弄清哪个量是单位＂1＂，要求的量是单位＂1＂的几分之几，再根据分数乘法的意义列式解答。对这类基本问题的解题思路的理解和掌握，为学生解决稍复杂的实际问题奠定了基础，同时也为＂分数除法＂单元解决实际问题提供了直接支持。 （2）有效运用画图策略，帮助学生分析和解决问题。《义务教育数学课程标准(XX年版)》指出：＂借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。＂画图既可以将学生对题意的理解加以外显，又可以将现实情境抽象为数学模型，帮助分析和解决问题。因此学生在问题解决的过程中，首先应明确题目中的信息和问题，并用图（表、符号或操作等）将题目中的信息和问题表示出来。如连续求一个数的几分之几是多少的问题和求比一个数多（或少）几分之几的数是多少的问题，数量关系比较复杂，用线段图等方式可以比较清晰、直观地表示出数量之间的关系。教学时要有效运用画图策略，帮助学生理解题意，分析数量关系。可以先从会看示意图入手，逐步学会画图分析数量关系，不断提高学生分析问题和解决问题的能力。 七、课时安排： 六课时。 课 题 分数乘整数 课时安排 1-2课时 教学目标 目标：1．联系学生的生活实际创设情境，引导学生通过观察、讨论、比较、验证等环节探索并理解分数乘整数的意义；一个数乘分数的意义就是求＂这个数的几分之几是多少＂。 2．让学生在自主探索的基础上进行合作交流，从而归纳分数乘整数的计算方法，并能够正确地进行计算。 3．能利用所学知识解决生活中的简单问题，并进一步培养学生的分析和推理能力。 重点：掌握分数乘整数的计算方法。 难点：理解分数乘整数和一个数乘分数的意义。 教具准备 多媒体课件。 导学过程 我的再创造 一、导入新课（激发兴趣，明确目标） 课件出示情景图：仔细观察，从图中能得到哪些数学信息？这里的＂ 个＂表示什么？你能利用已学知识解决这个问题吗？想一想，你还能找出不一样的方法验证你的计算结果吗？ 二、自主学习（自主学习，生成问题） 小组自主研究计算方法，交流汇报。 预设：（1） （个）；（2） （个）；（3） （个）；（4）3个 就是6个 就是 ，再约分得到 （个）。（根据学生发言依次板书） 3.比较分析 师：我们先来比较第（1）和第（2）两种方法，请分别说说你是怎么想的？预设： 生1：每个人吃 个，3个人就是3个 相加。 生2：3个 个相加也可以用乘法表示为 。 提出质疑：3个 相加的和可以用乘法计算吗？为什么？ 预设：乘法是求几个相同加数的和的简便计算，只是这里的相同加数是一个分数。 引导说出：分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同。（板书） 师：我们再来比较第（2）和第（3）两种方法，这样算可以吗？为什么？ 引导说出：这两个式子都可以表示＂求3个 相加是多少＂。 师：再来看这里的第（4）种方法，你能理解它表示的意思吗？结合图形把你的想法跟同桌进行交流。 4.归纳小结 通过刚才的学习，我们知道了这三个算式解决的是同一个问题。并且知道了分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同。接下来我们再看看它们的计算方法有什么联系和区别。 【设计意图：呈现生活情景，引导学生观察思考＂一共吃了多少个？＂，使学生迅速进入学习状态。以原有的知识和经验为基础，经历独立思考、自主计算并验证、小组交流等环节，鼓励学生大胆地呈现个性化的方法，兼顾了不同层次的学习状态。采用因势利导的方式，通过比较分析沟通新旧知识间的联系，引导学生自主得出结论，加深了对分数乘整数意义的理解。】 三、合作探究（小组合作，解决问题） 分数乘整数的计算方法探究 1.不同方法呈现和比较 师：刚才的第（4）种方法用语言描述得出计算结果的过程，结合自己的解题方法回顾一下， 的计算过程用式子该如何表示？预设： 生1：按照加法计算 = （个）。 生2： （个）。 师：比较一下，这两种方法计算结果相同吗？它们的相同点在哪里？（分母都是9）不同之处又是什么？（根据学生回答分别打上方框）这里的2+2+2和2 3都是在求什么？预设：有多少个 。 2.归纳算法 师：你觉得哪一种方法更简单？那么这种方法是怎样计算的呢？ 引导说出：用分子与整数相乘的积作分子，分母不变。（板书） 3.先约分再计算的教学 师：刚才我看到有一位同学是这样计算的。与这里的第二种算法又有什么不同呢？ 预设：一种算法是先计算再约分，另一种是先约分再计算。 师：比较一下，你认为哪一种方法更简单？为什么？ 小结：＂先约分再计算＂的方法，使参与计算的数字比原来小，便于计算。但是要注意格式，约得的数与原数上下对齐。 【设计意图：通过比较，明确了自主探索的方向，使得对算法的感知上升到理解。教学过程中有意识地留给学生充足的思考时间，最大程度地发挥学生的主体性。＂为什么分母不变，只用分子与整数相乘＂这是教学的难点，通过多次追问，适度引导转化，促进学生的理解。对于＂先约分再计算＂这种方法的教学，充分利用课堂生成资源，引导学生经历观察与思考的过程，从而使学生＂知其然＂，更＂知其所以然＂。】 四、展示交流（展示交流，调拨归纳） 探索一个数乘分数的意义 教学例2（课件出示情景图） （1）师：根据提供的信息你能提出什么问题？该怎样计算？说说你的想法。 预设1：求3桶共有多少升？就是求3个12 l的和是多少。 预设2：还可以说成求12 l的3倍是多少。 预设3：单位量 数量=总量，所以12 3=36(l)。 （2）师：我们再来看这个问题，你能列出算式吗？（学生思考，自主列式。） 交流：是根据什么列式的？引导说出思考的过程并板书：＂求12 l的一半，就是求12 l的 是多少。＂ （3）出示第2小题学生自练。引导说出：＂12 表示求12 l的 是多少。＂在这里都是把12 l看作单位＂1＂。 （4）师：依据单位量 数量=总量，你还能提出类似的问题并解决吗？（学生练习，交流。） 归纳小结：在这里，我们依据单位量 数量=总量的关系式可以得出：一个数乘几分之几表示的是求这个数的几分之几是多少。 【设计意图：对一个数乘分数意义的理解，从复习旧知导入，依据单位量 数量=总量这一数量关系，分别列出相应的乘法算式，在此基础上，重点让学生说出解决后两个问题列式的依据是什么？再通过尝试练习和交流，不断加深学生的感性认识，丰富归纳的素材，最终导出此类分数乘法的意义。比较的环节充分挖掘教材资源，通过对两种不同算式的分析比较，抽象出两个算式的共同点，异中求同，进而深化学生对分数乘法意义的理解。】 这节课你有什么收获？明白了什么？说一说分数乘整数的计算方法？ 谁会用含有字母的式子表示分数乘整数的计算方法？ ，其中 均为整数且 。 【设计意图：通过回顾，强化对所学知识的理解。要求学生用含有字母的式子表示计算方法，很好地培养了学生的符号表达能力。】 五、拓展总结（应用拓展，盘点收获） （一）基本练习 1.例1＂做一做＂第1题 师：说出你的思考过程。 2.例1＂做一做＂第2题 师：在计算时要注意什么？（强化算法，突出能约分的要先约分，再计算。） （二）变式练习 1.出示例2＂做一做＂。一袋面粉重3千克。已经吃了它的 ，吃了多少千克？ 师：你能说说这个算式表示的意义吗？＂求3千克的 是多少。＂ 2.比较两种意义 出示：一袋面包重 千克，3袋重多少千克？ 师：列出算式，并与前一个式子进行比较。这两个式子有什么不同？ 预设1：一个是分数乘整数，另一个是整数乘分数。 预设2：它们表示的意义相同但有所区别。 引导说出：分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的简便运算（或者就是求一个数的几倍是多少）。而一个数乘分数的意义表示的是求这个数的几分之几是多少。 师：那么，它们有什么是相同的呢？（计算方法和结果） （三）拓展练习 1.算式 可以列成 ，表示 ；或者表示 ；也可以列成 ，表示 。 师：选择一个算式进行计算，想一想，计算时要注意什么？ 2.比较练习 （1）一堆煤有5吨，用去了 ，用去了多少吨？ （2）一堆煤有 吨，5堆这样的煤有多少吨？ 你能编写出类似的问题并加以解决吗？ 3.拓展练习 1只树袋熊一天大约吃 kg桉树叶。10只树袋熊一星期吃多少千克桉树叶？ 【设计意图：练习的设计密切联系教学的重难点，同时习题的编排体现由易到难的层次性，选取的素材紧密联系学生的生活实际，具有一定的趣味性。】 板书设计： 教学反思 课 题 分数乘分数 课时安排 1-2课时 教学目标 目标：1. 通过知识迁移，使学生明确求一个数的几分之几是多少可以用乘法进行计算。 2. 通过操作活动使学生理解分数乘分数的算理，并经过观察、猜测、验证归纳出分数乘分数的计算方法，并能熟练计算。 3. 通过对算理、算法的探究培养学生的观察力、推理能力、归纳能力。 重点：掌握分数乘分数的计算方法，并能熟练计算。 难点：理解分数乘分数的乘法意义及算理。 教具准备 多媒体课件。 导学过程 我的再创造 一、导入新课（激发兴趣，明确目标） 1. （课件出示一个正方形）这个正方形我们可以用数字＂1＂表示。现在涂色部分是它的几分之几？ （ ） 2. 如果取这 的 ，现在得到的是整个正方形的几分之几？（看图得出结论 ） 3. 如果再取这 的 ，又是多少呢？你是怎么想的？（在学生回答后再出示图验证） 【设计意图：讲课一开始采用了看图说分数的方式引入，既是对分数意义的一个回顾，也为本节课理解分数乘分数的算理提供了形的依托。】 二、合作探究（小组合作，解决问题） 出示例3情境图，说说从图上你获得了哪些信息，可以解决什么问题？（根据学生的回答板书两个问题并请学生先看第一个问题） （一）探究几分之一乘几分之一的算理算法 1. 求种土豆的面积是多少公顷，我们可以怎么列式？你是怎么想的？（如果学生有困难，可以从上节课的整数乘分数的意义进行类推） 求一个数的几分之几，我们可以用乘法来计算。 2. 等于多少呢？说说你的想法，并把你的想法在纸上写下来。 3. 学生进行尝试(可引导学生用画图的方式来解释自己的想法)。 4. 进行交流反馈 重点反馈描画涂色的想法，并在学生讲解后，教师再利用课件进行讲解巩固： 把1个正方形看作1公顷，先平均分成2份，每份表示 公顷，再把 公顷平均分成5份，取其中的一份。也就是把1公顷平均分成（2 5）份，取其中的一份，就是 公顷。 5. 得出结果 根据大家的想法， 。我们再来看看本节课开始的图形，是不是也可以用乘法算式来表示？ 6. 猜想计算方法 观察这几个算式，说说你发现了什么？你觉得几分之一乘几分之一可以怎样计算？这个方法可以推广到所有分数乘分数的计算中吗？ 【设计意图：尊重学生，培养学生的学习探索能力是很重要的。本节课的教学除了有之前所学分数的意义作为基础之外，学生还在前一课时明确了整数乘分数可以用来表示一个数的几分之几是多少，因此在本堂课中完全可以放手让学生们自己去思考、学习、尝试，教师只要起到一定的点拨作用就可以了。】 （二）探究几分之几乘几分之几的算理算法 1. 尝试猜想 请你试着用这个方法解决第二个问题：求 公顷的 ，用乘法算式表示就是 。根据我们刚才的想法，结果应该是？（ 公顷）。这个猜想正确吗？能不能想办法来进行验证？在老师提供的练习纸中画一画、算一算，并和同桌进行交流，有困难的学生也可以打开课本第4页看一看。 2. 探究验证。学生自行探索分数乘法的计算方法。（探索完成的学生可以完成例3做一做第2题进一步验证） 3. 验证反馈 （1）请几个采用不同验证方法的学生进行一一展示。 （预计方法：a. 画图（图形或线段）；b. 转化成小数再进行计算；c. 利用分数的意义进行计算） （2）请已经完成例3做一做2的学生说一说自己计算的结果及得到的想法。 4. 得出结论 看来咱们的猜想是正确的，分数乘分数如何计算？在同学讨论回答后得出结论：分数乘分数，用分子相乘的积作分子，用分母相乘的积作分母。 【设计意图：猜想——举例——验证——得出结论是学生学习数学的一种方式，在本节课的设置上先提供了探索的范例，再让学生提出猜想，最后通过举例、验证形成共识，得到分数乘分数的计算法则，理解算理，使学生既获得了探索的体验，又掌握了基础知识。】 三、展示交流（展示交流，调拨归纳） 简化计算过程 根据我们所得的结论，试着解决下面的问题： 出示例4：无脊椎动物中游泳最快的是乌贼，它的速度是 千米/分。 （1）李叔叔的游泳速度是乌贼的 。李叔叔每分钟游多少千米？ （2）乌贼30分钟可以游多少千米？ 1. 读题，独立列式并解答。 2. 反馈： （1）题（1）展示不同的计算过程：a、先计算再约分；b、先约分再计算。 （2）题（2）明确整数与分数相乘，可以在计算时直接将整数和分母约分，结合学生的情况说明约分的书写格式。 （3）对比体会得出结论：在计算时，先仔细观察数的特征，能约分的先约分再乘，会比较简单。 3. 练习： 例4做一做1。 【设计意图：培养简便计算的意识对于提高学生计算的准确性和速度至关重要。让学生通过计算和对比体会到在分数乘法中先约分再计算比较简单，对培养学生的简算意识很有帮助。】 四、拓展总结（应用拓展，盘点收获） 1. 基础练习 （1）先看数再计算（练习一6、7两题） 反馈校对、纠错。 在反馈时通过对比、纠错让学生明白先观察数的特征，可以约分的先约分再计算，这样能又对又快地得到结果。 预计错题，估计错例：由于4和 的分子相同，学生有可能会将整数4与分子4相约分，在计算 时，结果错算成 。应该使学生明确：整数与分数相乘，可将整数与分母约分（也就是把整数看成分母是1的分数），再进行计算。 【设计意图：将练习一的6、7两题并在一起，并将题目的考查形式改成先看数再计算，有助于学生形成计算的审题习惯。让学生发现通过观察可以感知数的特征并进行约分，这样可以让计算变得更加简单，正确率也可以得到更大的提升。第6题不以改错的方式出现，而直接以计算题的方式出现，是出于不强加错的思考，来自于学生的错例，学生更易于记在心上。】 （2）完成例3、例4做一做剩下的题 反馈校对、纠错。 在校对答案后，可以进行小结，使学生进一步明确：分数乘法就是求一个数的几分之几是多少的运算。 2. 练习提升 在 里填＂ ＂＂ ＂或＂ ＂。想一想，哪些式子，你不计算就可以直接填出来？ 反馈：请学生说说自己的想法，哪些式子可以不计算就直接得出结果。 （1）题1、题3主要引导学生从分数乘法的意义来理解； （2）题2、题4主要是对分数计算方法的巩固。 【设计意图：计算的练习往往比较枯燥，这时题目的设计就显得比较重要了。本题的设计让学生们在练习反馈中既对分数乘法的意义进行了回顾，又将整数乘分数和分数乘分数的意义进行对比，还对计算方法进行了巩固和应用，对学生的思维的拓展也是大有益处的。】 3.拓展总结 这节课我们学习了什么？我们是怎样得出这些结论的？ 没错，＂猜想——举例——验证——得出结论＂是我们学习数学很有效的方法，在以后的学习中，同学们可以用这样的思路去学习更多的数学知识。 【设计意图：在对本节课的小结中，对猜想——举例——验证——得出结论的数学学习方法进行回顾，对于六年级的学生来说很重要。】 板书设计： 教学反思 课 题 分数乘小数 课时安排 1课时 教学目标 目标：1．让学生掌握分数乘小数的计算方法，提高学生根据实际情况灵活选择合适的计算方法的能力。 2．在学生自主探索的基础上，引导学生自由地表达自己的想法，培养学生合作交流的能力。 3．通过解决日常生活中的实际问题，让学生体验数学的意义和价值。 重点：掌握分数乘小数的计算方法。 难点：提高学生根据实际情况灵活选择合适的计算方法的能力。 教具准备 多媒体课件。 导学过程 我的再创造 一、导入新课（激发兴趣，明确目标） 1．计算下面各题： ； ； 2．通过计算引导学生回忆分数乘整数和分数乘分数的计算方法，并强调能约分的先约分再计算会更简便。（让学生自由回答，教师加以引导与整理。） 3．教师导语：前几节课我们学习了分数乘整数和分数乘分数的计算方法，今天，我们继续学习分数乘法的有关知识。 【设计意图：通过复习分数乘整数和分数乘分数的计算方法，激活学生的学习经验与学习技能，为学习分数乘小数埋下伏笔。同时，简明扼要地导入新课，让学生迅速地进入学习状态。】 二、自主学习（自主学习，生成问题） （一）阅读理解 1．出示呈现例5情境图（数学信息），从图中你得到了哪些数学信息？根据这些数学信息你想解决什么数学问题？（学生自主提出问题，教师选择问题板书。） （1）松鼠欢欢的尾巴有多长？ （2）松鼠乐乐的尾巴有多长？ 【设计意图：由孩子们喜欢的小动物的知识引出例5，激发了学生学习的兴趣。了解题目中有哪些数学信息是解决问题的第一步，可以帮助学生更好地解决数学问题。】 （二）探究解答：例5（1） 1．自主解答 松鼠欢欢的尾巴有多长？怎样列式？你能计算出来吗？在练习本上试一试。（板书： ，学生尝试计算，教师巡视，请不同做法的学生板演。） 2．交流探讨，体会不同算法 先在小组内交流计算方法，再全班交流，一一展示，分析出现的不同计算方法。 （1）可以把2.1化成分数 ，再跟 相乘，结果是 ，化成带分数 。 （dm） （2）可以把 化成小数0.75，再跟2.1相乘，结果是1.575。 2.1 =2.1 0.75=1.575（dm） 【设计意图：本环节的交流分为两个层次，一个是在小组内交流，给每个学生参与的机会，使交流活动不至于成为个别学生的专场展示，尽可能让每个学生都说出自己的解题思路；二是全班交流，使全体学生在理解自己算法的同时，知道解决同一道题目还有不同的思路，享受不同算法带来的快乐，并掌握自己未考虑到的计算方法，逐步提高综合运用所学知识解决实际问题的能力。】 3．师小结：同学们说得都很不错，这道分数乘小数的题目我们主要采用两种方法来计算，既可以把小数化成分数再计算，也可以把分数化成小数再计算，这两种方法用到了我们学过的分数乘分数和小数乘小数的知识。 【设计意图：教师的这段简单小结以旧引新，促进知识迁移，巩固掌握新知识，实现了有意识的学法指导。】 三、合作探究（小组合作，解决问题） 探索简便方法：例5（2） 1．自主解答 刚才例5第（1）题大家完成得很不错，下面第（2）题有没有信心做对呢？（出示课件，学生尝试独立解答。） 2．交流反馈 （1）可以把2.4化成分数 ，再跟 相乘，结果是 。 （dm） （2）可以把 化成小数0.75，再跟2.4相乘，结果是1.8。 2.4 =2.4 0.75=1.8（dm） 3．自学课本 （1）除了上面两种计算方法，这道题还有另一种算法。同学们打开课本第8页，看一看，有没有不明白的地方？（学生看书自学。） （2）这种算法你看懂了吗？引导学生说计算过程。（课件逐步出示第三种算法。） 小数2.4和分数 的分母先约分得到0.6，0.6再跟分子3相乘，结果是1.8。 4．对比思考。 为什么可以这样约分？你觉得这样约分计算简便吗？ 【设计意图：让学生独立完例5第（2）题，既复习了分数乘小数的两种计算方法，起到巩固练习的作用，又通过自主阅读教材学习先约分再计算的方法，不仅可以让学生准确掌握计算方法，更使学生深刻地体会到分数乘小数先约分再乘比较简便。】 （四）回顾反思 1．既然先约分再计算这种方法这么简便，为什么第（1）题没用这种简便方法计算呢？ 2．师小结：先约分再计算虽然简便，但只在小数与分数分母有共同因数的情况下适用，如果小数与分数分母没有共同的因数，就不能直接约分，只能采用把小数化成分数或把分数化成小数再计算的方法。所以在实际计算过程中，我们要特别注意观察算式中小数与分数分母的特征，明确小数与分数分母是否有共同的因数，然后再选择合适的算法进行计算。 【设计意图：在这个环节中，通过思考＂为什么第（1）题没用这种简便方法计算呢？＂，让学生体会到先约分再计算的局限性，从而引导学生在解决问题的过程中灵活选择合适的算法。】 四、拓展总结（应用拓展，盘点收获） （一）对比练习 1.学生独立完成。 2.反馈：计算 时你更喜欢哪种算法？ 【设计意图：在前面学习分数乘整数的过程中，学生已经充分感受了先约分再计算的简便性，在这个练习中，学生会进一步感受到这种算法不仅在分数乘整数中可以让计算更简便，在分数乘小数中同样适用，培养学生简便计算的意识。】 （二）基本练习 教材第8页做一做： 1．学生先观察每一道题的特征，思考:每道题可以用几种方法来做？哪种方法更简便？然后选择合适的方法进行计算。 2．反馈交流时提问：哪几题可以先约分再计算？（ 、 、 ）。 可以把分数化成小数计算吗？ 【设计意图：这个环节通过四道题的对比练习，让学生发现不仅先约分再计算有局限性，分数化小数这种算法也有一定的局限性。在引导学生比较各种方法的优缺点的同时，进一步感受计算方法的灵活性与合理性。最终在学生充分理解的基础上共同归纳出结论，以丰富学生体验知识获得结论的过程，加深记忆。】 （三）提高练习 教材第10页＂练习二＂第2题：美国人均淡水资源量约为1.38万立方米，我国人均淡水资源量仅为美国的 。我国人均淡水资源量是多少万立方米？ 1．学生独立完成，一生板演。 2．反馈计算过程，强调能约分的先约分再乘。并适时补充我国的水资源知识，进行节约用水教育。 （四）拓展练习（多余条件）（机动） 教材第10页＂练习二＂第4题：蜂蜜最主要的成分是果糖和葡萄糖，果糖和葡萄糖的质量占蜂蜜总质量的 以上。有一种蜂蜜，果糖和葡萄糖的质量占蜂蜜总质量的 。如果有2.5 kg的这种蜂蜜，其中的果糖和葡萄糖共有多少千克？ 1．学生独立完成。 2．交流汇报。 3．教师点拨：在解决含多余条件的实际问题时，要先弄清楚题意，看问题所需的条件是什么，选择恰当的条件，找出多余条件，然后分析数量关系，列出算式，最后检验结果是否正确。 【设计意图：这道题隐含了一个多余条件，增加了学生的审题难度，所以要引导学生在解决问题的过程中找准题目中的关键条件，提高学生的审题能力，掌握解决含多余条件的实际问题的一些基本策略。】 （五）课堂小结：今天我们学习了什么内容？（板书课题：分数乘小数）分数乘小数怎么计算？计算时应该注意什么？ 【设计意图：通过让学生自主回顾本课所学知识，指导学生把新旧知识联系起来，形成知识结构，既帮助学生理清思路、把握学习重难点，又巩固新知识、强化记忆。】 板书设计： 教学反思 课 题 整数乘法运算定律推广到分数乘法 课时安排 1课时 教学目标 目标：（1）理解整数乘法运算定律对于分数乘法同样适用，并能应用这些定律进行一些简便计算。 （2）培养学生大胆猜测，勇于实践的思维品质。 重点：会进行分数的混合运算，运用运算定律进行简便计算。 难点：灵活运用运算定律进行简便计算。 教具准备 多媒体课件。 导学过程 我的再创造 一、导入新课（激发兴趣，明确目标） 1.运算定律。 我们在四年级时学习过乘法的运算定律，同学们还记得吗？ （学生回答，教师板书运算定律） 乘法交换律：a b=b a 乘法结合律：(a b) c=a (b c) 乘法分配律：(a b) c=a c b c 2.这些运算定律有什么用处？你能举例说明吗？ 25 7 4 0.36 101 （学生口述自己是怎样应用乘法的运算定律简算上面各题的。） 二、自主探究（自主学习，探讨问题） 1.引入： 同学们应用乘法的运算定律，可以使整数、小数的一些计算简便，这些运算定律能不能应用到分数乘法中呢？今天这节课我们就来共同研究这个问题。 （板书课题：整数乘法的运算定律能否推广到分数乘法） 2.推导运算定律是否适用于分数。 （1）学生发表对课题的见解。 （（2）验证： 有些同学认为整数乘法的运算定律能适用于分数乘法，而有些同学认为不能，你们能找到证据证明自己的观点吗？（学生小组合作学习） 3.教学例5. （1）出示： ，学生小组合作独立解答。 4.教学例6. （1）出示： ，学生小组合作独立计算。 （2）小组汇报学习成果，说一说你们组应用了什么运算定律。 5.小结： 应用乘法交换律、结合律和分配律，可以使一些计算简便，在计算时，要认真观察已知数有什么特点想应用什么定律可以使计算简便。 三、拓展总结（应用拓展，盘点收获） 1.完成练习三的第6题。 学生说一说应用了什么运算定律。 2.完成课本第10页的＂做一做＂题目。 其中第2题引导学生讨论解题思路，把87改成＂86 1＂应用乘法分配律计算比较简便。 3.总结 ： 这节课你有什么收获？ 板书设计： 教学反思 课 题 解决问题 课时安排 2课时 教学目标 目标：1.使学生初步掌握分数乘法应用题的数量关系，学会应用一个数乘以分数的意义解答分数乘法一步应用题。 2.培养学生分析能力，发展学生思维。 重点：理解题中的单位＂1＂和问题的关系。 难点：抓住知识关键，正确、灵活判断单位＂1＂。 教具准备 多媒体课件。 导学过程 我的再创造 一、复习引入（激发兴趣，引入铺垫） 1.
２．列式计算。 （１）２０的 是多少？ （２）６的 是多少？ 二、自主探究（自主学习，探讨问题） １．教学例１。 出示例１：学校买来１００千克白菜，吃了 ，吃了多少千克？ （１）指名读题，说出条件和问题。 （２）引导学生画出线段图，并在线段图上标出题目中的条件和问题。 先画一条线段，表示＂１００千克白菜＂。 吃了 ，吃了谁的 ？（１００千克白菜）要把＂１００千克白菜＂平均分成５份，吃了４份，怎样表示？ 教师边说边画出下图： （３）分析数量关系，启发解题思路。 a．请同学们仔细观察图画，并认真想一想，吃了 ，是吃了哪个数量的 ？ b．分组讨论交流：依据吃了100千克的 把哪个量看作单位＂1＂呢？为什么？你是怎样想的？ （4）列式计算。 a．学生完整叙述解题思路。 b．学生列式计算，教师板书： （千克） c．写出答话，教师板书：答：吃了80千克。 （5）总结思路。 根据以上分析，让学生讨论一下解题顺序：吃了 吃了谁的 谁是多少（已知）谁的 是多少乘法。 （6）反馈练习。（14页）1－3题，做完后订正。说一说你是怎样想的？ 2.阅读课本：把书中的想的过程和线段图认真看一下，不懂提问。 三、拓展总结（应用拓展，盘点收获） 1.判断下面每组中的两个量，应该把谁看作单位＂1＂。 （1）乙是甲的 ，甲是乙的 。 （2）甲是乙的 ，乙是甲的 倍。 2.练习四1、2题，完成在练习本上，然后订正。 3.操作：画出＂体育小组的人数是美术小组的 倍＂的线段图自己补充条件和问题并解答。 板书设计： 教学反思