天王老子我不服，凭啥不让我取区间端点值？

　　看过电视剧《笑傲江湖》的人都知道，“天王老子”是金庸笔下的向问天。
　　1：
　　向问天何许人也？
　　任我行在台上的时候，他是光明右使。
　　东方不败在台上的时候，他还是光明右使。
　　任盈盈上台的时候，他终于不再当光明右使了，而这一换，换的直接是教主。
　　如何评价向问天这个英雄人物呢？
　　我们听听两位武侠小说作家前辈的评价：
　　倪匡的评价：“胆色过人，在东方不败势焰熏天之际，面对魔教和正派人物的追杀，毫不畏惧，一心一意，只想将任我行救出来，是天下好汉的榜样。”
　　温瑞安的评价：“新版本中金庸已把许多向问天的精彩豪迈之处删去，旧版向问天是为一个素不相识的少年而作第一次逃亡，正如令狐冲为一个素不相识的人抛头颅洒热血在所不惜一样，是何等的血性义烈、肝胆相照我与倪匡都认为这一段实在千万不能删的，删掉此节会削弱向问天这个人物的完整性。”
　　瞧见了吗？
　　贴在人家这位自称“天王老子”人物身上的标签是：“英雄、有胆识、豪迈”这些字眼！
　　你还真别不信，再给你来2句人家向问天自己说的话，你进一步感受下：
　　“像峨嵋派松纹道人这等小角色，你哥哥可还真不屑骗他，要骗人，就得拣件大事，骗得惊天动地天下皆知”。
　　（不得不说，这骗人的志向可真远大啊）
　　向问天鉴貌辨色，猜到了他（令狐冲）心意，笑道：“兄弟，教主脱困之后，有许多大事要办，可不能让对头得知，只好委屈你在西湖底下多住几天，咱们今日便是救你来啦。好在你因祸得福，练成了不世神功，总算有了补偿。哈哈哈，做哥哥的给你赔不是了。”说着在三人酒杯中都斟满了酒，自己一口喝干。
　　（呦呦，向大哥，你这话说的可真轻松啊，你可别忘了，当初可是你忽悠令狐冲说世上有人能救得了他的病，然后才带他来西湖梅庄的，我看你治令狐冲病是假，救任我行才是真吧，要不是男主角令狐冲自带光环，恐怕他至今还被关押在西湖牢底。。。）
　　细思极恐。。。
　　关于向问天这个人物，今天就暂且聊到这里，以后有机会宝刀君再和大家继续展开讲哈。
　　2：
　　积分第一中值定理中的kesei
　　今天的文章源自于知乎上回答某学生的疑问，是关于积分第一中值定理kesei的问题，学生自己将疑问写在了纸上（求知欲很浓啊，我都不好意思不回答），如下所示：
　　3：
　　为什么kesei与n有关？
　　有些学生可能忘了积分第一中值定理，我先贴张图：
　　那为什么kesei与n有关啊？
　　我举两个例子，比如说下面这道例题1：
　　上面的解法是正确还是错误呢？
　　我们来一起分析下：积分第一中值定理中的kesei是依赖于被积函数和积分限的，因为当被积函数和积分上下限变化时，定理中的kesei值都有可能改变。
　　如果n改变了，那么被积函数就改变了，从而kesei将可能改变，kesei依赖于n。
　　事实上，由积分中值定理只知道满足定理的kesei一定存在，其值介于0与1之间，但是kesei具体在什么位置是不清楚的，如果kesei的取值导致出现了未定式，那么上面这道题的结果就不一定为0，即：
　　（我的耳边好像传来了kesei的呐喊：老子不福气，按定理我是可以取得到端点值的，凭啥不让我取！！！）
　　再比如这个例2：
　　这种解法也是错误的，道理同例1，只不过不同的是：此时你不能完全确定kesei取不到1，如果kesei值取为1，那么这题就变成1的无穷型未定式了，所以这种解法不严谨啊。
　　3：
　　对于kesei的理解
　　对于kesei，你只要明白到这个程度即可：
　　kesei对区间〔a，b〕有依赖性，a和b移动时，kesei值也是会变的，而且本身a和b中就可以取变量x，因此kesei不是一个常数，它是会变的。
　　4：
　　知乎上这道题怎么破？
　　由上面的描述可知，这个题不能直接用积分中值定理，得考虑用推广的积分中值定理（积分第一中值定理）or夹逼准则来解决。
　　用积分第一中值定理来做：
　　需要注意的一个小小细节是：积分号和极限号通常情况下不能交换次序，因此得先用积分中值定理先去掉积分号，然后再取极限。
　　或者这道题你直接使用夹逼准则来求解：
　　很明显，用夹逼定理比较更方便一些，一个不等式再两边夹个逼就求出来了。
　　对了，上面那个例2，也可以用这两种方法解决，宝刀君将两种解法写在一块，即：
　　5：
　　总结
　　综上所述，遇到这种需要讨论的、自带bug的、隐藏陷阱的、被积函数本身就是这种稍微带有界性质的（有界就意味着可以使用不等式来估值）求积分，推荐使用夹逼定理来做，构造一个不等式，然后两边再夹个逼取极限就得出结果了，相对来说比较方便些。
　　对了，最后给大家附上笑傲江湖中的经典片段凉亭之战，我个人最喜欢吕颂贤这个版本的，因为只有他才真正演出了令狐冲的那种豪放不羁的个性！
　　END