高中几何蝴蝶定理专项练习

　　蝴蝶定理
　　例一
　　1、已知：如图，O为平行四边形ABCD中心，DFAC于F，CEBD于E，EF交AB于G。
　　求证：GOAD
　　（高中联赛难度几何100题之74，田开斌题）
　　思路分析：显然CDEF共圆，圆心J为CD中点，从而需证GOJO，这显然是蝴蝶定理之逆，延长GO交DC于K，则OGOK，从而得证
　　证明：设GO交CD于K，由对称性知OGOK；
　　设J为CD中点，由垂直得CDFE共圆，且圆心J为BC中点，
　　由蝴蝶定理逆定理即知JOOG，
　　又由中位线定理得OJAD，
　　故GOAD。
　　注：本题证明方法比较多。除了上述蝴蝶定理方法以外，还可以用根轴（田开斌老师的解答就是利用根轴解决的）。当然还可以使用其他计算方法等。不过如果能想到蝴蝶定理，本题能迅速得到解决。
　　例二
　　已知：如图，ABC中，D为BC中点，以AD为直径的圆交AB、AC于E、F。
　　此圆在E、F处切线交于G。
　　求证：GDBC
　　思路分析1：类似蝴蝶定理证法2，过G作两边垂线，由垂直得共圆倒角得相似，为了利用垂直，采用同一法。
　　证明1：根据图形的唯一性，我们证明其逆命题，即由GDBC证明BDCD，
　　设GHAB于H，GIAC于I，
　　由切线知HEGEDA，IFGFDA，
　　又GEGF，故HF：EDGE：ADGF：ADIF：DF，
　　故EDHFDI。
　　由垂直得BHDG，GICD共圆，又GHDE，GIDF，
　　则DBGGHDHDEFDIDIGDCG，
　　故GBGC，DBDC，证毕。
　　思路分析2：看到平分和垂直想到蝴蝶定理。
　　E、F在以G为圆心的圆上，由切线倒角得到IGJ共线，
　　由垂直得直径与共圆，
　　利用蝴蝶定理逆定理即得。
　　证明2：如图，显然GEGF，
　　设以G为圆心GE为半径的圆交射线AB、AC于I、J，
　　由GE为圆的切线得EIGIEGAFEEIJ，
　　故IGJ共线。
　　又AED90，则E，D，J共线，
　　同理F，D，I共线。
　　又DBDC，
　　由蝴蝶定理逆定理知GDBC。
　　注：1）证法1相当于证明了本题的逆命题，本题的证明严格上可以这样叙述：
　　设过E的圆的切线交过D的BC的垂线于G，GF为圆的另一个切线，
　　AF交BD于C，由证法1知DBDC，从而C，C重合，即原结论成立。
　　2）证法2将其巧妙转化为蝴蝶定理，不过还要由切线证明三点共线，才能完成证明。本证法最终图形与《蝴蝶定理之八》的第1题殊途同归。将其对照会有更多收获。这也算是本题的一种本质。
　　3）本题有很多解法，叶中豪老师得到不少解法，也对其做过很多推广。不过一言以蔽之：蝴蝶定理算是本题的一种本质认识。
　　例三
　　如图，已知ABC旁切圆I切三边于D，E，F，EF交ID于H，AH交BC于M。
　　求证：MBMC，
　　（1991年四川省竞赛题）
　　思路分析1：类似于切割线蝴蝶定理证法1，过H作BC平行线，得到共圆倒角即可。
　　证明1：设过H的BC平行线交AB，AC于J，K，
　　由垂直得IJFH，IHKE共圆，
　　故IJHIFHIEHIKH，
　　故IJIK，HJHK，
　　由JKBC，从而MBMC。
　　思路2：利用正弦定理或分角定理以FH：HE为媒介进行计算即可。
　　证明2：设ABC三个角为A，B，C，
　　由垂直得BFID，DIEC共圆，
　　故FIDB，DIEC，
　　IFE中，由正弦定理得：
　　FH：HEsinFID：sinDIEsinB：sinC，
　　AFE中，由正弦定理得：
　　sinB：sinCFH：HEsinFAH：sinHAE，
　　ABC中，由正弦定理得：
　　BM：CMABsinFAH：（ACsinHAE）
　　（sinC：sinB）（sinFAH：sinHAE）1，
　　即MBMC。
　　注：1）解法1通过精妙的平移转化，轻松倒角得证。其思路和《蝴蝶定理之四》第1题的最经典的证法1异曲同工。也与上题的思路1如出一辙。
　　2）证法2没有添加辅助线，只是通过简单三角计算即得，也不失为一种合理的证法，值得体会学习。
　　3）本题很经典，解法也很巧妙简洁，人见人爱，花见花开。我们在鸡爪定理里面反复强调，每一个内心具有的性质旁心都有。不难想象，本结论对内切圆也是成立的，这正是2010年北方竞赛的第6题，如下图所示。证明当然也是如出一辙。
　　例4、已知：如图，ABC中，D、K分别为BC、AD中点，E、F为D
　　AB、AC上垂足，
　　KE，KF交BC于M，N。O、O为EMD、FND外心。
　　求证：OOBC
　　（2017年东南数学奥林匹克竞赛第2题）
　　思路分析：设圆O、O交于D、G。若OOBC则GDBC，GEME，GFFN，则本题
　　化为第2题，下面只需考虑如何转化即可。想到第2题证法2，利用其辅助线及蝴蝶定理即可证明。
　　证明：如图，设DE交AF于L，DF交AE于J，LJ中点为G，
　　由垂直得JEFL、AEDF共圆，
　　则GEJGJEAFEADEKED
　　则GEKE，同理GFKF。
　　由DBDC，根据蝴蝶定理逆定理知GDBC。
　　故MEDG，NFDG共圆，
　　故O、O为MG、NG中点，
　　则OOBC
　　注：本题证法比较多，上述证法是本人联系到第2题得到的。这也说明本题的本质是蝴蝶定理，算是第2题的进一步加深。