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中考复习三大变换之旋转(旋转的构造托。。。

11月3日 金钟寨投稿
  本篇将介绍关于旋转的内容,一个关于旋转构造的定理托勒密定理,定理本身并非课内知识,但在近年中考中,已经不止一次地出现了,因而值得重视
  01:
  定理介绍
  托勒密定理
  定理:圆的内接四边形中,两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和
  翻译:在四边形ABCD中,若A、B、C、D四点共圆,则ACBDABCDADBC
  定理证明
  证明:在线段BD上取点E,使得BAECAD,
  易证AEBADC,
  AB:ACBE:CD,即ACBEABCD,
  当BAECAD时,可得:BACEAD,
  易证ABCAED,
  AD:ACDE:CB,即ACDEADBC,
  ACBEACDEABCDADBC,
  ACBDABCDADBC
  定理推广托勒密不等式
  推广(托勒密不等式):对于任意凸四边形ABCD,ACBDABCDADBC
  证明:如图1,在平面中取点E使得BAECAD,ABEACD,
  易证ABEACD,AB:ACBE:CD,
  即ACBEABCD,
  连接DE,如图2,
  ABACAEAD,ABAEACAD,
  BACBAECAEDACCAEDAE,
  ABCAED,ADACDEBC,
  即ACDEADBC,
  将得:ACBEACDEABCDADBC,
  ACBDAC(BEDE)ABCDADBC
  即ACBDABCDADBC,
  当且仅当A、B、C、D共圆时取到等号
  托勒密定理在中考题中的应用
  托勒密定理在中考题中的应用
  (1)当ABC是等边三角形时,
  如图1,当点D在弧AC上时,
  根据托勒密定理有:ACBDABCDADBC,
  又等边ABC有ABACBC,
  故有结论:BDADCD
  证明:在BD上取点E使得DEDA,
  易证AEBADC,AEDABC,
  利用对应边成比例,可得:BDADCD
  如图2,当点D在弧BC上时,结论:DADBDC
  【小结】虽然看似不同,但根据等边的旋转对称性,图1和图2并无区别
  (2)当ABC是等腰直角三角形,
  如图3,当点D在弧BC上时,
  根据托勒密定理:ADBCABCDACBD,
  又AB:AC:BC1:1:根号2,
  代入可得结论:根号2ADBDCD
  如图4,当点D在弧AC上时,
  根据托勒密定理:ADBCABCDACBD,
  又AB:AC:BC1:1:根号2,
  代入可得结论:BD根号2ADCD
  (3)当ABC是一般三角形时,
  若记BC:AC:ABa:b:c,
  根据托勒密定理
  可得:aADbBDcCD
  02:
  中考题中的托勒密定理
  2019仙桃中考
  2019威海中考
  2017临沂中考
  2016淮安中考
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