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　　归一问题
　　【含义】
　　在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题。
　　【数量关系】
　　总量÷份数＝1份数量
　　1份数量×所占份数＝所求几份的数量
　　另一总量÷（总量÷份数）＝所求份数
　　【解题思路和方法】
　　先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。
　　例1
　　买5支铅笔要0.6元钱，买同样的铅笔16支，需要多少钱？
　　解
　　（1）买1支铅笔多少钱？0.6÷5＝0.12（元）
　　（2）买16支铅笔需要多少钱？0.12×16＝1.92（元）
　　列成综合算式0.6÷5×16＝0.12×16＝1.92（元）
　　答：需要1.92元。
　　例2
　　3台拖拉机3天耕地90公顷，照这样计算，5台拖拉机6天耕地多少公顷？
　　解
　　（1）1台拖拉机1天耕地多少公顷？90÷3÷3＝10（公顷）
　　（2）5台拖拉机6天耕地多少公顷？10×5×6＝300（公顷）
　　列成综合算式90÷3÷3×5×6＝10×30＝300（公顷）
　　答：5台拖拉机6天耕地300公顷。
　　例3
　　5辆汽车4次可以运送100吨钢材，如果用同样的7辆汽车运送105吨钢材，需要运几次？
　　解
　　（1）1辆汽车1次能运多少吨钢材？100÷5÷4＝5（吨）
　　（2）7辆汽车1次能运多少吨钢材？5×7＝35（吨）
　　（3）105吨钢材7辆汽车需要运几次？105÷35＝3（次）
　　列成综合算式105÷（100÷5÷4×7）＝3（次）
　　答：需要运3次。
　　归总问题
　　【含义】
　　解题时，常常先找出＂总数量＂，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。所谓＂总数量＂是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。
　　【数量关系】
　　1份数量×份数＝总量
　　总量÷1份数量＝份数
　　总量÷另一份数＝另一每份数量
　　【解题思路和方法】
　　先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。
　　例1
　　服装厂原来做一套衣服用布3.2米，改进裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。原来做791套衣服的布，现在可以做多少套？
　　解
　　（1）这批布总共有多少米？3.2×791＝2531.2（米）
　　（2）现在可以做多少套？2531.2÷2.8＝904（套）
　　列成综合算式3.2×791÷2.8＝904（套）
　　答：现在可以做904套。
　　例2
　　小华每天读24页书，12天读完了《红岩》一书。小明每天读36页书，几天可以读完《红岩》？
　　解
　　（1）《红岩》这本书总共多少页？24×12＝288（页）
　　（2）小明几天可以读完《红岩》？288÷36＝8（天）
　　列成综合算式24×12÷36＝8（天）
　　答：小明8天可以读完《红岩》。
　　例3
　　食堂运来一批蔬菜，原计划每天吃50千克，30天慢慢消费完这批蔬菜。后来根据大家的意见，每天比原计划多吃10千克，这批蔬菜可以吃多少天？
　　解
　　（1）这批蔬菜共有多少千克？50×30＝1500（千克）
　　（2）这批蔬菜可以吃多少天？1500÷（50＋10）＝25（天）
　　列成综合算式50×30÷（50＋10）＝1500÷60＝25（天）
　　答：这批蔬菜可以吃25天。
　　和差问题
　　【含义】
　　已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。
　　【数量关系】
　　大数＝（和＋差）÷2
　　小数＝（和－差）÷2
　　【解题思路和方法】
　　简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式。
　　例1
　　甲乙两班共有学生98人，甲班比乙班多6人，求两班各有多少人？
　　解
　　甲班人数＝（98＋6）÷2＝52（人）
　　乙班人数＝（98－6）÷2＝46（人）
　　答：甲班有52人，乙班有46人。
　　例2
　　长方形的长和宽之和为18厘米，长比宽多2厘米，求长方形的面积。
　　解
　　长＝（18＋2）÷2＝10（厘米）
　　宽＝（18－2）÷2＝8（厘米）
　　长方形的面积＝10×8＝80（平方厘米）
　　答：长方形的面积为80平方厘米。
　　例3
　　有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重32千克，乙丙两袋共重30千克，甲丙两袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。
　　解
　　甲乙两袋、乙丙两袋都含有乙，从中可以看出甲比丙多（32－30）＝2千克，且甲是大数，丙是小数。由此可知
　　甲袋化肥重量＝（22＋2）÷2＝12（千克）
　　丙袋化肥重量＝（22－2）÷2＝10（千克）
　　乙袋化肥重量＝32－12＝20（千克）
　　答：甲袋化肥重12千克，乙袋化肥重20千克，丙袋化肥重10千克。
　　例4
　　甲乙两车原来共装苹果97筐，从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐，两车原来各装苹果多少筐？
　　解
　　＂从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐＂，这说明甲车是大数，乙车是小数，甲与乙的差是（14×2＋3），甲与乙的和是97，因此甲车筐数＝（97＋14×2＋3）÷2＝64（筐）
　　乙车筐数＝97－64＝33（筐）
　　答：甲车原来装苹果64筐，乙车原来装苹果33筐。
　　和倍问题
　　【含义】
　　已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。
　　【数量关系】
　　总和÷（几倍＋1）＝较小的数
　　总和－较小的数＝较大的数
　　较小的数×几倍＝较大的数
　　【解题思路和方法】
　　简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。
　　例1
　　果园里有杏树和桃树共248棵，桃树的棵数是杏树的3倍，求杏树、桃树各多少棵？
　　解
　　（1）杏树有多少棵？248÷（3＋1）＝62（棵）
　　（2）桃树有多少棵？62×3＝186（棵）
　　答：杏树有62棵，桃树有186棵。
　　例2
　　东西两个仓库共存粮480吨，东库存粮数是西库存粮数的1.4倍，求两库各存粮多少吨？
　　解
　　（1）西库存粮数＝480÷（1.4＋1）＝200（吨）
　　（2）东库存粮数＝480－200＝280（吨）
　　答：东库存粮280吨，西库存粮200吨。
　　例3
　　甲站原有车52辆，乙站原有车32辆，若每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，几天后乙站车辆数是甲站的2倍？
　　解
　　每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，相当于每天从甲站开往乙站（28－24）辆。把几天以后甲站的车辆数当作1倍量，这时乙站的车辆数就是2倍量，两站的车辆总数（52＋32）就相当于（2＋1）倍，
　　那么，几天以后甲站的车辆数减少为
　　（52＋32）÷（2＋1）＝28（辆）
　　所求天数为（52－28）÷（28－24）＝6（天）
　　答：6天以后乙站车辆数是甲站的2倍。
　　例4
　　甲乙丙三数之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三数各是多少？
　　解
　　乙丙两数都与甲数有直接关系，因此把甲数作为1倍量。
　　因为乙比甲的2倍少4，所以给乙加上4，乙数就变成甲数的2倍；
　　又因为丙比甲的3倍多6，所以丙数减去6就变为甲数的3倍；
　　这时（170＋4－6）就相当于（1＋2＋3）倍。那么，
　　甲数＝（170＋4－6）÷（1＋2＋3）＝28
　　乙数＝28×2－4＝52
　　丙数＝28×3＋6＝90
　　答：甲数是28，乙数是52，丙数是90。
　　差倍问题
　　【含义】
　　已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。
　　【数量关系】
　　两个数的差÷（几倍－1）＝较小的数
　　较小的数×几倍＝较大的数
　　【解题思路和方法】
　　简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。
　　例1
　　果园里桃树的棵数是杏树的3倍，而且桃树比杏树多124棵。求杏树、桃树各多少棵？
　　解
　　（1）杏树有多少棵？124÷（3－1）＝62（棵）
　　（2）桃树有多少棵？62×3＝186（棵）
　　答：果园里杏树是62棵，桃树是186棵。
　　例2
　　爸爸比儿子大27岁，今年，爸爸的年龄是儿子年龄的4倍，求父子二人今年各是多少岁？
　　解
　　（1）儿子年龄＝27÷（4－1）＝9（岁）
　　（2）爸爸年龄＝9×4＝36（岁）
　　答：父子二人今年的年龄分别是36岁和9岁。
　　例3
　　商场改革经营管理办法后，本月盈利比上月盈利的2倍还多12万元，又知本月盈利比上月盈利多30万元，求这两个月盈利各是多少万元？
　　解
　　如果把上月盈利作为1倍量，则（30－12）万元就相当于上月盈利的（2－1）倍，因此
　　上月盈利＝（30－12）÷（2－1）＝18（万元）
　　本月盈利＝18＋30＝48（万元）
　　答：上月盈利是18万元，本月盈利是48万元。
　　例4
　　粮库有94吨小麦和138吨玉米，如果每天运出小麦和玉米各是9吨，问几天后剩下的玉米是小麦的3倍？
　　解
　　由于每天运出的小麦和玉米的数量相等，所以剩下的数量差等于原来的数量差（138－94）。把几天后剩下的小麦看作1倍量，则几天后剩下的玉米就是3倍量，那么，（138－94）就相当于（3－1）倍，因此
　　剩下的小麦数量＝（138－94）÷（3－1）＝22（吨）
　　运出的小麦数量＝94－22＝72（吨）
　　运粮的天数＝72÷9＝8（天）
　　答：8天以后剩下的玉米是小麦的3倍。
　　倍比问题
　　【含义】
　　有两个已知的同类量，其中一个量是另一个量的若干倍，解题时先求出这个倍数，再用倍比的方法算出要求的数，这类应用题叫做倍比问题。
　　【数量关系】
　　总量÷一个数量＝倍数
　　另一个数量×倍数＝另一总量
　　【解题思路和方法】
　　先求出倍数，再用倍比关系求出要求的数。
　　例1
　　100千克油菜籽可以榨油40千克，现在有油菜籽3700千克，可以榨油多少？
　　解
　　（1）3700千克是100千克的多少倍？3700÷100＝37（倍）
　　（2）可以榨油多少千克？40×37＝1480（千克）
　　列成综合算式40×（3700÷100）＝1480（千克）
　　答：可以榨油1480千克。
　　例2
　　今年植树节这天，某小学300名师生共植树400棵，照这样计算，全县48000名师生共植树多少棵？
　　解
　　（1）48000名是300名的多少倍？48000÷300＝160（倍）
　　（2）共植树多少棵？400×160＝64000（棵）
　　列成综合算式400×（48000÷300）＝64000（棵）
　　答：全县48000名师生共植树64000棵。
　　例3
　　凤翔县今年苹果大丰收，田家庄一户人家4亩果园收入11111元，照这样计算，全乡800亩果园共收入多少元？全县16000亩果园共收入多少元？
　　解
　　（1）800亩是4亩的几倍？800÷4＝200（倍）
　　（2）800亩收入多少元？11111×200＝2222200（元）
　　（3）16000亩是800亩的几倍？16000÷800＝20（倍）
　　（4）16000亩收入多少元？2222200×20＝44444000（元）
　　答：全乡800亩果园共收入2222200元，全县16000亩果园共收入44444000元。
　　相遇问题
　　【含义】
　　两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。这类应用题叫做相遇问题。
　　【数量关系】
　　相遇时间＝总路程÷（甲速＋乙速）
　　总路程＝（甲速＋乙速）×相遇时间
　　【解题思路和方法】
　　简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。
　　例1
　　南京到上海的水路长392千米，同时从两港各开出一艘轮船相对而行，从南京开出的船每小时行28千米，从上海开出的船每小时行21千米，经过几小时两船相遇？
　　解
　　392÷（28＋21）＝8（小时）
　　答：经过8小时两船相遇。
　　例2
　　小李和小刘在周长为400米的环形跑道上跑步，小李每秒钟跑5米，小刘每秒钟跑3米，他们从同一地点同时出发，反向而跑，那么，二人从出发到第二次相遇需多长时间？
　　解
　　＂第二次相遇＂可以理解为二人跑了两圈。
　　因此总路程为400×2
　　相遇时间＝（400×2）÷（5＋3）＝100（秒）
　　答：二人从出发到第二次相遇需100秒时间。
　　例3
　　甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行15千米，乙每小时行13千米，两人在距中点3千米处相遇，求两地的距离。
　　解
　　＂两人在距中点3千米处相遇＂是正确理解本题题意的关键。从题中可知甲骑得快，乙骑得慢，甲过了中点3千米，乙距中点3千米，就是说甲比乙多走的路程是（3×2）千米，因此，
　　相遇时间＝（3×2）÷（15－13）＝3（小时）
　　两地距离＝（15＋13）×3＝84（千米）
　　答：两地距离是84千米。
　　追及问题
　　【含义】
　　两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发）作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。这类应用题就叫做追及问题。
　　【数量关系】
　　追及时间＝追及路程÷（快速－慢速）
　　追及路程＝（快速－慢速）×追及时间
　　【解题思路和方法】
　　简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。
　　例1
　　好马每天走120千米，劣马每天走75千米，劣马先走12天，好马几天能追上劣马？
　　解
　　（1）劣马先走12天能走多少千米？75×12＝900（千米）
　　（2）好马几天追上劣马？900÷（120－75）＝20（天）
　　列成综合算式75×12÷（120－75）＝900÷45＝20（天）
　　答：好马20天能追上劣马。
　　例2
　　小明和小亮在200米环形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他们从同一地点同时出发，同向而跑。小明第一次追上小亮时跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。
　　解
　　小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈，即200米，此时小亮跑了（500－200）米，要知小亮的速度，须知追及时间，即小明跑500米所用的时间。又知小明跑200米用40秒，则跑500米用［40×（500÷200）］秒，所以小亮的速度是
　　（500－200）÷［40×（500÷200）］
　　＝300÷100＝3（米）
　　答：小亮的速度是每秒3米。
　　例3
　　我人民解放军追击一股逃窜的敌人，敌人在下午16点开始从甲地以每小时10千米的速度逃跑，解放军在晚上22点接到命令，以每小时30千米的速度开始从乙地追击。已知甲乙两地相距60千米，问解放军几个小时可以追上敌人？
　　解
　　敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是（22－16）小时，这段时间敌人逃跑的路程是［10×（22－6）］千米，甲乙两地相距60千米。由此推知
　　追及时间＝［10×（22－6）＋60］÷（30－10）
　　＝220÷20＝11（小时）
　　答：解放军在11小时后可以追上敌人。
　　例4
　　一辆客车从甲站开往乙站，每小时行48千米；一辆货车同时从乙站开往甲站，每小时行40千米，两车在距两站中点16千米处相遇，求甲乙两站的距离。
　　解
　　这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。从题中可知客车落后于货车（16×2）千米，客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间，
　　这个时间为16×2÷（48－40）＝4（小时）
　　所以两站间的距离为（48＋40）×4＝352（千米）
　　列成综合算式（48＋40）×［16×2÷（48－40）］
　　＝88×4
　　＝352（千米）
　　答：甲乙两站的距离是352千米。
　　植树问题
　　【含义】
　　按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间，已知其中的两个量，要求第三个量，这类应用题叫做植树问题。
　　【数量关系】
　　线形植树棵数＝距离÷棵距＋1
　　环形植树棵数＝距离÷棵距
　　方形植树棵数＝距离÷棵距－4
　　三角形植树棵数＝距离÷棵距－3
　　面积植树棵数＝面积÷（棵距×行距）
　　【解题思路和方法】
　　先弄清楚植树问题的类型，然后可以利用公式。
　　例1
　　一条河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，头尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？
　　解
　　136÷2＋1＝68＋1＝69（棵）
　　答：一共要栽69棵垂柳。
　　例2
　　一个圆形池塘周长为400米，在岸边每隔4米栽一棵白杨树，一共能栽多少棵白杨树？
　　解
　　400÷4＝100（棵）
　　答：一共能栽100棵白杨树。
　　例3
　　一个正方形的运动场，每边长220米，每隔8米安装一个照明灯，一共可以安装多少个照明灯？
　　解
　　220×4÷8－4＝110－4＝106（个）
　　答：一共可以安装106个照明灯。
　　例4
　　给一个面积为96平方米的住宅铺设地板砖，所用地板砖的长和宽分别是60厘米和40厘米，问至少需要多少块地板砖？
　　解
　　96÷（0.6×0.4）＝96÷0.24＝400（块）
　　答：至少需要400块地板砖。
　　例5
　　一座大桥长500米，给桥两边的电杆上安装路灯，若每隔50米有一个电杆，每个电杆上安装2盏路灯，一共可以安装多少盏路灯？
　　解
　　（1）桥的一边有多少个电杆？500÷50＋1＝11（个）
　　（2）桥的两边有多少个电杆？11×2＝22（个）
　　（3）大桥两边可安装多少盏路灯？22×2＝44（盏）
　　答：大桥两边一共可以安装44盏路灯。
　　年龄问题
　　【含义】
　　这类问题是根据题目的内容而得名，它的主要特点是两人的年龄差不变，但是，两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。
　　【数量关系】
　　年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思路是一致的，要紧紧抓住＂年龄差不变＂这个特点。
　　【解题思路和方法】
　　可以利用＂差倍问题＂的解题思路和方法。
　　例1
　　爸爸今年35岁，亮亮今年5岁，今年爸爸的年龄是亮亮的几倍？明年呢？
　　解
　　35÷5＝7（倍）
　　（35+1）÷（5+1）＝6（倍）
　　答：今年爸爸的年龄是亮亮的7倍，
　　明年爸爸的年龄是亮亮的6倍。
　　例2
　　母亲今年37岁，女儿今年7岁，几年后母亲的年龄是女儿的4倍？
　　解
　　（1）母亲比女儿的年龄大多少岁？37－7＝30（岁）
　　（2）几年后母亲的年龄是女儿的4倍？30÷（4－1）－7＝3（年）
　　列成综合算式（37－7）÷（4－1）－7＝3（年）
　　答：3年后母亲的年龄是女儿的4倍。
　　例3
　　甲对乙说：＂当我的岁数曾经是你现在的岁数时，你才4岁＂。乙对甲说：＂当我的岁数将来是你现在的岁数时，你将61岁＂。求甲乙现在的岁数各是多少？
　　解
　　这里涉及到三个年份：过去某一年、今年、将来某一年。列表分析：
　　过去某一年 今年 将来某一年
　　甲 □岁 △岁 61岁
　　乙 4岁 □岁 △岁
　　表中两个＂□＂表示同一个数，两个＂△＂表示同一个数。
　　因为两个人的年龄差总相等：□－4＝△－□＝61－△，也就是4，□，△，61成等差数列，所以，61应该比4大3个年龄差，
　　因此二人年龄差为（61－4）÷3＝19（岁）
　　甲今年的岁数为△＝61－19＝42（岁）
　　乙今年的岁数为□＝42－19＝23（岁）
　　答：甲今年的岁数是42岁，乙今年的岁数是23岁。
　　行船问题
　　【含义】
　　行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清船速与水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在静水中航行的速度；水速是水流的速度，船只顺水航行的速度是船速与水速之和；船只逆水航行的速度是船速与水速之差。
　　【数量关系】
　　（顺水速度＋逆水速度）÷2＝船速
　　（顺水速度－逆水速度）÷2＝水速
　　顺水速＝船速×2－逆水速＝逆水速＋水速×2
　　逆水速＝船速×2－顺水速＝顺水速－水速×2
　　【解题思路和方法】
　　大多数情况可以直接利用数量关系的公式。
　　例1
　　一只船顺水行320千米需用8小时，水流速度为每小时15千米，这只船逆水行这段路程需用几小时？
　　解
　　由条件知，顺水速＝船速＋水速＝320÷8，而水速为每小时15千米，所以，船速为每小时320÷8－15＝25（千米）
　　船的逆水速为25－15＝10（千米）
　　船逆水行这段路程的时间为320÷10＝32（小时）
　　答：这只船逆水行这段路程需用32小时。
　　例2
　　甲船逆水行360千米需18小时，返回原地需10小时；乙船逆水行同样一段距离需15小时，返回原地需多少时间？
　　解
　　由题意得甲船速＋水速＝360÷10＝36
　　甲船速－水速＝360÷18＝20
　　可见（36－20）相当于水速的2倍，
　　所以，水速为每小时（36－20）÷2＝8（千米）
　　又因为，乙船速－水速＝360÷15，
　　所以，乙船速为360÷15＋8＝32（千米）
　　乙船顺水速为32＋8＝40（千米）
　　所以，乙船顺水航行360千米需要
　　360÷40＝9（小时）
　　答：乙船返回原地需要9小时。
　　列车问题
　　【含义】
　　这是与列车行驶有关的一些问题，解答时要注意列车车身的长度。
　　【数量关系】
　　火车过桥：过桥时间＝（车长＋桥长）÷车速
　　火车追及：追及时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）
　　÷（甲车速－乙车速）
　　火车相遇：相遇时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）
　　÷（甲车速＋乙车速）
　　【解题思路和方法】
　　大多数情况可以直接利用数量关系的公式。
　　例1
　　一座大桥长2400米，一列火车以每分钟900米的速度通过大桥，从车头开上桥到车尾离开桥共需要3分钟。这列火车长多少米？
　　解
　　火车3分钟所行的路程，就是桥长与火车车身长度的和。
　　（1）火车3分钟行多少米？900×3＝2700（米）
　　（2）这列火车长多少米？2700－2400＝300（米）
　　列成综合算式900×3－2400＝300（米）
　　答：这列火车长300米。
　　例2
　　一列长200米的火车以每秒8米的速度通过一座大桥，用了2分5秒钟时间，求大桥的长度是多少米？
　　解
　　火车过桥所用的时间是2分5秒＝125秒，所走的路程是（8×125）米，这段路程就是（200米＋桥长），所以，桥长为
　　8×125－200＝800（米）
　　答：大桥的长度是800米。
　　例3
　　一列长225米的慢车以每秒17米的速度行驶，一列长140米的快车以每秒22米的速度在后面追赶，求快车从追上到追过慢车需要多长时间？
　　解
　　从追上到追过，快车比慢车要多行（225＋140）米，而快车比慢车每秒多行（22－17）米，因此，所求的时间为
　　（225＋140）÷（22－17）＝73（秒）
　　答：需要73秒。
　　例4
　　一列长150米的列车以每秒22米的速度行驶，有一个扳道工人以每秒3米的速度迎面走来，那么，火车从工人身旁驶过需要多少时间？
　　解
　　如果把人看作一列长度为零的火车，原题就相当于火车相遇问题。
　　150÷（22＋3）＝6（秒）
　　答：火车从工人身旁驶过需要6秒钟。
　　时钟问题
　　【含义】
　　就是研究钟面上时针与分针关系的问题，如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角为60度等。时钟问题可与追及问题相类比。
　　【数量关系】
　　分针的速度是时针的12倍，
　　二者的速度差为11/12。
　　通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题来计算。
　　【解题思路和方法】
　　变通为＂追及问题＂后可以直接利用公式。
　　例1
　　从时针指向4点开始，再经过多少分钟时针正好与分针重合？
　　解
　　钟面的一周分为60格，分针每分钟走一格，每小时走60格；时针每小时走5格，每分钟走5/60＝1/12格。每分钟分针比时针多走（1－1/12）＝11/12格。4点整，时针在前，分针在后，两针相距20格。所以
　　分针追上时针的时间为20÷（1－1/12）≈22（分）
　　答：再经过22分钟时针正好与分针重合。
　　例2
　　四点和五点之间，时针和分针在什么时候成直角？
　　解
　　钟面上有60格，它的1/4是15格，因而两针成直角的时候相差15格（包括分针在时针的前或后15格两种情况）。四点整的时候，分针在时针后（5×4）格，如果分针在时针后与它成直角，那么分针就要比时针多走（5×4－15）格，如果分针在时针前与它成直角，那么分针就要比时针多走（5×4＋15）格。再根据1分钟分针比时针多走（1－1/12）格就可以求出二针成直角的时间。
　　（5×4－15）÷（1－1/12）≈6（分）
　　（5×4＋15）÷（1－1/12）≈38（分）
　　答：4点06分及4点38分时两针成直角。
　　例3
　　六点与七点之间什么时候时针与分针重合？
　　解
　　六点整的时候，分针在时针后（5×6）格，分针要与时针重合，就得追上时针。这实际上是一个追及问题。
　　（5×6）÷（1－1/12）≈33（分）
　　答：6点33分的时候分针与时针重合。
　　盈亏问题
　　【含义】
　　根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈），一次不足（亏），或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。
　　【数量关系】
　　一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有：
　　参加分配总人数＝（盈＋亏）÷分配差
　　如果两次都盈或都亏，则有：
　　参加分配总人数＝（大盈－小盈）÷分配差
　　参加分配总人数＝（大亏－小亏）÷分配差
　　【解题思路和方法】
　　大多数情况可以直接利用数量关系的公式。
　　例1
　　给幼儿园小朋友分苹果，若每人分3个就余11个；若每人分4个就少1个。问有多少小朋友？有多少个苹果？
　　解
　　按照＂参加分配的总人数＝（盈＋亏）÷分配差＂的数量关系：
　　（1）有小朋友多少人？（11＋1）÷（4－3）＝12（人）
　　（2）有多少个苹果？3×12＋11＝47（个）
　　答：有小朋友12人，有47个苹果。
　　例2
　　修一条公路，如果每天修260米，修完全长就得延长8天；如果每天修300米，修完全长仍得延长4天。这条路全长多少米？
　　解
　　题中原定完成任务的天数，就相当于＂参加分配的总人数＂，按照＂参加分配的总人数＝（大亏－小亏）÷分配差＂的数量关系，可以得知
　　原定完成任务的天数为
　　（260×8－300×4）÷（300－260）＝22（天）
　　这条路全长为300×（22＋4）＝7800（米）
　　答：这条路全长7800米。
　　例3
　　学校组织春游，如果每辆车坐40人，就余下30人；如果每辆车坐45人，就刚好坐完。问有多少车？多少人？
　　解
　　本题中的车辆数就相当于＂参加分配的总人数＂，于是就有
　　（1）有多少车？（30－0）÷（45－40）＝6（辆）
　　（2）有多少人？40×6＋30＝270（人）
　　答：有6辆车，有270人。
　　工程问题
　　【含义】
　　工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出＂一项工程＂、＂一块土地＂、＂一条水渠＂、＂一件工作＂等，在解题时，常常用单位＂1＂表示工作总量。
　　【数量关系】
　　解答工程问题的关键是把工作总量看作＂1＂，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。
　　工作量＝工作效率×工作时间
　　工作时间＝工作量÷工作效率
　　工作时间＝总工作量÷（甲工作效率＋乙工作效率）
　　【解题思路和方法】
　　变通后可以利用上述数量关系的公式。
　　例1
　　一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成，现在两队合作，需要几天完成？
　　解
　　题中的＂一项工程＂是工作总量，由于没有给出这项工程的具体数量，因此，把此项工程看作单位＂1＂。由于甲队独做需10天完成，那么每天完成这项工程的1/10；乙队单独做需15天完成，每天完成这项工程的1/15；两队合做，每天可以完成这项工程的（1/10＋1/15）。
　　由此可以列出算式：1÷（1/10＋1/15）＝1÷1/6＝6（天）
　　答：两队合做需要6天完成。
　　例2
　　一批零件，甲独做6小时完成，乙独做8小时完成。现在两人合做，完成任务时甲比乙多做24个，求这批零件共有多少个？
　　解一
　　设总工作量为1，则甲每小时完成1/6，乙每小时完成1/8，甲比乙每小时多完成（1/6－1/8），二人合做时每小时完成（1/6＋1/8）。因为二人合做需要［1÷（1/6＋1/8）］小时，这个时间内，甲比乙多做24个零件，所以
　　（1）每小时甲比乙多做多少零件？
　　24÷［1÷（1/6＋1/8）］＝7（个）
　　（2）这批零件共有多少个？
　　7÷（1/6－1/8）＝168（个）
　　答：这批零件共有168个。
　　解二
　　上面这道题还可以用另一种方法计算：
　　两人合做，完成任务时甲乙的工作量之比为1/6∶1/8＝4∶3
　　由此可知，甲比乙多完成总工作量的4－3/4＋3＝1/7
　　所以，这批零件共有24÷1/7＝168（个）
　　例3
　　一件工作，甲独做12小时完成，乙独做10小时完成，丙独做15小时完成。现在甲先做2小时，余下的由乙丙二人合做，还需几小时才能完成？
　　解
　　必须先求出各人每小时的工作效率。如果能把效率用整数表示，就会给计算带来方便，因此，我们设总工作量为12、10、和15的某一公倍数，例如最小公倍数60，则甲乙丙三人的工作效率分别是
　　60÷12＝560÷10＝660÷15＝4
　　因此余下的工作量由乙丙合做还需要
　　（60－5×2）÷（6＋4）＝5（小时）
　　答：还需要5小时才能完成。
　　例4
　　一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有若干个同样粗细的进水管。当打开4个进水管时，需要5小时才能注满水池；当打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池；现在要用2小时将水池注满，至少要打开多少个进水管？
　　解：
　　注（排）水问题是一类特殊的工程问题。往水池注水或从水池排水相当于一项工程，水的流量就是工作量，单位时间内水的流量就是工作效率。
　　要2小时内将水池注满，即要使2小时内的进水量与排水量之差刚好是一池水。为此需要知道进水管、排水管的工作效率及总工作量（一池水）。只要设某一个量为单位1，其余两个量便可由条件推出。
　　我们设每个同样的进水管每小时注水量为1，则4个进水管5小时注水量为（1×4×5），2个进水管15小时注水量为（1×2×15），从而可知
　　每小时的排水量为（1×2×15－1×4×5）÷（15－5）＝1
　　即一个排水管与每个进水管的工作效率相同。由此可知
　　一池水的总工作量为1×4×5－1×5＝15
　　又因为在2小时内，每个进水管的注水量为1×2，
　　所以，2小时内注满一池水
　　至少需要多少个进水管？（15＋1×2）÷（1×2）
　　＝8.5≈9（个）
　　答：至少需要9个进水管。
　　正反比例问题
　　【含义】
　　两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定（即商一定），那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。
　　两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。
　　【数量关系】
　　判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决，而且比较简捷。
　　【解题思路和方法】
　　解决这类问题的重要方法是：把分率（倍数）转化为比，应用比和比例的性质去解应用题。
　　正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。
　　例1
　　修一条公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的变成未修的1/2，求这条公路总长是多少米？
　　解
　　由条件知，公路总长不变。
　　原已修长度∶总长度＝1∶（1＋3）＝1∶4＝3∶12
　　现已修长度∶总长度＝1∶（1＋2）＝1∶3＝4∶12
　　比较以上两式可知，把总长度当作12份，则300米相当于（4－3）份，从而知公路总长为300÷（4－3）×12＝3600（米）
　　答：这条公路总长3600米。
　　例2
　　张晗做4道应用题用了28分钟，照这样计算，91分钟可以做几道应用题？
　　解
　　做题效率一定，做题数量与做题时间成正比例关系
　　设91分钟可以做X应用题则有28∶4＝91∶X
　　28X＝91×4X＝91×4÷28X＝13
　　答：91分钟可以做13道应用题。
　　例3
　　孙亮看《十万个为什么》这本书，每天看24页，15天看完，如果每天看36页，几天就可以看完？
　　解
　　书的页数一定，每天看的页数与需要的天数成反比例关系
　　设X天可以看完，就有24∶36＝X∶15
　　36X＝24×15X＝10
　　答：10天就可以看完。
　　按比例分配问题
　　【含义】
　　所谓按比例分配，就是把一个数按照一定的比分成若干份。这类题的已知条件一般有两种形式：一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数，另一种是直接给出份数。
　　【数量关系】
　　从条件看，已知总量和几个部分量的比；从问题看，求几个部分量各是多少。总份数＝比的前后项之和
　　【解题思路和方法】
　　先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几，把比的前后项相加求出总份数，再求各部分占总量的几分之几（以总份数作分母，比的前后项分别作分子），再按照求一个数的几分之几是多少的计算方法，分别求出各部分量的值。
　　例1
　　学校把植树560棵的任务按人数分配给五年级三个班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三个班各植树多少棵？
　　解
　　总份数为47＋48＋45＝140
　　一班植树560×47/140＝188（棵）
　　二班植树560×48/140＝192（棵）
　　三班植树560×45/140＝180（棵）
　　答：一、二、三班分别植树188棵、192棵、180棵。
　　例2
　　用60厘米长的铁丝围成一个三角形，三角形三条边的比是3∶4∶5。三条边的长各是多少厘米？
　　解
　　3＋4＋5＝1260×3/12＝15（厘米）
　　60×4/12＝20（厘米）
　　60×5/12＝25（厘米）
　　答：三角形三条边的长分别是15厘米、20厘米、25厘米。
　　例3
　　从前有个牧民，临死前留下遗言，要把17只羊分给三个儿子，大儿子分总数的1/2，二儿子分总数的1/3，三儿子分总数的1/9，并规定不许把羊宰割分，求三个儿子各分多少只羊。
　　解
　　如果用总数乘以分率的方法解答，显然得不到符合题意的整数解。如果用按比例分配的方法解，则很容易得到
　　1/2∶1/3∶1/9＝9∶6∶2
　　9＋6＋2＝1717×9/17＝9
　　17×6/17＝617×2/17＝2
　　答：大儿子分得9只羊，二儿子分得6只羊，三儿子分得2只羊。
　　例4
　　某工厂第一、二、三车间人数之比为8∶12∶21，第一车间比第二车间少80人，三个车间共多少人？
　　解
　　80÷（12－8）×（8＋12＋21）＝820（人）
　　答：三个车间一共820人。
　　百分数问题
　　【含义】
　　百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。百分数是一种特殊的分数。分数常常可以通分、约分，而百分数则无需；分数既可以表示＂率＂，也可以表示＂量＂，而百分数只能表示＂率＂；分数的分子、分母必须是自然数，而百分数的分子可以是小数；百分数有一个专门的记号＂%＂。
　　在实际中和常用到＂百分点＂这个概念，一个百分点就是1%，两个百分点就是2%。
　　【数量关系】
　　掌握＂百分数＂、＂标准量＂＂比较量＂三者之间的数量关系：
　　百分数＝比较量÷标准量
　　标准量＝比较量÷百分数
　　【解题思路和方法】
　　一般有三种基本类型：
　　（1）求一个数是另一个数的百分之几；
　　（2）已知一个数，求它的百分之几是多少；
　　（3）已知一个数的百分之几是多少，求这个数。
　　例1
　　仓库里有一批化肥，用去720千克，剩下6480千克，用去的与剩下的各占原重量的百分之几？
　　解
　　（1）用去的占720÷（720＋6480）＝10%
　　（2）剩下的占6480÷（720＋6480）＝90%
　　答：用去了10%，剩下90%。
　　例2
　　红旗化工厂有男职工420人，女职工525人，男职工人数比女职工少百分之几？
　　解
　　本题中女职工人数为标准量，男职工比女职工少的人数是比较量所以（525－420）÷525＝0.2＝20%
　　或者1－420÷525＝0.2＝20%
　　答：男职工人数比女职工少20%。
　　例3
　　红旗化工厂有男职工420人，女职工525人，女职工比男职工人数多百分之几？
　　解
　　本题中以男职工人数为标准量，女职工比男职工多的人数为比较量，因此
　　（525－420）÷420＝0.25＝25%
　　或者525÷420－1＝0.25＝25%
　　答：女职工人数比男职工多25%。
　　例4
　　红旗化工厂有男职工420人，有女职工525人，男、女职工各占全厂职工总数的百分之几？
　　解
　　（1）男职工占420÷（420＋525）＝0.444＝44.4%
　　（2）女职工占525÷（420＋525）＝0.556＝55.6%
　　答：男职工占全厂职工总数的44.4%，女职工占55.6%。
　　＂牛吃草＂问题
　　【含义】
　　＂牛吃草＂问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫＂牛顿问题＂。这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。
　　【数量关系】
　　草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数
　　【解题思路和方法】
　　解这类题的关键是求出草每天的生长量。
　　例1
　　一块草地，10头牛20天可以把草吃完，15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天可以把草吃完？
　　解
　　草是均匀生长的，所以，草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数。求＂多少头牛5天可以把草吃完＂，就是说5天内的草总量要5天吃完的话，得有多少头牛？设每头牛每天吃草量为1，按以下步骤解答：
　　（1）求草每天的生长量
　　因为，一方面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草，即（1×10×20）；另一方面，20天内的草总量又等于原有草量加上20天内的生长量，所以
　　1×10×20＝原有草量＋20天内生长量
　　同理1×15×10＝原有草量＋10天内生长量
　　由此可知（20－10）天内草的生长量为
　　1×10×20－1×15×10＝50
　　因此，草每天的生长量为50÷（20－10）＝5
　　（2）求原有草量
　　原有草量＝10天内总草量－10内生长量＝1×15×10－5×10＝100
　　（3）求5天内草总量
　　5天内草总量＝原有草量＋5天内生长量＝100＋5×5＝125
　　（4）求多少头牛5天吃完草
　　因为每头牛每天吃草量为1，所以每头牛5天吃草量为5。
　　因此5天吃完草需要牛的头数125÷5＝25（头）
　　答：需要5头牛5天可以把草吃完。
　　例2
　　一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如果有12个人淘水，3小时可以淘完；如果只有5人淘
　　水，要10小时才能淘完。求17人几小时可以淘完？
　　解
　　这是一道变相的＂牛吃草＂问题。与上题不同的是，最后一问给出了人数（相当于＂牛数＂），求时间。设每人每小时淘水量为1，按以下步骤计算：
　　（1）求每小时进水量
　　因为，3小时内的总水量＝1×12×3＝原有水量＋3小时进水量
　　10小时内的总水量＝1×5×10＝原有水量＋10小时进水量
　　所以，（10－3）小时内的进水量为1×5×10－1×12×3＝14
　　因此，每小时的进水量为14÷（10－3）＝2
　　（2）求淘水前原有水量
　　原有水量＝1×12×3－3小时进水量＝36－2×3＝30
　　（3）求17人几小时淘完
　　17人每小时淘水量为17，因为每小时漏进水为2，所以实际上船中每小时减少的水量为（17－2），所以17人淘完水的时间是
　　30÷（17－2）＝2（小时）
　　答：17人2小时可以淘完水。
　　鸡兔同笼问题
　　【含义】
　　这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚，求鸡、兔各有多少只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题。已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。
　　【数量关系】
　　第一鸡兔同笼问题：
　　假设全都是鸡，则有
　　兔数＝（实际脚数－2×鸡兔总数）÷（4－2）
　　假设全都是兔，则有
　　鸡数＝（4×鸡兔总数－实际脚数）÷（4－2）
　　第二鸡兔同笼问题：
　　假设全都是鸡，则有
　　兔数＝（2×鸡兔总数－鸡与兔脚之差）÷（4＋2）
　　假设全都是兔，则有
　　鸡数＝（4×鸡兔总数＋鸡与兔脚之差）÷（4＋2）
　　【解题思路和方法】
　　解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡；如果先假设都是兔，然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先假设，再置换，使问题得到解决。
　　例1
　　长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五，脚数共有九十四。请你仔细算一算，多少兔子多少鸡？
　　解
　　假设35只全为兔，则
　　鸡数＝（4×35－94）÷（4－2）＝23（只）
　　兔数＝35－23＝12（只）
　　也可以先假设35只全为鸡，则
　　兔数＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只）
　　鸡数＝35－12＝23（只）
　　答：有鸡23只，有兔12只。
　　例2
　　2亩菠菜要施肥1千克，5亩白菜要施肥3千克，两种菜共16亩，施肥9千克，求白菜有多少亩？
　　解
　　此题实际上是改头换面的＂鸡兔同笼＂问题。＂每亩菠菜施肥（1÷2）千克＂与＂每只鸡有两个脚＂相对应，＂每亩白菜施肥（3÷5）千克＂与＂每只兔有4只脚＂相对应，＂16亩＂与＂鸡兔总数＂相对应，＂9千克＂与＂鸡兔总脚数＂相对应。假设16亩全都是菠菜，则有
　　白菜亩数＝（9－1÷2×16）÷（3÷5－1÷2）＝10（亩）
　　答：白菜地有10亩。
　　例3
　　李老师用69元给学校买作业本和日记本共45本，作业本每本3.20元，日记本每本0.70元。问作业本和日记本各买了多少本？
　　解
　　此题可以变通为＂鸡兔同笼＂问题。假设45本全都是日记本，则有
　　作业本数＝（69－0.70×45）÷（3.20－0.70）＝15（本）
　　日记本数＝45－15＝30（本）
　　答：作业本有15本，日记本有30本。
　　例4
　　（第二鸡兔同笼问题）鸡兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？
　　解
　　假设100只全都是鸡，则有
　　兔数＝（2×100－80）÷（4＋2）＝20（只）
　　鸡数＝100－20＝80（只）
　　答：有鸡80只，有兔20只。
　　例5
　　有100个馍100个和尚吃，大和尚一人吃3个馍，小和尚3人吃1个馍，问大小和尚各多少人？
　　解
　　假设全为大和尚，则共吃馍（3×100）个，比实际多吃（3×100－100）个，这是因为把小和尚也算成了大和尚，因此我们在保证和尚总数100不变的情况下，以＂小＂换＂大＂，一个小和尚换掉一个大和尚可减少馍（3－1/3）个。因此，共有小和尚
　　（3×100－100）÷（3－1/3）＝75（人）
　　共有大和尚100－75＝25（人）
　　答：共有大和尚25人，有小和尚75人。
　　方阵问题
　　【含义】
　　将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。
　　【数量关系】
　　（1）方阵每边人数与四周人数的关系：
　　四周人数＝（每边人数－1）×4
　　每边人数＝四周人数÷4＋1
　　（2）方阵总人数的求法：
　　实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数
　　空心方阵：总人数＝（外边人数）?－（内边人数）?
　　内边人数＝外边人数－层数×2
　　（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：
　　总人数＝（每边人数－层数）×层数×4
　　【解题思路和方法】
　　方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。
　　例1
　　在育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成方阵，每行22人，参加体操表演的同学一共有多少人？
　　解
　　22×22＝484（人）
　　答：参加体操表演的同学一共有484人。
　　例2
　　有一个3层中空方阵，最外边一层有10人，求全方阵的人数。
　　解
　　10－（10－3×2）?
　　＝84（人）
　　答：全方阵84人。
　　例3
　　有一队学生，排成一个中空方阵，最外层人数是52人，最内层人数是28人，这队学生共多少人？
　　解
　　（1）中空方阵外层每边人数＝52÷4＋1＝14（人）
　　（2）中空方阵内层每边人数＝28÷4－1＝6（人）
　　（3）中空方阵的总人数＝14×14－6×6＝160（人）
　　答：这队学生共160人。
　　例4
　　一堆棋子，排列成正方形，多余4棋子，若正方形纵横两个方向各增加一层，则缺少9只棋子，问有棋子多少个？
　　解
　　（1）纵横方向各增加一层所需棋子数＝4＋9＝13（只）
　　（2）纵横增加一层后正方形每边棋子数＝（13＋1）÷2＝7（只）
　　（3）原有棋子数＝7×7－9＝40（只）
　　答：棋子有40只。
　　例5
　　有一个三角形树林，顶点上有1棵树，以下每排的树都比前一排多1棵，最下面一排有5棵树。这个树林一共有多少棵树？
　　解
　　第一种方法：1＋2＋3＋4＋5＝15（棵）
　　第二种方法：（5＋1）×5÷2＝15（棵）
　　答：这个三角形树林一共有15棵树。
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