长远看，孩子的几何感比数感更重要，我来说说该怎么培养

　　因为疫情，今年的圣诞新年假期哪儿也去不了，倒成了我们家的整理收拾月。
　　上次在收拾逃逃的书籍时，和大家掰了美国孩子的阅读。今天想和大家聊的话题，其实也是因最近的整理而起，是在收拾逃逃的玩具时非常有感的。
　　比起很多老美家庭通常要安排一两个房间来存放玩具的阵势，逃逃的玩具不算多，我们比较节制，一般只买很有必要和非常喜欢的。一轮整理下来，发现我们最舍得花钱的＂玩具＂都很有共性，很多很多的积木，平面的、立体的，很多很多的折纸、拼图、立体书，还有好几大箱的乐高积木…
　　其实不止我们家，走进任何一家美国幼儿园、小学教室，除了书，最多的肯定也是这一类。看起来都是玩具，但它们有个共性，培养孩子的＂几何感＂，也就是老美数学老师所说的＂Geometric Intuition＂。
　　我们常说＂数感＂培养，却很少提到＂几何感＂。 但实际上，从长远看，几何感对孩子的帮助会更大，几何感强的孩子也会具备更强的竞争力。
　　今天就来和大家说说孩子的＂几何感＂。
　　它究竟指的什么？对孩子有什么帮助？搭积木？画辅助线刷几何数学题？大家平时花了很多钱买积木买玩具买教具到底值不值？哪些玩具/教具的性价比最高？有什么需要注意的地方？…
　　好几年前，逃逃刚在美国上学不久时，我曾花了些时间来研究美国的教学大纲，其中这一小段关于几何的＂意义和重要性＂，被我高亮标记出来了：
　　怎么讲？
　　★  第一 ，几何和数学的＂every strand＂，每一丝每一缕，都有紧密的关系。
　　我算是数学还不错的，至少到了大学的高数和线数，还能保持满分记录。＂艺高人胆大＂地说一句， 孩子的几何能力不行 ， 数学肯定好不了 。也许在开始学习简单图形变换时还能勉强撑过去，但到了中学，和代数结合的坐标几何，以及三角函数、复杂的几何证明时，数学也就差不多到头了，后面会举步维艰。
　　★ 第二 ，几何始于数学，但它的意义和影响却远超数学。
　　从古希腊文明，到文艺复兴的绘画、雕塑，到现代的设计、建筑，无一不和几何有关。忘了是哪位名人说过，＂我们这一代人努力学习数学和科学，我们的孩子，才能从容地学习文学哲学，我们孩子的孩子，才能好好学习艺术。＂而 几何 ， 本身就连通了从数学到哲学到艺术 ，可以说是一项既仰望星空，又脚踏实地的硬核能力。
　　▲柏拉图：＂几何会带你走向真理，并创造哲学的精神。＂
　　下面，我们就来脚踏实地的，看看孩子的几何能力究竟指的是什么，几何感怎么培养？
　　我会借用我比较熟悉的美国K12的几何教学框架来讲。实际上和咱们国内是差不多的，因为全世界孩子的几何知识来源都一样，都源自欧几里得的《几何原本》。欧几里得肯定是所有数学迷的偶像了，逃逃在他的视频号里就谈过他
　　孩子的几何能力，主要包括了这7个方面：
　　其中，
　　前3项是最基本的，学龄前和小学低年级就必须开始重点培养，它们是后面几项的基础，对应的玩具/教具也很多，我会掰得比较细；
　　第4-6项，也需要开始得很早，和前3项有所不同的是，它们会走得更深，更远；
　　第7项，几何中的逻辑推理，孩子会接触得比较晚一些，集中体现在需要严密逻辑演绎推理的几何证明题里。
　　01.
　　空间关系
　　空间关系，是最直观、孩子也最容易感知到的。不过很多我们大人看起来再自然不过的事，孩子却需要慢慢去学习和体会。它主要包括三方面：
　　①
　　物体和空间的关系
　　包括物体在空间中的位置、方向，比如上下、左右、前后、中间等等；以及从不同视角观察，物体和空间的关系会有所不同这样的现象，比如家里的窗户看出去，树在房子的左边，但从路的另一边看过来，树却是在房子的右边。
　　这些知识，在生活中处处可见，只要家长稍微留心，就能给孩子足够多的输入，并不需要借助特别的玩具/教具。
　　②
　　物体和物体之间的关系
　　基本概念很简单，就三点： 全等、对称、相似 。
　　孩子的认知，也是由浅入深慢慢来。逃逃小时候玩各种积木玩具时，我会时不时跟他做一些＂夹带私货＂的练习。比如用乐高方块，我先搭一个图形，再请逃逃搭出一个一模一样的＂全等＂图形；或者自己搭出爱心的一半，让他搭出对称的另一半；然后让他自己搭小一点儿的，或者大一点儿的＂相似＂爱心...
　　同样的，还可以搭3D图形的全等、对称和相似：
　　类似这样的练习，其实用任何积木方块、磁力片、甚至彩色纸片都可以做，我比较喜欢用乐高方块，是因为它们可以和底板固定卡紧，免得娃手一抖就弄乱了。
　　可别小看这几个概念啊，大家回想一下，咱们以前刷过的很多几何题，都是落在这些知识点上。而且，到了后面学坐标几何时，还需要把这些概念应用到直角坐标系中去，比如对称，就有X轴对称、Y轴对称、原点对称等等。
　　从小玩透了，才容易有＂感＂。
　　③
　　2D和3D的关系
　　主要也是要理解三个概念： 视角、投影 和 透视 。但因为是2D和3D图形之间的变换，要难很多。
　　视角 ，指的是从不同角度观察物体，看到不同的样子；   投影 ，指的是用一组光线将物体的形状投射到一个平面上去，在该平面上得到的图像；   透视 ，来自拉丁文＂perspicere＂，意为＂透而视之＂。指的是通过透明平面观察、研究透视图形的发生原理、变化规律和图形画法，最终使3D物体的立体形状落实在2D平面上。
　　这方面的练习，如果家长没有相关领域的背景，比如美术、建筑、设计等，估计很难自己发挥，最好是借助专业的玩具/教具。
　　名气最大的，应该是以色列教育品牌FoxMind出品的桌游 ＂天才建筑师＂ 。它有好几个系列，是数学家Michel和Robert Lyons专门为培养孩子的几何空间思维而设计，有针对性地练习几何图形的构成、分解组合，以及2D和3D关系的转换。
　　▲FoxMind的＂天才建筑师＂系列
　　其中的 ＂建筑大师＂（Architecto）和＂空间大师＂（Perspecto）这两个系列 ，就是比着2D和3D的视角变换知识点来做练习。
　　▲FoxMind的＂天才建筑师＂系列的题卡
　　题卡会给出各个不同的视角图（前视图、后视图、俯视图），要求孩子搭出满足这个视角图的建筑体，一开始只需要满足一个视角，渐渐地难度加大，要同时满足几个视角，孩子需要非常仔细地观察几何体组合的变化。
　　2D和3D的转换是个难点，需要大量的观察和感受。 一些折纸、立体书也很有帮助，比较容易让孩子get到 ＂投影＂ 和 ＂透视＂ 的感觉。
　　特别推荐一本收录了 顶级建筑大师贝聿铭 经典建筑的立体书，也是逃逃今年的圣诞新年礼物之一，我专门从国内海运过来的～
　　书中再现了几座贝聿铭先生亲自设计的，世界级的建筑：卢浮宫金字塔、苏州博物馆、美国国家美术馆、日本美秀美术馆、香港中银大厦，非常震撼。
　　▲《贝聿铭的建筑密码》
　　任何一座美的建筑，都是数学几何，工程科学和美学设计的完美结合。而且 立体书的方式 ， 纸片从折叠到立体的变化 ， 正好也让孩子观察和体会2D和3D之间的转换 。
　　02.
　　几何属性
　　如果说＂空间关系＂是离得稍微远一点儿，去观察物体和空间、物体和物体之间关系，那＂几何属性＂，则要求把＂镜头＂拉近，对单个物体/图形进行更细致的观察。
　　它包括 2D图形的顶点、边、角度 ，以及 3D 图形的顶点、边、表面等 。
　　其中2D图形的几何属性是小学学习的重点。整个小学的几何知识点，至少有一半以上是落在这个知识点上，从角的初步认识，度量，到平行四边形、梯形、三角形、圆形……
　　对应2D图形的几何属性，有一套非常好用的教具，中文名叫 ＂edx几何魔法条＂ ，也是由数学家团队设计的，带头人是澳洲数学教育专家Dr. Paul Swan。
　　这套教具有个很＂吃亏＂的地方，就是太像玩具了，晃一眼五颜六色，在商场里很容易在玩具堆里淹没。
　　但它却是一个实打实的几何教具。用来搭建不同的图形，理解顶点、边、角度等概念再合适不过。可以说整个小学阶段都非常实用，到后面，还能非常直观地让孩子理解几何中的一些定理。比如为什么三角形任意两边之和大于第三边？因为不满足这个条件就搭不出三角形啊～
　　同样的，3D图形也有类似的教具产品：
　　不过低年级对3D图形的几何属性要求不会太细，比如只要求孩子认识和理解，但不会像2D图形那样细致到具体尺寸和角度大小，所以，用＂牙签＂和＂棉花糖＂也是可以代劳的～
　　03.
　　几何变换
　　几何变换，实质上是刚才所说的第1项，＂空间关系＂的延展，主要包括平移translation，旋转rotation，反射reflection，和缩放 scaling。
　　正因为是＂变换＂，所以变换练习真的特别多，我们熟悉的很多几何积木类教具，都是着重练习这一块。
　　最有代表性的，出自大品牌的有MIGHTY MIND的磁性积木MightyMind ，以及ThinkFun的Shape by shape等等。
　　还有我们更加熟悉的七巧板（Tangram）：
　　这类积木教具，都是需要孩子找到形状大小合适的积木块，按照合适的方向，摆放到合适的位置，在这个过程中不断地实践几何图形的变换。
　　其实很多思维练习册上也有类似的训练，比如我们一直很推荐的日本《儿童思维训练365天》和《数学脑》，里面有很多有意思的几何思维训练题。但需要提醒大家一点，孩子的几何能力培养， 一定得从摸得着的实物开始 ， 上手触摸、搭建 ， 从不同的角度观察 ， 才更会有＂感＂ 。
　　不过，到了一定阶段，练习册也很有必要，因为这时孩子就得发挥TA的空间 几何想象能力 了，在没有实物的情况也能在脑海里进行分解、组合，想象物体图形之间的关系。
　　比如下面这样的题目，很锻炼孩子在脑海里对几何图形的想象力：
　　▲《365儿童思维训练》高级
　　▲《数学脑》
　　前面列出的3大项是几何能力的基础，主要集中在孩子 ＂具象几何＂ 思维培养阶段，所对应的教具也很多；接下来这几个项，主要是在孩子的 ＂抽象几何＂ 学习阶段，会更难一些，我来大致和大家过一下。
　　04.
　　坐标几何
　　坐标几何，也叫解析几何，或者笛卡尔几何，因为它所用到的平面直角坐标，以及用代数来解决几何问题的方法，就是法国数学家笛卡尔（Cartesian）提出的。
　　前面讲到的很多概念，比如平移、旋转、缩放，将来都会对应到这个坐标系里，＂形＂和＂数＂相遇：
　　坐标几何的启蒙，其实从很小就可以开始做了，比如准确定位一件物品的位置，美国孩子低年级时学的很多有关地图的知识，方位、方向、图示、比例尺，读地图，画地图等等：
　　还有很多思维练习，比如根据＂坐标＂找出对应物品，或者用＂坐标＂类词汇描述物体的位置，都是在为后面的＂坐标几何＂学习做铺垫：
　　▲《365儿童思维训练》中级
　　05.
　　几何测量
　　几何测量，非常直观。孩子的学习，是沿着 从模糊到清晰 ， 从凭感觉到算清楚 这样的路径。
　　学龄前接触到测量，是不需要准确数据的，就凭感觉地做一些＂比大小，按长度、重量排序＂的练习；
　　接着到测量，计算长度、面积、角度，要求准确的数据，这时前面提到的那个 ＂edx几何魔法条＂ 的教具就非常好用，仔细看每个棒子上面都有长度、角度和刻度标注，就是专为孩子在学习精确测量阶段而设计的。
　　测量咋一看还比较简单，BUT，到后面上到三角函数阶段，尤其是和坐标几何再一结合的时候，很多孩子就晕菜了。
　　所以，前面的基础要打牢，是硬道理。
　　06.
　　几何建模
　　几何建模，实际上孩子从接触数学开始，就一直在用，只是没觉察到，或者说不知道它有一个这么fancy的名字。
　　指的是什么呢？其实就是所有用几何图形、图表来描述和解决实际问题的方法。而且并不限于数学问题。
　　比如孩子学数数、加减法时用到的数轴线，逃逃曾在视频号里和大家介绍过：
　　比如用来统计比较数据的各种图表：
　　或者是在物理中用来分析力的方向、大小的示意图：
　　所有能＂可视化＂为几何图形、图表的问题，都可以用几何建模的方法，进行更直观的描述和分析。 几何建模，体现的是孩子对几何知识的应用能力。
　　07.
　　逻辑推理
　　我自己，还有我知道的身边很多喜欢数学的同学，都有一个共鸣：数学，学到几何证明题时，突然感觉豁然开朗，非常＂清爽＂。
　　为什么呢？因为实在很美， 简洁 ， 严密 ， 系统 。在几何的世界里，除了屈指可数的几条公理，其他所有事情都不能想当然，都要有根据，有严密的推导过程。
　　我来帮大家回忆一下，在庞大的几何证明领域，公理只有10条，真的是伸出双手就能数清楚。
　　其中包括5条一般性公理：
　　如果a=b, b=c, 那么a=c；   如果a=b，c=d，那么a+c=b+d;   如果a=b，c=d，那么a-c=b-d;   彼此能重合的物体（图形）是全等的;   整体大于部分。
　　以及几何知识相关的5条公理：
　　由任意一点到另外任意一点可以画直线；   一条有限直线可以继续延长；   以任意点为心，以任意的距离（半径）可以画圆；   凡直角都彼此相等；   过直线外的一个点，可以做一条，且仅可以做一条该直线的平行线。
　　这10条公理，还有一些基本概念的定义，是整个几何学的基石，其他所有的定理、结论，都是从它们推导而出，而且推导过程必须符合逻辑。就这样，整个几何学的知识体系就被构建出来，是不是很清爽，但又够霸气？
　　几何证明 ， 培养了孩子严密的逻辑思维和思辨能力 ，古希腊的数学家和哲学家往往是同一波人，现在美国中学数学俱乐部和辩论队通常也是同一波孩子，估计就是这个道理。这些思维方式，在其他所有领域都能用到。
　　EASTWEST
　　上面的内容，前面几项，相信大家会很有感，因为孩子正在学习经历，后面几项，估计大多数同学隐约有印象，但很多细节可能想不起来了。不过，孩子未来几年，肯定也会沿着这个线路学习，咱们先稍做点儿预热。
　　总的来说， 数学基础学习 ， ＂数感＂重要 ， ＂几何感＂也同样很重要 ； ＂数＂和＂形＂要两手抓 ， 因为到了后面 ， 它俩会在某个地方相遇、结合 ， 任何一手松了 ， 都会有问题 。