中考数学压轴题分析旋转相似

　　【中考真题】
　　（2020·河南）将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB′，记旋转角为α，连接BB′，过点D作DE垂直于直线BB′，垂足为点E，连接DB′，CE．
　　（1）如图1，当α＝60°时，△DEB′的形状为 　 　 ，连接BD，可求出BB＂/CE的值为 　 　 ；
　　（2）当0°＜α＜360°且α≠90°时，
　　①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；
　　②当以点B′，E，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出BE/B＂E的值．
　　【分析】
　　题（1）的第一个空格比较简单，因为题目已经告诉我们α的大小了，代入进行计算即可发现结论。那么第二个空格其实也有清晰的提示，照做即可。
　　发现有两个三角形是相似的，相似比也容易得到为√2:1.
　　如上图所示，两个三角形形状相同，但是大小不一致，相当于旋转缩放产生的图形。
　　有了题（1）的基础，那么题（2）的第①问也就迎刃而解了。
　　方法也是类似。
　　题（3）的难度就明显不是一个档次了。由于0°＜α＜360°且α≠90°，所以产生的情况有很多种。需要进行分类讨论。
　　不过也不难。
　　我们可以先抓住关键点，也就是C和D的特殊性。发现CD是正方形的一条边。如果CD为对角线，那么B′和E的中点就是CD的中点。
　　如果CD为边，那么B′和E所成的直线与CD平行，那么只能在AB这条直线上运动。
　　有了以上的分析，我们就可以进行画图了。
　　有了图之后代入进行运算即可，由于边长未知，直接设为x或者1就可以得到结论。
　　【答案】 解：（1）∵AB绕点A逆时针旋转至AB′，
　　∴AB＝AB＂，∠BAB＂＝60°，
　　∴△ABB＂是等边三角形，
　　∴∠BB＂A＝60°，
　　∴∠DAB＂＝∠BAD﹣∠BAB＂＝90°﹣60°＝30°，
　　∵AB＂＝AB＝AD，
　　∴∠AB＂D＝∠ADB＂，
　　∴∠AB＂D=(180°-30°)/2=75°，
　　∴∠DB＂E＝180°﹣60°﹣75°＝45°，
　　∵DE⊥B＂E，
　　∴∠B＂DE＝90°﹣45°＝45°，
　　∴△DEB＂是等腰直角三角形．
　　∵四边形ABCD是正方形，
　　∴∠BDC＝45°，
　　∴BD/DC=√2，
　　同理B＂D/DE=√2，
　　∴BD/DC=B＂D/DE，
　　∵∠BDB＂+∠B＂DC＝45°，∠EDC+∠B＂DC＝45°，
　　∴BDB＂＝∠EDC，
　　∴△BDB＂∽△CDE，
　　∴BB＂/CE=BD/DC=√2．
　　故答案为：等腰直角三角形，BB＂/CE=√2．
　　（2）①两结论仍然成立．
　　证明：连接BD，
　　∵AB＝AB＂，∠BAB＂＝α，
　　∴∠AB＂B＝90°-α/2，
　　∵∠B＂AD＝α﹣90°，AD＝AB＂，
　　∴∠AB＂D＝135°-α/2，
　　∴∠EB＂D＝∠AB＂D﹣∠AB＂B＝135°-α/2-(90°-α/2)=45°，
　　∵DE⊥BB＂，
　　∴∠EDB＂＝∠EB＂D＝45°，
　　∴△DEB＂是等腰直角三角形，
　　∴DB＂/DE=√2，
　　∵四边形ABCD是正方形，
　　∴BD/CD=√2，∠BDC＝45°，
　　∴BD/CD=DB＂/DE，
　　∵∠EDB＂＝∠BDC，
　　∴∠EDB＂+∠EDB＝∠BDC+∠EDB，
　　即∠B＂DB＝∠EDC，
　　∴△B＂DB∽△EDC，
　　∴BB＂/CE=BD/CD=√2．
　　②BE/B＂E=3或1．
　　若CD为平行四边形的对角线，
　　点B＂在以A为圆心，AB为半径的圆上，取CD的中点．连接BO交⊙A于点B＂，
　　过点D作DE⊥BB＂交BB＂的延长线于点E，
　　由（1）可知△B＂ED是等腰直角三角形，
　　∴B＂D=√2B＂E，
　　由（2）①可知△BDB＂∽△CDE，且BB＂=√2CE．
　　∴BE/B＂E=(B＂B+B＂E)/B＂E=BB＂/B＂E+1=(√2CE)/B＂E+1=(√2 B＂D)/B＂E+1=√2×√2+1＝3．
　　若CD为平行四边形的一边，如图3，
　　点E与点A重合，
　　∴BE/B＂E=1．
　　综合以上可得BE/B＂E=3或1．