比萨斜塔实验，如果考虑空气阻力，两球谁先落地？

　　相传在1590年，伽利略在比萨斜塔做了一次落体实验，用两个重量相差十倍的铁球，从高度54.5米的比萨斜塔上面同时下坠，最后发现这两个铁球竟然是同时落地。
　　借此实验，伽利略推翻了近两千年前亚里士多德的有关论断——＂物体下坠的速度与其自身重量成正比＂。
　　不过实际上关于伽利略是否真的做过比萨斜塔实验，现在已经无从考证了（大概率只是后人的一个杜撰故事）。
　　除了这种直观的实验之外，伽利略还从理论层面否决了亚里士多德的论断：
　　如果按照物体越重，下坠速度越快的规律来看，一个小质量的物体如何和一个大质量的物体绑到一块，那么小质量的物体就会拖慢大质量物体的速度，然而另一方面，两个物体合在一起，质量是两个物体之和，因此下坠速度又要大于之前的速度，所以这就产生了矛盾。
　　然而不管怎么样，由于比萨斜塔实验的出名，现在基本上已经没有人会质疑＂不同质量的物体，在同一高度做自由落体运动，会同时到达地面＂的正确性。
　　实际上近代以来，人类也多次做过类似实验，比如阿波罗登月时，宇航员就拿着一把锤子和一块羽毛，在月球表面验证过，如下图
　　还要就是人类在地表的真空室里也做过实验，如下图
　　说到这，可能有部分兴趣盎然的朋友会问道：你刚才举的两个例子，都是在真空环境下做的实验，可以认为是标准的自由落体运动，而伽利略在比萨斜塔扔的球，不是还要受空气阻力的影响吗？
　　虽然我知道自由落体运动，物体坠地的时间与质量无关，但考虑空气阻力之后，结果又会怎样呢？
　　就拿比萨斜塔实验来说，坠地的两颗铁球质量不同，其中大铁球的质量是小铁球的十倍，因此它们的体积也是不一样的，如果考虑空气阻力，那么两个铁球所受的空气阻力是否也应该不一样？
　　不同形状受空气阻力对比
　　没错，确实不一样，因为空气阻力与物体与空气的接触面、在空气中的速度、以及物体自身形状等因素相关，如果在速度相同的情况下，大铁球所受到的空气阻力自然是要比小铁球大的，那我们是否就能得出因为小铁球所受阻力小，因此小铁球会先坠地的结论呢？
　　并没有这么简单，一旦考虑除重力以外的力之后，那么铁球落地就必须考虑合外力，但好在这个问题所涉及的量比较好，关系也很明确，就是合外力=重力-空气阻力，之后利用牛顿第二定律就能给出加速度大小
　　现在我们再来看这个问题，虽然大铁球受到的空气阻力大，但它的质量大，受到的重力也更大；而小铁球受到的空气阻力小，但受到的重力也小啊，如此一来问题的关键就在于各铁球所受合外力与自身质量之比，也就是加速度大小的比较。
　　然而合外力是一个变量，因为空气阻力随着速度上升也在变大，大概的过程可以分为两个，一个是速度极小的情况下，空气阻力与速度成正比，之后速度上去了，那么空气阻力就与速度的平方成正比。
　　所以咱们干脆快刀斩乱麻，不要再去考虑哪个变大哪个变小（实际上如果单纯分析的话，也是可以的，毕竟球体的横截面与半径的平方成正比，而体积与半径的立方成正比，两球单位质量受到空气阻力是不一样的），直接列出相关方程求解就行了。
　　考虑到科普文章，咱们只放出一张公式图，如下
　　m为物体质量、g为重力加速度、k为空气阻力相关的系数，大小铁球的k值不相同、v是物体速度
　　就是一个简单的微分方程，剩下来的步骤就是不断的积分，借此咱们可以得到速度与时间的关系，路程与时间的关系
　　而最后得到的结论就是：大铁球先落地
　　那为什么比萨斜塔实验中是两球同时落地呢？原因很简单，因为比萨斜塔太矮了，50多米的高度，人的感官是没法感察觉两球先后落地的。
　　本篇文章的内容到此结束。
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