高中物理微专题引力半径和轨道半径

　　在万有引力提供物体做圆周运动的向心力的公式
　　中，万有引力公式和向心力公式中都有半径r，但是半径r表示的意义并不相同；前者表示的是引力半径，后者表示的是轨道半径；并且在很多情况下，引力半径与轨道半径的大小并不一定相等。下面就高中物理中涉及行星运动的圆轨道、椭圆轨道以及双星运动中的引力半径和轨道半径作一说明。
　　引力半径指产生万有引力的两个质点之间的距离；
　　轨道半径指物体做圆周运动时物体到圆心之间的距离。
　　1.行星运动——环绕天体绕中心天体作圆周运动
　　中心天体对环绕天体的万有引力完全提供向心力，即
　　此时引力半径和轨道半径相同。
　　2.行星运动——椭圆轨道
　　卫星在椭圆轨道上运动，引力半径是卫星到地球中心的距离，而轨道半径是该点的曲率半径（在一条曲线上的某点可以找到一个和它内切的圆，这个圆的半径就定义为曲率半径），此时引力半径与轨道半径不同。
　　3.双星运动
　　双星之间的万有引力提供各自做圆周运动的向心力，即
　　则此时引力半径是双星之间的距离，轨道半径是双星各自作圆周运动的半径；引力半径和轨道半径并不相同。
　　典型例题：
　　1.（2021·福建省福州第一中学高一期末）有a、b、c、d四颗地球卫星，a还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，b处于地面附近近地轨道上正常运动，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，设地球自转周期为24h，所有卫星均视为匀速圆周运动，各卫星排列位置如图所示，则有（　　）
　　A．a的向心加速度等于重力加速度g
　　B．c在4h内转过的圆心角是30度
　　C．b在相同时间内转过的弧长最长
　　D．d的运动周期有可能是20h
　　2.(2021·重庆市第三十七中学改编)冥王星绕太阳的公转轨道是个椭圆，公转周期为T，质量为m，其近日点A到太阳的距离为a，远日点C到太阳的距离是b，半长轴的长度为c，A、C两点的曲率半径均为ka（通过该点和曲线上紧邻该点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做该点的曲率圆，其半径叫做该点的曲率半径），如图所示。若太阳的质量为M，万有引力常量为G，忽略其他行星对它的影响及太阳半径的大小，求：
　　（1）冥王星在A点的速度大小：
　　（2）冥王星在A、C两点的速度大小之比。
　　3.（2022·全国·高三专题练习）宇宙中两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称为双星系统。设某双星系统A、B绕其连线上的某点O做匀速圆周运动，如图所示，AO OB，则（　　）
　　A．星球A受到的引力一定大于星球B受到的引力
　　B．星球A的质量一定大于星球B的质量
　　C．星球A的角速度一定大于星球B的角速度
　　D．星球A的线速度一定大于星球B的线速度
　　参考答案：
　　1.C
　　a卫星处于地面上，万有引力和支持力的合力提供向心力，则可以判断加速度小于g；则A错误；
　　b、c、d卫星在地球万有引力作用下绕地球作圆周运动，此时引力半径等于轨道半径；则
　　可知：
　　则可以判断c卫星4个小时转过的角度应该为60度，则B错误；b卫星的线速度最大，相同时间内转过的弧长最长，则C正确；d的轨道半径大于c的轨道半径，则d的周期大于24h，则D错误。选C。
　　2.卫星在作椭圆运动过程中，引力半径对应万有引力，轨道半径（曲率半径）对应圆周运动；（1）由题意可知，在A点，引力半径的大小为a，曲率半径的大小为ka；万有引力提供冥王星作圆周运动的向心力，则
　　则可知冥王星在A点的速度大小
　　（2）冥王星在C点引力半径变为了远地点到太阳的距离，即为b，C点曲率半径仍为ka；则由万有引力提供向心力可知
　　则可知冥王星在C点的速度大小
　　则可得冥王星在A、C两点的速度大小之比
　　3.D
　　星球A、B之间的万有引力提供它们做圆周运动的向心力，则引力大小相等；A、B两星做圆周运动角速度相等；则A、C错误；由万有引力提供向心力可知
　　又因为
　　则
　　即A的质量小于B的质量，故B错误；A的线速度大于B的线速度，则D正确。选D。