小乐数学科普数学家解决了几十年的分类问题译自量子杂志

　　作者：Steve Nadis 2021-8-5 译者：zzllrr小乐 2021-8-6
　　一对研究人员表明，试图对称为＂无扭阿贝尔群＂的数字群进行分类是非常困难的。
　　如果你对生长在特定地区的所有植物进行普查，而不是统计每一种植物，你可能会决定按物种组织它们。都灵大学数学家 Gianluca Paolini 说，在托斯卡纳海岸的某些地方这样做不会太困难，因为你会发现主要是一种植物——海松（pinus pinaster）。相比之下，如果你在亚马逊热带雨林中，试图找出在那里扎根的所有物种的名称和数量，你将面临更大的挑战。完全这样做很可能是不可能的。
　　数学家在试图理解数学对象的广阔景观时，可能会面临类似的挑战。对于描述性集合理论领域的从业者来说尤其如此，他们试图对分类问题的难度进行评级——有时会得出结论认为给定的分类任务相对容易执行，有时（就像亚马逊一样）发现它太难了。这门学科只是集合论的一个分支，研究对象的集合——它们可以是数字、图形、空间中的点、向量，任何东西——称为集合。实数、有理数、虚数等都是数学家们常研究的对象的集合。
　　几十年来，一个分类问题——涉及一组特定的无限大对象，称为无扭阿贝尔群（TFAB -Torsion-Free Abelian Groups ）——一直困扰着研究人员。这个问题最早是由数学家 Harvey Friedman 和 Lee Stanley 于 1989 年在一篇论文中提出的，根据 Paolini 的说法，＂介绍了一种对可数结构分类问题难度进行比较的新方法，表明有些事情比其他事情更复杂。 ＂
　　如今，在今年早些时候在线发布的一篇论文中，Paolini 和他的前博士后导师、耶路撒冷希伯来大学的 Saharon Shelah 终于解决了有关 TFAB 的问题。
　　＂这无疑是一篇重要的论文，它解决了 30 多年前的一个老问题，＂加州理工学院的 Alexander Kechris 说。
　　都灵大学的 Gianluca Paolini（上）和耶路撒冷希伯来大学的 Saharon Shelah （下）已经回答了几十年前的问题，即对某些被称为无扭阿贝尔群的数学对象进行分类是多么困难。
　　＂[他们的策略显示]在将复杂问题转化为更简单的问题方面具有难以置信的聪明才智，＂马里兰大学的 Chris Laskowski 补充道，他与 Shelah 合作了大约 12 篇论文（尽管不是这一篇）。 ＂许多人尝试过但没有成功。能解决这个问题真是太好了。＂
　　对无穷大计数
　　由于 Friedman 和 Stanley 提出的问题涉及一类无限可数的结构，因此有助于理解数学家如何处理这些看似笨拙的数量。首先，结构集合＂可数＂意味着什么？自然数 (0, 1, 2, 3 ...) 是无限的，但仍被认为是可数的，原因与它们有时被称为计数数的原因相同。如果你按顺序说出这些数字，他们几乎会数出自己个数。 （当然，你会花上一段时间。）自然数集合中的元素数，或者它的＂基数＂，被标记为 aleph-0。数学家认为任何与自然数的无限集大小相同的集合也是可数的。
　　相比之下，实数——包含了自然数以及有理数和无理数——也是无限的，但它们被归类为不可数。主要原因是它们实在是太多了：我们从 1800 年代后期就知道，塞在 0 和 1 之间的实数比所有自然数加起来还要多。换句话说，并非所有无穷大都生而平等，有些比其他的要大。实数集比自然数具有更大的基数，因为它们更多。任何可数的集合要么是有限的，要么是无限的，而如果是无限的，则其基数为 aleph-0。
　　那么数学家可以用这些想法做什么呢？ Friedman-Stanley 的论文以及 Paolini 和 Shelah 的新工作重点关注结构之间的等价关系——称为同构（isomorphism） 。例如，让我们考虑两个无限但可数的数字群：
　　… −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 …
　　… −6, −4, −2, 0, 2, 4, 6 …
　　第一组由整数组成； 第二个仅由偶数组成。 这两组彼此同构，因为它们具有相同数量的元素，也就是说它们的无穷大是相同的。 并且一个群中的每个元素都对应于——或者，正如数学家所用的术语，＂映射到＂——另一群中的一个元素。 此外，用于从一个群映射到另一个群的函数还必须保留群的运算和属性（例如加法结合律）。
　　什么是同构（isomorphism ）?
　　尽管某些数学结构是本性是无穷的，仍能够研究它们，并与其他对象比较，判断是否同构或粗略认为相等。
　　例1：数字集合
　　整数集合与偶数集合同构。一个集合的元素与另一个集合的元素一一对应。两个集合有相同多的无穷大数量。
　　例2：图
　　同构图的顶点之间一一对应。且一个图中的两个顶点通过一条边相连，则另一个图中，相应两个顶点也被一条边连接。
　　像这样的同构群并不等同，因为它们没有相同的元素，但它们确实具有平行结构：一个群中的每个元素都与另一个群中的单个元素直接对应。函数可以将第一个结构转换为第二个结构，如上例所示，只需将第一个结构的每个元素乘以 2。同构结构具有 Paolini 所说的＂相同形状＂（如果不是内容完全相同）。
　　＂说两个结构是同构的意味着它们本质上是相同的，＂Laskowski 说。 ＂你可以有一个红色的或一个蓝色的，但从深层次而言，它们是一样的。＂
　　这种同构的概念是这个几十年前问题的核心。
　　复杂程度有多复杂？
　　在他们 1989 年的论文中， 弗里德曼（Friedman）和斯坦利（Stanley）主要想知道一件事：给定一个可数结构族——无论它们是否数字无限群（如上面提到的整数）还是图（可以通过边连接的各种各样的顶点）——找出该族中的对象是否彼此同构有多难？
　　弗里德曼和斯坦利举出的一个案例涉及一系列图，每个图都有无限（尽管可数）的顶点数。对于要标记为同构的两个可数图，一个图中的顶点和另一个图中的顶点之间必须再次存在一对一的对应关系。如果一个图中的两个顶点由一条边连接，则另一个图中相应的顶点也必须由一条边连接。
　　弗里德曼和斯坦利表明，回答两个可数图是否同构的问题是极其复杂的——极可能地困难。这使所有可数图的族都成为＂Borel 完备的＂。 （两人在 1989 年的论文中创造了这个术语，因为他们依赖于由数学家Émile Borel（ 埃米尔·博雷尔）设计的所谓的博雷尔函数。）
　　弗里德曼和斯坦利接着想知道：还有哪些类别的可数对象是 Borel 完备的？拉斯科夫斯基说，这个简单的问题＂是描述性集合论的核心主题之一。＂
　　从那以后的几年里，弗里德曼、斯坦利和其他人已经确定了几类满足 Borel 完备性标准的数学对象，包括树——一种简化的图——和线序，一组数字（自然或实数），字面上是顺序排列，就像数轴上的数字一样。
　　但在 1989 年的论文中考虑的许多不同情况中，只有一个——关于上述无扭阿贝尔群——拒绝通过同构进行分类。为了一步一步地描述这个令人生畏的术语，TFAB 群从根本上说是数字的群。每个 TFAB 由遵循某些群规则的实数的可数子集组成，例如在加减下封闭（因此对于该群中的任何数字 p 和 q，p + q 和 p - q 也出现在群中）。它还遵守交换律（意味着 p + q = q + p），这是阿贝尔群的标志。最后，术语无扭转（torsion-free ）意味着如果 g 是群中的非零元素，则 g + g 永远不能等于零，g + g + g 也不能，g + g + g +g 也不能，依此类推。
　　Shelah 说，30 年来，数学家一直想知道：＂如果我们有两个 [可数] 无扭阿贝尔群，我们问它们是否同构，这是一个简单的问题，一个中等难度问题还是最难的问题？＂
　　Kechris 说，在 Friedman-Stanley 论文中提出的所有问题中，这个问题解决的时间最长。 ＂所以说它最具挑战性是合理的。＂在它产生效果之前需要一种新的方法。
　　Shelah 和 Paolini 终于在今年早些时候找到了突破的方法。
　　跨结构转换
　　他们通过使用经典数学家的技巧做到了这一点：将一个顽固的问题简化为一个更易于驾驭的问题。如果他们能够证明 TFAB 与另一个已知的 Borel 完备结构族（例如可数图族）一样复杂，那么将证明 TFAB 也是如此。 ＂如果你想知道一个人是否是世界上最高的人，有什么聪明的方法呢？＂Paolini问道。 ＂与其和地球上的每个人都核对，不如去找被认为最高的人，看看谁更高。＂
　　Shelah 解释说，在决定使用可数图作为衡量标准后，他们面临着关键的下一步：创建一个函数（具体来说是一种 Borel 函数），它可以＂将一个图转换成一个无扭阿贝尔群＂。他们的函数需要接受一个图作为它的输入并产生一个 TFAB 作为它的输出，在这个过程中将信息从图传递到群。更具体地说，函数 f 必须满足以下关系： 两个可数图 G 和 H 彼此同构当且仅当 f(G) 和 f(H) 是可数的 TFAB，它们也彼此同构。
　　这项任务并不容易，因为他们没有可用的＂技术＂来连接如此不同的数学对象。他们不得不为这个问题发明它。
　　＂整个游戏归结为构建这个函数，＂Laskowski 说。 ＂这就像比较苹果和橙子。图和群没有相同的词汇。因此，在这种情况下，你所做的就是创建对应。＂
　　再说一次，他们真的是在比较无限群的苹果和无限群的橙子。幸运的是，Shelah 说，他们找到了一种简化事情的方法。 ＂你可以[使用]一个通用的图而不是处理所有的图＂——一个非常庞大的图，它的子图，其中包含较小的图，包括所有可能的可数图。
　　两个TFAB是同构的吗？
　　问题：判定两个无扭阿贝尔群（TFAB）是否同构的困难程度如何？
　　策略：将TFAB与另一结构比较，例如可数图（其同构性我们已经知道极其困难）
　　解：因为数学家已经知道可数图族同构性极其复杂，那么可数TFAB族也必有这种困难性。
　　Laskowski 说，这是一个令人印象深刻的策略。 ＂我不会直接尝试解决这个问题，这会涉及大量的图和群，我只会选择这个母可数图，每个可数图都出现在它的保护伞下。＂
　　通过这种方式，Paolini 和 Shelah 能够构建必要的函数，从而证明图和 TFAB 处于一种平等的地位。 ＂我们找到了一种将无扭阿贝尔群与图相关联的方法，以便保留同构，＂Paolini 说。
　　并且由于数学家已经知道可数图族是 Borel 完备的——也就是说，在同构方面是最复杂的——这意味着可数 TFAB 族也必须是 Borel 完备的。他们终于有了答案。
　　新丛林探索
　　这个结果会导致更​普遍的事情吗？ ＂这还有待观察，＂Kechris 说，＂但很有可能。＂
　　事实上，Paolini 和 Shelah 已经在考虑推广他们的结果。 Shelah 说，在解决了可数 TFAB 的情况后，他们现在正在研究更大的不可数 TFAB 群，它们＂可能有不同的答案＂。
　　有理由认为他们可能会发现。 ＂Shelah 有一个理论，＂Laskowski 说，＂当你将某些问题推到更高的基数时，某些问题会变得更容易＂——更高的无穷级——因为当数字变得非常大时，重要数字之间的距离会增加，比如质数和整数的平方。结果，Shelah 告诉 Laskowski，＂空气变得更清新＂，这可能使数学家更容易看清事物。
　　与此同时，他们关于可数 TFAB 的论文已经具有一些直接的实际意义。 ＂我们现在知道你的能力受到限制，＂Shelah 说。例如，你永远找不到这个群族的区别属性（称为不变量），它会自动告诉你两个 TFAB 是否同构。这是可数 TFAB 集合是 Borel 完备这一事实的直接结果。
　　＂我们证明根本没有简单的方法来确定 [同构]，＂Paolini 说。 ＂没有回旋的余地。极可能地困难。＂
　　这是有用的知识，因为寻找不变量是数学家的主要关注点。 ＂这有点像说人们不应该花很多时间来尝试发明永动机，＂Shelah 说，＂鉴于我们现在知道这样的机器无法制造。＂
　　展望未来，数学家可能会发现其他类别的无限可数结构，例如图和 TFAB，它们在确定同构时最为复杂。 同样，Paolini 说，＂可以想象，我们可以在地球上找到其他像亚马逊一样复杂的丛林。＂ 但在这个类比中当然没有比这更复杂的了。
　　仅仅知道这个事实，并且知道 TFAB 极可能地复杂，就可以将分类学家和描述性集合理论家关心的图景进行简化或去复杂化。