42分钟横穿地球，1天17个来回，这条隧道究竟应该怎么修？

　　《流浪地球》火了，刘慈欣的其它作品 也被陆续挖了出来，《地球大炮》中有这样一段对话：这是一条贯穿地球的隧道。
　　＂它是走切线，还是穿过地心？＂沈华北问，只是思维以语言的形式冒了一下头。
　　＂聪明的头脑，这么快就想到了！＂邓洋惊叹道。
　　＂很像他儿子。＂有人跟着说，听上去可能是中部断裂灾难留下的孤儿。
　　＂是穿过地心，由中国的漠河穿过地球到达南极大陆的最东端南极半岛。＂邓洋回答沈华北说。
　　＂刚才那座城市是漠河？！＂
　　＂是的，它因作为地球隧道起点而繁荣起来。＂
　　＂据我所知，从那里贯穿地球应该到达阿根廷南部。‘’
　　＂不错，但隧道有轻微的弯曲。＂
　　＂既然隧道是弯曲的，我会不会撞上井壁呢？＂
　　＂如果隧道笔直地直达阿根廷，你倒是肯定会撞上，那种 笔直的地球隧道只有在贯穿两极之间的地轴上才能实现，这种与地轴成一定角度的隧道必须考虑地球的自转因素，它的弯曲正好能让你平滑地通过。＂
　　＂呵，伟大的工程！＂沈华北由衷地赞叹道。
　　不知道各位小伙伴们有没有为这样的奇思妙想而感到赞叹呢？老郭作为一个物理系的毕业生，看完这段文字，除了跟大家一样的惊叹刘慈欣的脑洞以外，更想知道的是，这种事情在理论上的可行性。接下来我们就来考虑一下这个超级工程的理论支持。
　　图1 贯穿地球的隧道想象图一、确定边界条件
　　虽然不想对实际的工程问题进行讨论，但是在正式进入话题之前，这是我们无法绕开的问题。面对真实的、摆在我们面前的地球，我们应该如何去挖这个洞？除了假设我们有能力挖这个洞，我们别无他法。现在让我们做进一步的假设：
　　第一、假设地球在公转轨道上的运动是惯性运动。地球在公转轨道上的运动并不是完全的惯性运动，除了太阳的引力潮汐作用，地球更受到月球引力潮汐的影响。无奈啊，多体运动现在连天文学家都解决不了，我这里也就放弃了，只能做如此假设。
　　第二、假设地球是一个均质刚体。地球并不是一个均质刚体，地球不同底层之间密度差异很大，现在的科学界针对地球不同层次的密度模型也只是一个（假说）还远没有达到可以百分百确定的程度。
　　第三、不考虑地心温度问题。如果真能打通这样一条隧道，这是必须要考虑的问题。什么样的材料能抵抗那样的温度而不损坏，这其实是个大问题，但现在为了做进一步的理论计算，我们只能将之忽略。
　　第四、不考虑空气阻力。如果我们真的有能力修建这样一条隧道，我想抽成真空也是必须要做的事情，这样可以进一步减小空气阻力，增加这条隧道的通过能力。
　　图2 建立地球坐标系二、物理过程分析
　　一个质点m在自转的地球通道中运动，我们可以把地球的公转近似看做是惯性运动，所以我们选择地球作为参照物，此时质点m受到地球的引力、科里奥利力（图3）和惯性离心力的共同作用。这里我们要特别说明一下科里奥利力和惯性离心力之间的区别：
　　1、只有运动物体才会受到科里奥利力，而惯性离心力不管物体运动还是静止都有；
　　2、方向不同，惯性离心力方向是从物体所在位置自转的小圆圆心指向物体所在位置，方向一般有垂直于地表向上的分量；科里奥利力方向是垂直于运动方向，如果物体沿地表运动，科氏力平行于地球表面；
　　3、效果不同，惯性离心力抵消了一部分重力，使得重力略微改变大小和方向。科里奥利力使得运动物体会发生横向偏移或造成圆周运动，或造成运动物体对阻碍其横向运动的物体的作用力。
　　图3 科里奥利力示意图三、数学建模
　　有了前面的假设，我们的项目总算是可以开工了。现在可以把物理模型描述为：质点m在地球内部真空通道中的运动。那么我们要面对的第一个问题是我们要从哪开挖，然后去哪的问题。为了考虑我们计算的通用性，还有我们国家的实际地理位置，我觉得，在北纬45度线上选一个点还是比较适合的。而且，这样的计算更具有代表性。
　　我们结合前面的假设，首先以地球为参照物，建立三维质心坐标系（见图2），通过建立这个坐标系，我们就可以利用数学工具，对质点m的运动过程进行定量分析。
　　图4 质点m受力及相关公式
　　质点m在地球内部受到地球的引力（图4-1）、科里奥利力（图4-2）和惯性离心力（图4-3）的共同作用则可以有公式（图4-4），其中沿着三个轴不同的力的分量为（图4-5）。我们带入北纬45°这个初始条件可以得到公式（图5）
　　图5 北纬45°质点m初始条件四、质点m的运动轨迹函数
　　可能很多同学看到这里都以为，我会去求出方程中的数值解，其实这里面完全可以先把公式（图4-5）中看作是一个四阶矩阵方程，然后套用一下傅科摆的解法。我是不建议解方程的形式的，因为求出这种解析解需要很高的精度，如果我们的计算精度不高，误差太大，最后的方程就没有什么参考意义。所以我选择的方式是求出质点m的位置与纬度关系的运动函数，此处我略去了中间的变换过程，得到质点m在x轴和y轴上的投影函数，如图6。
　　图6 质点m轨迹函数
　　从这个公式中我们可以看出，质点m在x轴，y轴平面上的投影就是一个闭合的椭圆运动与一个圆周运动的叠加，而在z轴方向上就是一个简谐振动，质点m的轨迹是这三个运动的叠加。五、在不同纬度挖隧道的情况分析
　　可能这个是大家最想知道的内容吧。我们从上面质点m的运动函数可以看出：质点m穿越的这条地球隧道是一条弧线弯曲的隧道，出口和入口并不是地球上对应的两个点，隧道的弯曲程度，跟隧道入口的纬度有关，当纬度为0时，即在赤道位置挖掘入口时，弧线最大，在地球自转轴的极点处挖隧道就是一条通过地心的笔直隧道。图7为隧道形状参考图。
　　图7 地球内部隧道示意图六、穿越通道需要的时间
　　其实这个是最容易计算的，我们用质点m在x轴和y轴上做椭圆运动的角频率除以地球自转的角频率就可以得到这两种运动的周期之比。然后我们再用一天24小时除以这个周期就能得到质点m完成一个周期运动的时间，我们再将这个时间除以2，就得到了质点m从入口进入到达出口的时间。计算过程见图8。
　　图8 周期和穿越地球隧道时间计算
　　我们从图8的计算中可以看出，从质点m从入口进入到达出口大约需要42分钟，一天内大约是17个来回。总结
　　我们关于在地球上挖出一个贯穿隧道的问题就分析完了，从我们的分析中可知：不论在什么纬度挖穿地球，穿过这条通道的时间都是一样的，大约是42分钟；另外这条通道应该是一条偏离地心弯曲的弧线。当然了，这样的大工程什么时候能实现，还得看我们基建狂魔的本事了，咱们要说不行，地球人也就挖不出来。让我们一起期待，这条穿越地球的隧道早日完工吧。
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