圆是数学中优美的图形,具有丰富的性质。由于其图形的对称性和完美性,很多与圆有关的问题都可以运用圆的图形性质,利用数形结合求解。 而圆中的最值问题综合性较强,有一定难度,在中考为热点难点题型,经常出现,下我们就来总结一下这类问题的一般解法。 策略一:利用直径是圆中最大的弦 1.(2020秋•东台市期中)如图,AB是⊙O的一条弦 ,点C是⊙O上一动点,且∠ACB=30°,点E、F分别是AC、BC的中点,直线EF与⊙O交于G、H两点,若⊙O的半径为8,则GE+FH的最大值为( ) A.8 B.12 C.16 D.20 【解答】:连接OA、OB,如图所示: ∵∠ACB=30°,∴∠AOB=2∠ACB=60°, ∵OA=OB,∴△AOB为等边三角形, ∵⊙O的半径为8,∴AB=OA=OB=8, ∵点E,F分别是AC、BC的中点,∴EF=1/2AB=4, 要求GE+FH的最大值,即求GE+FH+EF(弦GH)的最大值, ∵当弦GH是圆的直径时,它的最大值为:8×2=16, ∴GE+FH的最大值为:16﹣4=12. 故选:B. 策略二:过圆内一点的弦中,与过该点的直径垂直的弦最短. 2.(2020秋•沭阳县期中)如图,在平面直角坐标系xOy中,以原点O为圆心的圆过点A(13,0),直线y=kx﹣3k+4(k≠0)与⊙O交于B、C两点,则弦BC的长的 最小值为_______. 【解析】:连接OB, ∵直线y=kx﹣3k+4必过点D(3,4), ∴最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦, ∵点D的坐标是(3,4), ∴OD==5, ∵以原点O为圆心的圆过点A(13,0), ∴圆的半径为13,∴OB=13, ∴BD==12, ∴BC=2BD=24, ∴BC的长的最小值为24; 故答案为:24. 策略三:弓形上的点到弦的距离中,最大距离是该弧的中点到弦的距离(或者过圈心的一条垂线段). 3.(2011•南昌中考题)如图,已知⊙O的半径为2,弦BC的长为2√3,点A为弦BC所对优弧上任意一点(B,C两点除外). (1)求∠BAC的度数; (2)求△ABC面积的最大值. (参考数据:sin60°=√3/2,tan30°=√3/3.) 【解析】(1)连接OB、OC,作OE⊥BC于点E,由垂径定理可得出BE=EC=√3,在Rt△OBE中利用锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值可求出∠BOE的度数,再由圆周角定理即可求解∠BAC=60°; (2)因为△ABC的边BC的长不变,所以当BC边上的高最大时,△ABC的面积最大,此时点A落在优弧BC的中点处. 策略四:如图,若点P不在OO上,射线OP交圆O于M,射线OP的反向延长线交OO于N,则点P到圆上各点中,PM的长最小,PN的长最大。 4.如图,⊙O的直径为4,C为⊙O上一个定点,∠ABC=30°,动点P从A点出发沿半圆弧AB向B点运动(点P与点C在直径AB的异侧),当P点到达B点时运动停止,在运动过程中,过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点. (1)在点P的运动过程中,线段CD长度的取值范围为_____-. (2)在点P的运动过程中,线段AD长度的最大值为______. 【解析】:(1)如图1中, ∵AB是直径,∠ABC=30°,AB=4 ∴∠ACB=90°,∠A=∠P=60°,AC=2, ∵CD⊥PC, ∴∠PCD=90°,CD=PC•tan60°, ∵PC的最小值=AC=2,PC的最大值为直径=4, (2)如图2中, ∵在Rt△PCD中,∠PCD=90°,∠P=60°, ∴∠PDC=30°, ∴点D在以BC为弦的⊙O′(红弧线)上运动, ∴当A、O′、D共线时,AD的值最大.连接CO′、BO′. ∵∠BO′C=2∠CDB=60°,O′C=O′B, ∴△O′BC是等边三角形, 策略五:如下图,直线L与圆O相离,线段OP⊥L,垂足为P,交O0于点M,PO的延长线交圆O于点N,则圆O上各点到直线L的距离中,最小距离是PM的长,最大距离是PN的长. 5.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(6,0),点B(0,6),动点C在以半径为3的⊙O上,连接OC,过O点作OD⊥OC,OD与⊙O相交于点D(其中点C、O、D按逆时针方向排列),连接AB. (1)当OC∥AB时,∠BOC的度数为_______; (2)连接AC,BC,当点C在⊙O上运动到什么位置时,△ABC的面积最大?并求出△ABC的面积的最大值. 【解析】(1)根据点A和点B坐标易得△OAB为等腰直角三角形,则∠OBA=45°,由于OC∥AB,所以当C点在y轴左侧时,有∠BOC=∠OBA=45°;当C点在y轴右侧时,有∠BOC=180°﹣∠OBA=135°; (2)∵△OAB为等腰直角三角形, ∴AB=√2OA=6√2, ∴当点C到AB的距离最大时,△ABC的面积最大, 过O点作OE⊥AB于E,OE的反向延长线交⊙O于C,如图,此时C点到AB的距离的最大值为CE的长, 策略六:直线L与半径为r的圆相离,圆心O到直线L的距离为d,点P为直线L上任意一点,PA与圆O相切于点A,则PA的最小值是,此时∠OPA最大. 6.如图,在Rt△AOB中,OA=OB=3√2,⊙O的半径为1,点P是AB边上的动点,过点P作⊙O的一条切线PQ(点Q为切点),则切线PQ的最小值为______. 【解析】:连接OP、OQ. ∵PQ是⊙O的切线, ∴OQ⊥PQ; 7.(2020秋•宜兴市期末)如图,在矩形ABCD中,CD是⊙O直径,E是BC的中点,P是直线AE上任意一点,AB=4,BC=6,PM、PN相切于点M、N,当∠MPN最大时,PM的长为______. 【分析】先判断出OP⊥AE时,∠MPN最大,判断出△ABE≌△GCE,求出CG=4,再用勾股定理求出AE=5,再判断出△ABE∽△GPO,求出OP,最后用勾股定理求解,即可得出结论. 【解答】:如图1,∵四边形ABCD是矩形, ∴CD=AB=4, 连接OP,OM, ∵PM,PN是⊙O的切线, ∴∠OPM=1/2∠MPN, 要∠MPN最大,则∠OPM最大, ∵PM是⊙O的切线, ∴∠OMP=90°, 在Rt△PMO中,OM=OD=1/2CD=2, ∴sin∠OPM=OM/OP=2/OP, ∴要∠OPM最大,则OP最短, 即OP⊥AE, 如图2,延长DC交直线AE于G, ∵四边形ABCD是矩形, ∴∠B=90°=∠ECG,AB∥CD, ∴∠BAE=∠G, ∵点E是BC的中点, ∴BE=1/2BC=3, ∴△ABE≌△GCE(AAS), ∴CG=AB=4, ∵CD是⊙O的直径, ∴OC=1/2CD=2, ∴OG=OC+CE=6, 在Rt△ABE中,AB=4,BE=3, ∴AE=5, ∵∠OPG=90°=∠B,∠G=∠BAE, ∴△ABE∽△GPO, 策略七:弦与弦心距的关系:弦心距越大,弦越小;弦心距越小,弦越大。 弓形的弦与所对的圆周角的关系:圆周角越大,所对的弦越大。 策略八:利用将军饮马模型 9.(2014•张家界中考题)如图,AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦,AB=8,CD=6,MN是直径,AB⊥MN于点E,CD⊥MN于点F,P为EF上的任意一点,则PA+PC的最小值为______. 【分析】A、B两点关于MN对称,因而PA+PC=PB+PC,即当B、C、P在一条直线上时,PA+PC的最小,即BC的值就是PA+PC的最小值 【解答】:连接OB,OC,作CH垂直AB于H. 不难发现,中考考题考的不是难度,而是思维。知识是载体,素养是目标。通过如此专题复习课中,我们除了要求学生掌握基本知识、基本技能之外,还需要学生掌握基本的数学思想,积累活动经验,因此我们需要一题多解、一题多变,并让学生注意一些比较相似的题目的区别与联系,避免就题讲题,让学生陷入题海战术。 因此,需要教师在课堂中与学生一起进行总结。构建完整的知识体系,务必灵活地运用知识解决实际问题。把复习的重点知识与解题的方法进行总结提升,让学生慢慢具备触类旁通、上下贯通的能力。