浅谈艾尔布朗语义下的真谓词

　　塔斯基提出了一阶语言的一种解释，这种解释允许使用任何个体对象作为变元的取值，不同的变元或常元可能以相同的对象作为它们的解释。这种解释现在已成为一阶语言的标准解释，被称为塔斯基语义。在塔斯基提出这种语义之前，法国逻辑学家艾尔布朗在对其基本定理（现称为艾尔布朗定理）的证明中，事实上也对一阶语言提出了一种解释。工在这种解释中，变元的取值只能是一阶语言中的项，各个项的解释就是项本身（因而，不同的项特别地，不同的变元或常元必定被解释为不同的对象）。这种解释现在称为一阶语言的艾尔布朗语义。
　　从表面看来，艾尔布朗语义仅仅是塔斯基语义的一种特殊情形。因此，虽然艾尔布朗定理是一阶逻辑中最基本的结果之一，但是艾尔布朗语义本身似乎并没有引起逻辑学家足够的重视。美国斯坦福大学的T。Hinrichs和M。Genesereth教授在文中的研究表明，艾尔布朗语义与塔斯基语义在可判定性、逻辑后承关系等方面是不同的。
　　上述种种差异自然是由不同语义解释造成的。一阶语言中任何概念只要依赖于语义都可能会在塔斯基语义和艾尔布朗语义下有所不同。而真谓词作为语义中最基本的概念之一自然会被纳入到上述两种语义的框架之内。真谓词在艾尔布朗语义下是否具有不同于塔斯基语义中的表现呢？这个问题似乎在文献中还没有得到深入的研究，本文就是要想对这一问题进行初步的探索，指出艾尔布朗语义下的真谓词概念确实是值得注意的。
　　一、艾尔布朗语义
　　一阶语言中的初始符号、项、公式等句法对象一如往常规定。需要补充的是，为了使艾尔布朗语义不至于过于平庸，这里约定一阶语言中个体常元不空。注意，一阶语言中的语句指的是闭公式，即不含自由变元的公式。
　　我们知道，在塔斯基语义中，为了能对语句进行赋值，必须给出一定的模型对语句中的非逻辑符号做出解释，同时还必须通过指派对变元指定对象。这里主要的麻烦在于，虽然语句的赋值独立于指派，但是一般情况下，必须在模型和指派下对所有的公式进行赋值，然后才能在模型下对语句进行赋值。艾尔布朗语义就不存在这样的问题，我们可以直接对语句进行赋值。
　　相应于上述可满足概念，可规定逻辑后承。如果任何满足语句集叉的艾尔布朗模型也一定满足语句A，那么就称A是叉的一个逻辑后承，又可称叉衍推出A。为明确起见，艾尔布朗模型下的可满足及逻辑后承概念加前缀，而塔斯基语义下的可满足及逻辑后承概念加前缀。
　　如文所指出，在塔斯基语义下，一阶公式的可满足性是半可判定的，但在艾尔布朗语义下，一阶公式的可满足性不是半可判定的；在塔斯基语义下，逻辑后承关系具有紧致性，但在艾尔布朗语义下，逻辑后承关系不具备紧致性；在塔斯基语义下，自然数结构中的真语句是不能有穷可公理化的，但在艾尔布朗语义下，自然数结构中的真语句是有穷可公理化的。
　　二、塔斯基T模式
　　下面转入本文的主题：艾尔布朗语义下的真谓词。为此，先规定皮亚诺算术的一个形式语言，其中除等词外，还含有二元谓词、三元谓词、一元函数符S以及个体常元0。注意，在艾尔布朗语义下，因为只有那些完全相同的项才是相等的，所以不能使用函数符来表示加法和乘法运算（不然的话，甚至如000这样的语句在艾尔布朗语义都是不可满足的）。在L、中添加一元谓词T得到的语言记为L。这个语言就是我们考虑真谓词的一阶语言。除非特别声明，以下所说项、公式等皆指L中的项、公式。用记号A表示公式A的哥德尔数。
　　为了便于比较，下面采用L的标准的塔斯基语义与艾尔布朗语义双线并进的方式逐步探讨相关问题。首先，L的标准塔斯基语义解释是自然数结构以自然数集作为论域，以自然数集上的小于关系作为的解释，以满足有序组构成的集合作为Add的解释，以满足的有序组构成的集合作为Molt的解释，以后继关系作为S的解释，以自然数0作为解释。
　　把语义解释的范围扩大到鱿中，在塔斯基语义中，N被认为是L的底模型，除此之外，还需要对一元谓词T做出解释。当然，T的解释必定是自然数集N的某个子集，设为X。由此，就可以对鱿中所有语句进行赋值，赋值的规定如常，细节略去。下面使用X、A表示语句A在N与X构成的解释中为真。特别地，X当且仅当A属于X。
　　这里，T不是一个普通的谓词符，而是用来表示真谓词的符号。那么，什么时候T才能被视作是真谓词呢？按照塔斯基的思想，唯有下一模式对某个语言中的每个语句A都成立，才能认为T是该语言的真谓词：TA当且仅当AC。此模式就是著名的塔斯基T模式。X作为T的解释，很自然应当包含且只包含鱿中所有在N与X构成的解释中为真的语句。换句话说，式子（C1）应对L中每个语句A成立，只有这样，T的解释X才被认为是L｝。的真谓词。这样，把入代入到式子（1）中会导致矛盾。这个结论常被称为塔斯基定理，而证明中所用语句入因它断定它自己不真，故相当于说谎者语句。
　　接下来转入L的艾尔布朗语义。首先，M是艾尔布朗语义中L的底模型。然而，这个模型也可看作是L的真正意义上的一个模型，其中因为不含任何T形式的语句，因此谓词符T实际被解释为某种空谓词。一般而言，我们会考虑这样的模型M，它包含M，同时还包含了某些Tt形式的语句。在模型M下，对公式A规定相应的赋值：当且仅当项作为符号串完全相同；当且仅当T属于M。当且仅当属于M型的原子公式类似规定，当且仅当对任何闭项其他如命题联接词型或存在量词型语句类似规定。
　　这里顺便指出，艾尔布朗语义下的塔斯基T模式与塔斯基语义下的T模式似乎并无太大的区别，但是对于所提出的T模式的一个推广，情况似乎并不明了，究竟如何在艾尔布朗语义下表达T模式的这个推广似乎是值得深入研究的问题。
　　三、亚布鲁悖论
　　根据前一节的比较，可以看出塔斯基T模式在L的艾尔布朗语义下的表达类似于在L的标准塔斯基语义下的表达，而塔斯基定理作为一个纯粹的语义学定理，在艾尔布朗语义下同样成立。所有这些都不会令人惊奇，因为L的艾尔布朗语义与标准的塔斯基语义本来就是相当接近的。然而，它们的差异是存在的。一个最明显的差异就反映在L的艾尔布朗语义与非标准塔斯基语义上。美国逻辑学家亚布鲁在文中提出了以他名字命名的悖论。这个悖论含有可数无穷多个语句：每个语句都断定它后面的每个语句都不真。
　　现在，使用哥德尔算术化的方式不难在语言鱿中对任意自然数。，寻找到语句Y，使得Y在PA中等价于语句。注意，这里表示把，对应的数字代入到Y中得到的公式的哥德尔数字。这实际上相当于把亚布鲁悖论形式化到了鱿中，以后就用语句集｛Yfin）In是自然数｝表示亚布鲁悖论。我们考虑语句集是自然数与是自然数的并集，记这个集合为Y。
　　在L的艾尔布朗语义下，情况就有所不同。问题出在艾尔布朗语义中个体对象仅仅包含L中的闭项，而没有哪个闭项能够表达非标准模型中的非标准元。因而，在艾尔布朗语义下，没有任何模型能满足语句集Y。这一点与先前提到的H逻辑后承不满足紧致性相关。事实上，不难看出是自然数的H逻辑后承，但它却不是后者的T逻辑后承。我们再次看到，H逻辑后承要强于T逻辑后承。因而，Y可H衍推出逻辑矛盾，而不能T衍推出矛盾，就是在意料之中的了。
　　四、语言层次
　　众所周知，为了突破塔斯基定理的限制，塔斯基本人采用了语言分层的方式来规定真谓词。事实上，仅需把T解释为L中所有在N中为真的语句的哥德尔数构成的集合X，则式子一定对中任意语句A都成立。在这个意义上，鱿虽然不能含有它自身的真谓词，但是它包含L、的真谓词。L因而被称为几的元语言。
　　分层的想法同样适用于艾尔布朗语义。回到先前提出的艾尔布朗语义中鱿的底模型M。注意，M中不含任何带真谓词符的语句，因此T在M中实际被解释为空谓词。但是，若规定M，是M与所有使得MHA成立的语句TA的并集，则对鱿的任意语句A，都有：当且仅当MA。特别地，对L的语句，当且仅当MA。因此，同样包含了这样的T，它被解释为L、的真谓词。
　　对语言进行分层规定真谓词的做法历来为学者所垢病，其中毛病之一如克里普克指出，这种做法无法对超穷的层次进行规定。克里普克批评的要点在于超穷层次要求对之前层次的真谓词外延进行累积，但真谓词的外延累积会导致矛盾。这一点是熟知的事实。此处，我们说明类似的累积在艾尔布朗语义也同样导致矛盾，甚至无需等到超穷层次，这种矛盾在第二层次就会产生。
　　能使层次一直进行下去的办法主要有两种，一种是按克里普克的归纳构造方法，修改模型上的赋值引入真值空缺另一种就是按古普塔和赫兹伯格的修正理论，在构造模型的时候不进行累积只进行修正和。本文限于经典逻辑，所以只考虑第二种办法。
　　五、结论
　　前面的分析总结起来，有以下几点：塔斯基T模式在艾尔布朗语义中的表达类似于塔斯基语义中的表达，而且使用说谎者悖论同样能够在艾尔布朗语义中得到塔斯基定理；亚布鲁悖论在塔斯基非标准模型中可以得到满足，但是在艾尔布朗语义中却是不可满足的；语言分层的思想在（经典）塔斯基语义中。阶段一般情况下不能继续，但在艾尔布朗语义中甚至到第二阶段就不得不终止。
　　可以看到，艾尔布朗语义下的真理论与塔斯基语义下的真理论既有共通之处，又有某些让人感兴趣的差异。当然，这个对照分析还比较初步，我们主要的目的是抛砖引玉，希望引起读者注意，艾尔布朗语义下的真理论本身还是有许多问题值得考虑的。