2021年阿里巴巴全球数学竞赛预选赛第一题的详细分析
题目如下图:
竞赛题
对于题目的理解,
首先,对一大批聚焦在留观区的人员围绕着一个圆排队,并对人员编号以及配发号码,
比如张三的号码为1,李四为2,王五为3...
奇葩的数学家制定了一个奇葩的规定,人与人之间必须保证足够的安全距离。
编号为m,n的两个人所围成的劣弧dmn(所谓劣弧就是圆在的两个点所组成的圆周角比较小的圆弧),与两个人的编号之和满足下述关系式:
,
什么意思呢?
比如,编号为1的张三和编号为2的李四相邻,那么两者之间的劣弧长度d12与编号之和(1+2=3)之间的关系为: ,
即劣弧长度d12>=1/3,如下图:
编号为1和2的人员的距离示意图
对题目的错误理解
题目没有对排队的方式进行任何限定,比如限定必须按编号从小到大排列,比如限定围着圆周按1、2、3...的顺序排队。
很多人直觉就认为必须要按照1、2、3的顺序排列,这样可以得到以下的安全间距要求:
错误理解
1、2号之间的最小安全间距为
2、3号之间的最小安全间距为
第n-1,n号之间的最小安全间距为:
将n号之前的最小安全间距进行累加,得到排下n个人所需求的总的安全间距,
如果当n趋于无穷大时,这个安全间距的极限小于总的圆周 ,则说明可以容下任意多个人。
但是 是非常有名和调和级数,是发散的,当n趋于某一个数时,其值不会小于总的圆周。
分析到这,不少人可能一阵狂喜,第一时间排除了C。
剩下了A和B,对于A,当取n=8时,用excel算出,
8个人按编号顺序排队的最小安全间距之和
仍然小于圆周1.5708,
说明可以容纳的人员超过了8个,所以得到了B。
正确解法
上述错误之处在于,限定了人员必须按照编号顺序排队,但是题目并不要求这一限定,
是否按编号顺序排队所得到的总安全间距完全不同。
以3个人为例,当以1、2、3的顺序排队时,总的最小安全间距为
而以1,3,2的顺序排队时,总的最小安全间距为:
所以,我们需要考虑这些人排队不按套路出牌的情况。
问题复杂了,我们很难判断哪一种排队方式可以取到最小安全间距的最小值,
无法遍历, 1, n,2, n-1...的排队方式是否比1,2,3, n,n-1,n-3,4能取到更小的总的安全间距。
太复杂了。
怎么办呢?
我们要用到高中所学的数学归纳法,
数学归纳法可以概括为以下三步:
(1)归纳奠基:证明n=1时命题成立;
(2)归纳假设:假设n=k时命题成立;
(3)归纳递推:由归纳假设推出n=k+1时命题也成立.
采用数学归纳法,如果我们假设能容纳下n-1人,在这个假设下,如果再增加编号为n的人,如果也能容纳下,如可以认为能容纳下n为任何正整数的人。
即可以容纳下无限的人。
基于容纳下n-1个人的假设,我们不知道这n-1个人是怎么排列的。
但是这n-1个人都应该满足最小安全间距的要求,
我们用转变一种思路,当假设的能容纳下的n-1个人周围所有不能安排编号为n的人的间距之和小于圆周时,则说明无论如何都能找到一席之地,容纳下编号为n的人。
n-1个人的排列方式
这个时候我们不知道编号1的排在哪里,但是当我们从队列中找到这个人时,并准备把编号为n的人安插在他左右两边,那么他的左右两边分别为 的区域不能安插n,总的不允许区域为 。
同理,找到2,得到不允许区域 。
...
直到找到n-1,得到不允许区域为 。
总的不允许区域为
如果该值圆周,则说明仍有区域可以安插n。
最终得到不等式证明题:
接下来要用放缩法进行证明。
想起了以前证明过的不等式题目,
基本不等式
所以有:
由ln(x)+ln(y)=ln(xy),得到:
而
所以,总可以找到位置让编号为n的人排下。
即证明了可以容纳任意多的人员。
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