圆的方程的教案
㈠课时目标
1.掌握圆的一般式方程及其各系数的几何特征。
2.待定系数法之应用。
㈡问题导学
问题1:写出圆心为(a,b),半径为r的圆的方程,并把圆方程改写成二元二次方程的形式。 —2ax—2by+ =0
问题2:下列方程是否表示圆的方程,判断一个方程是否为圆的方程的标准是什么?
① ; ② 1
③ 0; ④ —2x+4y+4=0
⑤ —2x+4y+5=0; ⑥ —2x+4y+6=0
㈢教学过程
[情景设置]
把圆的标准方程 展开得 —2ax—2by+ =0
可见,任何一个圆的方程都可以写成下面的形式:
+Dx+Ey+F=0 ①
提问:方程表示的曲线是不是圆?一个方程表示的曲线是否为圆有标准吗?
[探索研究]
将①配方得 : ( ) ②
将方程 ②与圆的标准方程对照。
⑴当 0时, 方程 ②表示圆心在 (— ),半径为 的圆。
⑵当 =0时,方程①只表示一个点(— )。
⑶当 0时, 方程①无实数解,因此它不表示任何图形。
结论: 当 0时, 方程 ①表示一个圆, 方程 ①叫做圆的一般方程。
圆的标准方程的优点在于明确地指出了圆心和半径,而一般方程突出了形式上的特点:
⑴ 和 的系数相同,不等于0;
⑵没有xy这样的二次项。
以上两点是二元二次方程A +Bxy+C +Dx+Ey+F=0表示圆的必要条件,但不是充分条件
[知识应用与解题研究]
[例1] 求下列各圆的半径和圆心坐标。
⑴ —6x=0; ⑵ +2by=0(b 0)
[例2]求经过O(0,0),A(1,1),B(2,4)三点的圆的方程,并指出圆心和半径。
分析:用待定系数法设方程为 +Dx+Ey+F=0 ,求出D,E,F即可。
[例3]已知一曲线是与两个定点O(0,0)、A(3,0)距离的比为 的点的轨迹,求此曲线的方程,并画出曲线。
分析:本题直接给出点,满足条件,可直接用坐标表示动点满足的条件得出方程。
反思研究:到O(0,0),A(1,1)的距离之比为定植k(k>0)的"点的轨迹又如何?当k=1时为直线,k>0时且k 1时为圆。
㈣提炼总结
1.圆的一般方程: +Dx+Ey+F=0 ( 0)。
2.二元二次方程A +Bxy+C +Dx+Ey+F=0表示圆的必要条件是:A=C 0且B=0。
3.圆的方程两种形式的选择:与圆心半径有直接关系时用标准式,无直接关系选一般式。
4.两圆的位置关系(相交、相离、相切、内含)。
㈤布置作业
1.直线l过点P(3,0)且与圆 —8x—2y+12=0截得的弦最短,则直线l的方程为:
2.求下列各圆的圆心、半径并画出它们的图形。
⑴ —2x—5=0; ⑵ +2x—4y—4=0
3.经过两圆 +6x—4=0和 +6y—28=0的交点,并且圆心在直线x—y—4=0上的圆的方程。
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