不等式的性质2
第二课时
教学目标
1.理解同向不等式,异向不等式概念;
2.把握并会证实定理1,2,3;
3.理解定理3的推论是同向不等式相加法则的依据,定理3是移项法则的依据;
4.初步理解证实不等式的逻辑推理方法.
教学重点:定理1,2,3的证实的证实思路和推导过程
教学难点:理解证实不等式的逻辑推理方法
教学方法:引导式
教学过程
一、复习回顾
上一节课,我们一起学习了比较两实数大小的方法,主要根据的是实数运算的符号法则,而这也是推证不等式性质的主要依据,因此,我们来作一下回顾:
这一节课,我们将利用比较实数的方法, 来推证不等式的性质.
二、讲授新课
在证实不等式的性质之前,我们先明确一下同向不等式与异向不等式的概念.
1.同向不等式:两个不等号方向相同的不等式,例如: 是同向不等式.
异向不等式:两个不等号方向相反的不等式.例如: 是异向不等式.
2.不等式的性质:
定理1:若 ,则
定理1说明,把不等式的左边和右边交换,所得不等式与原不等式异向.在证实时,既要证实充分性,也要证实必要性.
证实: ,
由正数的相反数是负数,得
说明:定理1的后半部分可引导学生仿照前半部分推证,注重向学生强调实数运算的符号法则的应用.
定理2:若 ,且 ,则 .
证实:
根据两个正数的和仍是正数,得
说明:此定理证实的主要依据是实数运算的符号法则及两正数之和仍是正数.
定理3:若 ,则
定理3说明,不等式的两边都加上同一个实数,所得不等式与原不等式同向.
证实:
说明:(1)定理3的证实相当于比较 与 的大小,采用的是求差比较法;
(2)不等式中任何一项改变符号后,可以把它从一边移到另一边,理由是:根据定理3可得出:若 ,则 即 .
定理3推论:若 .
证实: ,
①
②
由①、②得
说明:(1)推论的证实连续两次运用定理3然后由定理2证出;
(2)这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加,即:两个或者更多个同向不等式两边分别相加,所得不等式与原不等式同向;
(3)两个同向不等式的两边分别相减时,就不能作出一般的结论;
(4)定理3的逆命题也成立.(可让学生自证)
三、课堂练习
1.证实定理1后半部分;
2.证实定理3的逆定理.
说明:本节主要目的是把握定理1,2,3的证实思路与推证过程,练习穿插在定理的证实过程中进行.
课堂小结
通过本节学习,要求大家熟悉定理1,2,3的证实思路,并把握其推导过程,初步理解证实不等式的逻辑推理方法.
课后作业
1.求证:若
2.证实:若
板书设计
§6.1.2 不等式的性质
1.同向不等式 3.定理2 4.定理3 5.定理3
异向不等式 证实 证实 推论
2.定理1 证实 说明 说明 证实
第三课时
教学目标
1.熟练把握定理1,2,3的应用;
2.把握并会证实定理4及其推论1,2;
3.把握反证法证实定理 5.
教学重点:定理4,5的证实.
教学难点:定理4的应用.
教学方法:引导式
教学过程:
一、复习回顾
上一节课,我们一起学习了不等式的三个性质,即定理1,2,3,并初步熟悉了证实不等式的逻辑推理方法,首先,让我们往返顾一下三个定理的基本内容.
(学生回答)
好,我们这一节课将继续推论定理4、5及其推论,并进一步熟悉不等式性质的应用.
二、讲授新课
定理4:若
若
证实:
根据同号相乘得正,异号相乘得负,得
当
说明:(1)证实过程中的关键步骤是根据"同号相乘得正,异号相乘得负"来完成的;
(2)定理4证实在一个不等式两端乘以同一个正数,不等号方向不变;乘以同一个负数,不等号方向改变.
推论1:若
证实:
①
又
②
由①、②可得 .
说明:(1)上述证实是两次运用定理4,再用定理2证出的;
(2)所有的字母都表示正数,假如仅有 ,就推不出 的结论.
(3)这一推论可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘.这就是说,两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘,所得不等式与原不等式同向.
推论2:若
说明:(1)推论2是推论1的非凡情形;
(2)应强调学生注重n n 的条件.
定理5:若
我们用反证法来证实定理5,因为反面有两种情形,即 ,所以不能仅仅否定了 ,就"归谬"了事,而必须进行"穷举".
说明:假定 不大于 ,这有两种情况:或者 ,或者 .
由推论2和定理1,当 时,有 ;
当 时,显然有
这些都同已知条件 矛盾
所以 .
接下来,我们通过具体的例题来熟悉不等式性质的应用.
例2 已知
证实:由
例3 已知
证实:
两边同乘以正数
说明:通过例3,例4的学习,使学生初步接触不等式的证实,为以后学习不等式的证实打下基础.在应用定理4时,应注重题目条件,即在一个等式两端乘以同一个数时,其正负将影响结论.接下来,我们通过练习来进一步熟悉不等式性质的应用.
三、课堂练习
课本p7练习1,2,3.
课堂小结
通过本节学习,大家要把握不等式性质的应用及反证法证实思路,为以后不等式的证实打下一定的基础.
课后作业
课本习题6.1 4,5.
板书设计
§6.1.3 不等式的性质
定理4 推论1 定理5 例3 学生
内容 内容
证实 推论2 证实 例4 练习
探究活动
能得到什么结论
题目 已知 且 ,你能够推出什么结论?
分析与解:由条件推出结论,我们可以考虑把已知条件的变量范围扩大,对已知变量作运算,运用不等式的性质,或者跳出不等式去考虑一般的数学表达式。
思路一:改变 的范围,可得:
1. 且 ;
2. 且 ;
思路二:由已知变量作运算,可得:
3. 且 ;
4. 且 ;
5. 且 ;
6. 且 ;
7. 且 ;
思路三:考虑含有 的数学表达式具有的性质,可得:
8. (其中 为实常数)是三次方程;
9. (其中 为常数)的图象不可能表示直线。
说明 从已知信息能够推出什么结论?这是我们经常需要思考的问题,这里给出的都是必要非充分条件,读者可以考虑是否能够写出充要条件;另外,运用推出关系的传递性,在推出结论的基础上进一步进行推理,还可得出很多结果,请读者考虑.
探究关系式是否成立的问题
题目 当 成立时,关系式 是否成立?若成立,加以证实;若不成立,说明理由。
解:因为 ,所以 ,所以 ,
所以 ,
所以 或
所以 或
所以 或
所以 不可能成立。
说明:像本例这样的探索题,题目的结论是"两可"(即两种可能性)情形,而我们知道,说明结论不成立可像例1那样举一个反例就可以了。不过像本例的执果索因的分析,不仅说明结论不成立,而且得出 , 必须同时大于1或同时小于1的结论。
探讨增加什么条件使命题成立
例 适当增加条件,使下列命题各命题成立:
(1)若 ,则 ;
(2)若 ,则 ;
(3)若 , ,则 ;
(4)若 ,则
思路分析:本例为条件型开放题,需要依据不等式的性质,寻找使结论成立时所缺少的一个条件。
解:(1)
(2) 。当 时,
当 时,
(3)
(4)
引申发散对命题(3),能否增加条件 ,或 , ,使其成立?请阐述你的理由。
小儿垂钓教师教学反思古诗简短四句却意境悠远,更因为远离学生实际而费时费力。在小儿垂钓的教学中就犯了几个相关的错误。教学中最浪费时间的大概就是学生说想象画面这个环节。我没想到学生根本不理会诗句,纯粹说自
再见了亲人教学反思再见了,亲人这篇课文感情真挚,语言凝炼,句式参差多样,篇幅较长,是一篇训练学生语言文字的好文章,也是训练学生朗读的好教材。下面是小编收集整理的再见了亲人教学反思,希望对您有所帮助!
戏曲人物教学反思戏曲教学是小学音乐课程教学的难点。首先在学生方面,学生接触国粹京剧太少,生活中基本听不到京剧。下面是戏曲人物教学反思,欢迎参考!戏曲人物教学反思一教学目标1。通过收集资料和欣赏戏曲
老舍猫教学反思猫是老舍先生写的一篇状物抒情散文。文章结构严谨,条理清晰,以风趣亲切,通俗晓畅的语言,表现了猫的性情,字里行间流露出作家对猫的喜爱之情。在教学这篇文章时,我力求突出课文中所蕴涵的人
爱护自己的名誉品德与社会教学反思本学期,我担任了三年级的品德与社会学科。通过这几周的教学,我深刻的体会到,品德与社会这门学科的重要性及综合性,如何上好品德课,希望每一节课学生都有所收获,是我努力的目标。本节课主要
小学生语文茉莉花的教学反思茉莉花是人们生活中常见的一种花卉。在课的导入部分,教师可先让学生说说他们所了解的茉莉花。自由的交流,既锻炼了学生的口头表达能力,又能激发出他们的学习兴趣。而更重要的是,在此过程中,
习作七教学反思范文课标指出让学生易于动笔,乐于表达,应引导学生关注现实,热爱生活,表达真情实感。减少对学生写作的束缚,鼓励自由表达和有创意的表达。基于这个理念,我在设计这次作文教学时,无论开课还是写
语文玩具柜台前的孩子教学反思范文玩具柜台前的孩子是义务教育课程标准实验教科书语文(人教版)二年级下册的第课。它所在的第六单元课文是围绕人物的优秀品质来编排的,寓优秀的思想品质教育于生动感人的故事之中,蕴含着丰富的
七年级思想品德教师教学反思回顾一学期以来的教学,感慨甚多!优生从一个班以前无处寻觅到现在也能找出10个或8个,及格生从一个班10多个到现在也能找出20到30个。虽然和横向相比可能和其他学校差距很大,但客观的
数星星的孩子教学反思范文本课教学采用变序法进行教学。先学习课文的最后一段,让学生了解张衡由于刻苦钻研,成了著名的天文学家。那么,他小时侯是怎样数星星的呢?再学习前面的课文,抓住张衡认真耐心的词句进行教学。
品德与生活神奇的手教学反思品德与生活是一门以生活性开放性活动性为特征的综合型活动课。本课教学以学生的现实生活为源泉,以学生的主体性活动为载体,充分尊重学生,关注课堂动态生成,巧用教育资源,收到了较好的教学效
七年级语文上册散步说课稿尊敬的各位评委大家好!我叫xx,今天我说课的内容是当代著名作家莫怀戚写的一篇文章散步。下面我将从教材分析学生分析教学目标教学重难点教法学法教学过程板书设计七个方面来进行说课。一教材
把掌声分给她一半说课稿教学背景教材分析把掌声分给她一半是小语第十一册体育这一单元中的一篇主体课文。本单元的五篇都与体育有关,虽然题材风格不同,但是都充分展现体育运动的力与美,颂扬了体育精神的伟大。本篇课
各具特色的民居的说课稿范文说课,就是教师备课之后讲课之前把教材教法学法授课程序等方面的思路教学设计板书设计及其依据面对面地对同行或其他听众作全面讲述的一项教研活动或交流活动。以下是小编整理的各具特色的民居的
龟兔赛跑的幼儿园说课稿一设计意图本活动意在通过师幼互动,运用形象生动的音乐图谱,以鼓励赏识的方法来调动幼儿积极性主动性和创造性,使幼儿愉快地投入到整个活动中。这首乐曲的旋律有两段对比性较强,一段生动活泼
白杨说课稿范文各位评委老师大家好,我是小学语文组5号考生,我今天说课的题目是白杨根据新课标的理念,对于本节课,我将以教什么,怎样教,为什么这样教为思路,从教材分析学情教学目标教学重难点教学方法教
纸船说课稿一说教材纸船是人教版七年级上第五单元的一篇文章,该单元以家庭亲情为在主题,共设置了五篇课文。这些文章作者均以自己的切身体验,写出了亲情的丰富和多样,从而引起读者的感情共鸣,纸船是一
六年级科学蜡烛的变化说课稿作为一名默默奉献的教育工作者,时常会需要准备好说课稿,说课稿有助于学生理解并掌握系统的知识。如何把说课稿做到重点突出呢?下面是小编整理的六年级科学蜡烛的变化说课稿,仅供参考,大家一
最后一课说课稿最后一课是人教版七年语文下册第二单元的一篇课文,与黄河颂等几篇文章一起构成以爱国主义为主题的单元,成为培养学生爱国主义情操的重要组件,以下是小编为大家精心搜集和整理的最后一课说课稿
动物的尾巴幼儿园小班说课稿一说教材1说活动设计喜欢动物是孩子的天性,尤其是小班的孩子很喜欢接近小动物,和动物们交朋友。设计这节活动,是从幼儿的兴趣出发,让孩子在喜欢动物的基础上,探索各种动物尾巴的特点,了解
幼儿园大班美术说课稿4篇幼儿园大班美术说课稿1一说教材1教材分析幼儿园的美术活动是为了让幼儿具备初步的审美意识,挖掘和发挥幼儿的创造能力。大班的幼儿已积累了较多的美术知识经验,在此基础上,我选择了各种不同
小猴和小熊的幼儿园中班说课稿一说教材纲要中指出培养幼儿喜欢艺术活动,并能大胆表现自己的情感,用自己喜欢的方式进行艺术表现活动。幼儿都爱音乐,更爱音乐游戏,因为幼儿园的音乐游戏是幼儿游戏活动中的一种,由于它将音