漫谈斐波那契数列与黄金分割比

　　（一）奇妙的斐波那契数列：
　　斐波那契数列的由来是“兔子问题”。
　　从中总结的规律就是：
　　（1）每个月小兔子数上个月的大兔子数；
　　（2）每个月的大兔子数上个月的大兔子数上个月的小兔子数；
　　（3）每个月的大兔子数上个月的大兔子数上上个月的大兔子数。
　　1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，，144。。。。。。
　　即前两项是1，1，后面的每一项是前面两项的和，这就是斐波那契数列。提到数列，作为大学生，学过高等数学，很自然想到求极限。所以，这里斐波那契数列后一项与前一项比值的极限就是二分之根号五减一，约等于0。618。这就是后面要说的黄金分割比。
　　递推公式为：
　　发现斐波纳契数寻找斐波那契数列：
　　1。自然中的斐波那契数：
　　花基数（花瓣的数目），树杈的生长，菜花，松子，
　　向日葵：
　　顺时针方向的对数螺线，逆时针方向的对数螺线都是斐波纳契数。更为惊人的是，顺时针方向的对数螺线和逆时针方向的对数螺线是两个相继斐波纳契数。还曾经发现过一个更大的向日葵，顺时针对数螺线144条，逆时针对数螺线233条。
　　如下图：
　　叶子的生长方式也是如此，对于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程中一直都能最佳地利用空间（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出来，而不是一下子同时出现的），每片叶子和前一片叶子之间的角度应该是222。5度，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆周360度之比是黄金分割数0。618033989的倒数，而这种生长方式就决定了斐波那契螺旋的产生。向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时能达到89，甚至144条。
　　这就是神秘的大自然！
　　这些现象是植物生长动力学特性造成的。相邻器官原基之间的夹角是一个特殊角，这使种子的堆积效率达到最高。
　　2。斐波那契数列的推广：
　　首先，思考一下，斐波那契数列的前两项是1，1，那可不可以是1，2呢？
　　如果是1，2的话，这就成了缺少第一项的斐波那契数列，即1，2，3，5，8，。。。。。。，这不算是本质的推广。
　　次简单的，如果前两项是1，3呢？即1，3，4，7，11，18，。。。。。。
　　这就是推广的斐波那契数列，即卢卡斯数列。
　　卢卡斯数列的相邻两项比值的极限恰好也是二分之根号五减一，也是黄金比。所以说，卢卡斯抓住了斐波那契数列的本质。
　　3。十秒钟计数：
　　（1）10个连续的斐波那契数的和第7个数的11倍。
　　（1）前n项和第n2项第2项（这是对于卢卡斯数列来说，其实对于斐波那契数列也是适用的）。
　　4。杨辉三角中隐藏着斐波那契数列：
　　1：
　　11
　　121
　　1331
　　14641
　　。。。。。。
　　过第一行的1向左下方作45度斜线，之后做直线的平行线，将每条直线所经过的数加起来，即得一数列，1，1，2，3，5，8，。。。。。。
　　5。还有。一个奇妙的属性：
　　从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1；每个偶数项的平方都比前后两项的平方少1。
　　6。妙之继续：
　　如果任意挑两个数为起始，比如5，2。4，然后两项两项地加下去，形成5，2。4，2。6，0。2，2。8，3，5。8，8。8，14。6，23。4，。。。。。。，你会发现，
　　（1）随着数列的发展，前后两相之比越来越接近黄金分割比，
　　（2）且某一项的平方与前后两项之积的差值也交替相差某个值。
　　（3）从首项开始，依次计算前一项与后一项的比值，并精确到小数第四位，如果这一工作不断继续下去，这个比值将无限趋近于某一个常数，这个常数位于1。6180与1。6181之间能精确地用黄金数能表示出来。
　　7。数学中寻找斐波那契数列的足迹：
　　（1）排列组合
　　有一段楼梯，有10级台阶，规定每一步只能跨一级或跨两级，要登上第10级台阶，有几种不同的走法？
　　这也是一个斐波那契数列：
　　登第一级台阶，有一种走法；
　　登第二级台阶，有两种走法；
　　登第三级台阶，有三种走法；
　　登第四级台阶，有五种走法；
　　。。。。。。
　　即1，2，3，5，8，13，。。。。。。而10级，就是89种走法。
　　（1，1，2，3，5，8，13，21，33，54，89。。。。。。）
　　（2）黄金椭圆
　　如果一个椭圆和圆的面积相等，那么这个椭圆就是黄金椭圆。
　　8。斐波那契数列的应用：
　　数学游戏
　　一位魔术师拿着一块边长为8英尺的正方形地毯，对他的地毯匠朋友说：“请您把这块地毯分成四小块，再把它们缝成一块长13英尺，宽5英尺的长方形地毯。”这位匠师对魔术师算术之差深感惊异，因为两者之间面积相差达一平方英尺呢！
　　这真是不可思议的事！你猜得到那神奇的一平方英尺究竟跑到哪儿去呢？
　　实际上后来缝成的地毯有条细缝，面积刚好就是一平方英尺。
　　9。三角形的三边关系定理与斐波那契数列的一个联系：
　　现有长为144cm的铁丝，要截成n小段（2），每段的长度不小于1厘米，如果其中任意3段都不能拼成三角形，则n的最大值为多少？
　　分析：
　　由于构成三角形的条件是：两边之和大于第三边；反之，如果边之和不超过（即小于等于）第三边，则不能构成三角形。
　　截成的铁丝最小为1，因此可以放两个1，第三个是2，为了n尽可能大，要使剩下来的铁丝尽量长，因此，每一条线段都是前面相邻两段之和，依次为1，1，2，3，5，8，13，21，35，55，以上各数之和为143，与144差1，因此可以取最后一段为56，此时n最大为10。
　　经过分析，我们发现，“每段的长度的小于1”这个条件起到了控制全局的作用。正是这个最小数1产生了斐波那契数列，如果把1换成其他数，递推关系保留了，
　　但是这个数列消失了。这里，三角形的三边关系定理与斐波那契数列发生了联系。
　　在上面的问题中，144143，这个143就是前n项的和，我们把144超出143的部分加到最后一个数上去，如果加到其他数上，就有三条线段可以构成三角形了。
　　（二）黄金分割比
　　1。黄金矩形：
　　一个矩形，从中减去一个最大的正方形，剩下的矩形的宽与长之比与原来一样，即剩下的矩形与原来相似。则称具有这种长宽之比的矩形为黄金矩形。黄金矩形可以按上述方法无限地分割下去。
　　2。黄金分割：
　　把任一线段分割成两段，使大段全段小段大段，这样的分割叫做黄金分割。
　　这样的比值经过计算之后，就是黄金分割比（可以有两个分割点，并且关于终点对称），
　　x2x10
　　尺规作图，做出黄金分割点
　　3。黄金连分数：
　　这不是一个普通的分数，而是一个分母上有无穷多个“1”的繁分数，通常称这样的分数为连分数。
　　上述连分数可以看做是x1（x1）中，把x的表达式反复代入等号右端所得。这一由1构成的连分数是最简单的一个连分数，它的值为2分之根号5减1。
　　4。华罗庚的优选法（0。618法）：
　　（以下为复制内容）
　　“优选法”，即对某类单因素问题，用最少的试验次数找到“最佳点”的方法。
　　例如，炼钢时要掺入某种化学元素加大钢的强度，掺入多少最合适？假定已经知道每吨钢加入该化学元素的数量大约应在1000克到2000克之间，现求最佳加量，误差不得超过1克。最“笨”的方法是分别加入1001克，1002克，，做1千次试验，就能发现最佳方案。
　　一种动脑筋的办法是二分法，取1000克与2000克的中点1500克。再取进一步二分法的中点1250克与1750克，分别做两次试验。如果1750克处效果较差，就删去1750克到2000克的一段，如果1250克处效果较差，就删去1000克到1250克的一段。再在剩下的一段中取中点做试验，比较效果决定下一次的取舍，这种“二分法”会不断接近最好点，而且所用的试验次数与上法相比，大大减少。表面上看来，似乎这就是最好的方法。
　　但华罗庚证明了，每次取中点的试验方法并不是最好的方法；每1次取试验区间的0。618处去做试验的方法，才是最好的，称之为“优选法”或“0。618法”。华罗庚证明了，这可以用较少的试验次数，较快地逼近最佳方案。
　　5。黄金分割点的再生性与折纸法：
　　根据黄金分割点的再生性，我们可以设计一种直观的优选法“折纸法”。仍以上边“在钢水中添加某种元素”的问题为例。用一个有刻度的纸条表达1000克2000克。在这纸条长度的0。618的地方划一条线，在这条线所指示的刻度上做一次试验，也就是按1618克做第一次试验。然后把纸条对折，前一条线落在下一层纸的地方，再划一条线，这条线在1382克处，再按1382克做第二次试验。
　　按1236克做第三次试验，再和1382克的试验效果比较，如果1236克的效果较差，我们就把1236克以外的短的一段纸条剪去。再对折剩下的纸条，找出第四次试验点是1472克。按1472克做试验后，与1382克的效果比较，再剪去效果较差点以外的短的一段纸条，再对折寻找下一次试验点，一次比一次接近我们的需要，直到达到我们满意的精确度。注意，每次剪掉的都是效果较差点以外的短纸条，保留下的是效果较好的部分，而每次留下纸条的长度是上次长度的0。618倍。因此，纸条的长度按0。618的k次方倍逐次减小，以指数函数的速度迅速趋于0。所以，“0。618法”可以较快地找到满意的点。事实上，当纸条
　　长度已经很小时，纸条上的任一个点都可以作为“满意”的点了，因为最优点就在纸条上，你取的点与最优点的误差一定小于纸条的长。0。618这个“黄金比”能产生“优选法”，这告诉我们，美的东西与有用的东西之间，常常是有联系的。
　　用导数的方法求极值是用连续的手段处理最优化问题，优选法“0。618法”则是用离散的手段处理最优化问题。