高中数学：均值定理的“凑”与“配”
11月11日 鬼神氏投稿 不等式中的均值定理一直是高中数学的重点内容，同时也是高考的重点和热点，也是解决很多问题的重要工具，应用均值定理的前提是满足“一正、二定、三相等”，不过很多时候，题目的条件不满足这一条件，这时就需要适当的“凑”与“配”，下面结合具体例子予以说明。
一、凑“正”
例1。求
的值域。
解：将
变形为
后可用基本不等式，但不清楚是否为正，因此需要讨论。
由已知得
。
（1）若
，则
，故
，当且仅当
，即
时，取等号。
（2）若
，则
，故
。
，当且仅当
，即
时，取等号。
因此，由（1）、（2）可知
的值域为
。
本题说明“各项为正”这一条件的重要性，当不确定时应进行分类讨论。
二、凑、配“定值”
1。“凑”和为定值
例2。设一个圆柱的轴截面周长为l，求其侧面积的最大值。
解：设圆柱底面半径为r，高为h，侧面积为S，满足
。
。
当且仅当
，即
时，S有最大值
。
对已知式子进行恰当的“凑”与“配”，再利用基本不等式求最值，这种技巧经常被使用。
2。“配”积为定值
例3。已知
，
，且
，求
的最小值。
解：
，
。
，
，
。
当且仅当
，即
时，取等号。
解得当
，
时，
取得最小值为16。
三、凑“相等”
例4。求函数
的最小值。
解：
。
设
，则
，此时原式可化为
。
，
。
。
当且仅当
，即
，
时取等号，此时
，解得
。
。
此题是通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式，注意换元后
，若对
直接利用均值定理，则需满足
，即
或
，而在
时，无法达到，因此需要凑配“相等”以及积为定值，方可利用均值定理。
来源：综合网络
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