一题可破万题山（下篇）

　　题记：诚惶诚恐。做此公众号本来目的是为我的学生课后服务，没想到上篇文章经同仁抬举达700了，现在我都不敢乱发文章了。后来，又想想，弄斧还必须到班门，所以不管这么多了，发吧。
　　思考视角九：12345模型，123模型
　　要知此模型，我们可以通过以上图形熟记。
　　图中存在全等三角形BAC和CDE，所以可以得BAC的正切值为12，为了更好研究角度和正切值的关系，我们用12表示BAC，FAE的正切值为13，那么可以用13表示FAE，而ACE为等腰直角三角形，所以BACFAE45，即“12”“13”45，也就是说45角可以拆分为两个正切值分别为12和13的角；
　　同理由DEF180，可以推出“1”“2”“3”180，也就是180度角可以拆分为三个正切值分别为1，2和3的角。
　　据此原理，任意角都可以拆分为像这种整数关系的角。
　　这就是著名的12345模型，本质就是角度的拆分。特向发现此定理的于特致敬。
　　在上篇图11到16中，图51到53中都可以使用此模型迅速导出OBF的正切值为12，这样后续计算就能不费吹灰之力了。
　　思考视角十：高中公式视角，余弦定理
　　在OFC中，易知OC和CF，其中COF的余弦值可以利用12345模型得到，假设OFa，OCb，CFc，COF，则利用
　　即可求解。
　　思考视角十一：数学竞赛定理，托勒密定理
　　由相似可以证圆内接四边形对角线的乘积等于两组对边乘积之和。
　　也就是OFBCOBFCOCBF
　　此题所用公式是如此简洁漂亮，令人震惊！
　　思考视角十二：本质探究三爪模型母题探源本源生长
　　搞了这么多解法，最后看看这题的本质在哪里，我们把多余的线段去掉，可以得到以下图形：
　　此图形主要就是研究FO，FB，FC三者关系，由于它们酷像鸡爪，所有不妨假设FB为长爪，对应的是直角三角形BFC的长直角边，FC为短爪，对应的是直角三角形BFC的短直角边，那么FO叫中爪，对应的是两直角顶点的距离。
　　由旋转手拉手推理可得
　　FBFC根号2倍FO
　　用一句形象的话描述一下三爪定理：长爪与短爪之差等于根号2倍中爪
　　此模型若变形：
　　此图中，可以知道BFFC根号2倍FO
　　这里可以作为三爪定理推论：
　　长爪与短爪之和等于根号2倍中爪。
　　利用此模型，上述题目即可秒杀。
　　三爪定理的本质就是利用线段的分散集中和等腰直三角形特性推得，该定理的使用前提是一个等腰直角三角形加一个共斜边的直角三角形。
　　特别说明：以上定理发现为段广猛老师文章首次提及。文字描述为我杜撰，文字描述欠缺严谨，只为个人娱乐，非专业用途。请见谅。
　　总结到这里，本已经结束了，不过一个念头闪现，后面竟然又引出一个故事：
　　这是重庆的一道中考题，它的出处在哪里？
　　根据以课本为纲的原则，这个题应该是来源于课本。
　　翻开课本，看到以下一题：
　　八年级下册勾股定理一章第29页第14题，很有意思，看着很像。
　　此题可以简单抽象出来：
　　如图，在等腰直角三角形ABC中，点D是BC上任意一点，请探索AD，BD，DC之间的关系。
　　乍看一下，这样的题还真不好做。不过咱们教科书已经给出了结论，并且提示了探索方法。
　　方法就是作一个手拉手模型。
　　通过手拉手旋转可以构造一个直角三角形，然后就可以得到
　　BD平方CD平方2倍AD平方
　　这个式子和我们得到的三爪定理很像，这中间有没有共通之处呢？
　　这样自然想到：这些线段为什么会呈现这样的关系？如果不是等腰直角三角形还可以这样吗？
　　就是这样的一连串追问，竟然引发了后续一段故事：
　　普通三角形会不会也符合这样一个特性？
　　为什么这些图形会呈现出这样的特性？
　　最后还发现了一个挺惊讶的事情：这个重庆中考题和2018年河南中考第24题还有点关系。
　　。。。。暂到此结束吧，后续故事还在绞尽脑汁思考中。。。。
　　总结一下：
　　第一，以上多种解法总结完毕，其中95是属于他人的，我只是做了一下搬运工。
　　第二，我觉得我还是有一点创新，那就是我总结的方式，不是简单的方法的罗列，而是方法背后的思考视角，方法千千万，但实际做题时，方法只是工具，思考视角才是破题的起源。通过此题的多法梳理归纳，也是对思考视角的了解与优化。
　　条条大道通罗马，从不同的视角出发，最终都是可以到达光明的顶峰，只是路径有难易之别，有些路径还会有重合部分。平时我们需要训练视角，熟练掌握每一种视角的优劣，并且实现视角之间灵活地转换和贯通，这样才能在面对新的问题时选择有效或者高效的解题路径。
　　突发一种莫名的感慨：
　　术无尽而道有穷，持道而御术，术无穷无尽无休无止。以术破题，题千变万化，术亦千变万化，千变万化之术破千变万化之题，至此，以道贯之，题变术变，变化万千，万千归一。
　　最后，以一首改编诗致敬这道好题：
　　横看成岭侧成峰，
　　远近高低各不同。
　　要识庐山真面目，
　　还得钻进此山中。