中考数学压轴题分析半角模型

　　【中考真题】
　　（2020•襄阳）在△ABC中，∠BAC═90°，AB＝AC，点D在边BC上，DE⊥DA且DE＝DA，AE交边BC于点F，连接CE．
　　（1）特例发现：如图1，当AD＝AF时，
　　①求证：BD＝CF；
　　②推断：∠ACE＝ 　　  °；
　　（2）探究证明：如图2，当AD≠AF时，请探究∠ACE的度数是否为定值，并说明理由；
　　（3）拓展运用：如图3，在（2）的条件下，当EF/AF=1/3时，过点D作AE的垂线，交AE于点P，交AC于点K，若CK=16/3，求DF的长．
　　【分析】
　　题（1）的第①小问用全等即可证明。第②小问通过目测观察或者尺子一量就出来了。当然，要证明也不难。因为这里面有一个8字形。所以比较容易得到一个等量关系。
　　可以得到∠DAE=∠DCE，那么结论就出来了。
　　其实本质是四点共圆。
　　题（2）就是在题（1）②的基础上面用二次相似就可以了。当然，要用四点共圆说明也可以。
　　题（3）因为DP与AE垂直，所以可以考虑过点C作CG⊥AE，那么就可以得到一个8字形与一个A字形。有两个相似再加上等腰直角三角形的三线合一。进而可以得出边长的比例关系。
　　设GF=x，再表示出其它线段，表示出CK的长，进而得到x的值。就可以在△DPF中利用勾股定理得到DF的长度了。
　　当然，本题也可以像上图，连接EK。得到AK与EK是相等的，因为DK是AE的垂直平分线。在△DKC中设未知数利用勾股定理，可以求出AK、EK和EC的长度。再求出AE、DP和PF的长度就可以了。
　　【答案】 （1）①证明：如图1中，
　　∵AB＝AC，
　　∴∠B＝∠ACF，
　　∵AD＝AF，
　　∴∠ADF＝∠AFD，
　　∴∠ADB＝∠AFC，
　　∴△ABD≌△ACF（AAS），
　　∴BD＝CF．
　　②结论：∠ACE＝90°．
　　理由：如图1中，∵DA＝DE，∠ADE＝90°，AB＝AC，∠BAC＝90°，
　　∴∠ACD＝∠AED＝45°，
　　∴A，D，E，C四点共圆，
　　∴∠ADE+∠ACE＝180°，
　　∴∠ACE＝90°．
　　故答案为90．
　　（2）结论：∠ACE＝90°．
　　理由：如图2中，
　　∵DA＝DE，∠ADE＝90°，AB＝AC，∠BAC＝90°，
　　∴∠ACD＝∠AED＝45°，
　　∴A，D，E，C四点共圆，
　　∴∠ADE+∠ACE＝180°，
　　∴∠ACE＝90°．
　　（3）如图3中，连接EK．
　　∵∠BAC+∠ACE＝180°，
　　∴AB∥CE，
　　∴EC/AB=EF/AF=1/3，设EC＝a，则AB＝AC＝3a，AK＝3a-16/3，
　　∵DA＝DE，DK⊥AE，
　　∴AP＝PE，
　　∴AK＝KE＝3a-16/3，
　　∵EK²＝CK²+EC²，
　　∴（3a-16/3）²＝（16/3）²+a²，
　　解得a＝4或0（舍弃），
　　∴EC＝4，AB＝AC＝12，
　　∴AE=√(AC²+EC² )=√(4²+12² )=4√10，
　　∴DP＝PA＝PE=1/2AE＝2√10，EF=1/4AE=√10，
　　∴PF＝FE=√10，
　　∵∠DPF＝90°，
　　∴DF=√(DP²+PF² )=√((2√10 )²+(√10 )² )=5√2．