中考数学压轴题分析一线三等角模型的实际应用

　　【中考真题】
　　（2020•河北）如图1和图2，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，tanC=3/4．点K在AC边上，点M，N分别在AB，BC上，且AM＝CN＝2．点P从点M出发沿折线MB﹣BN匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P移动，且始终保持∠APQ＝∠B．
　　（1）当点P在BC上时，求点P与点A的最短距离；
　　（2）若点P在MB上，且PQ将△ABC的面积分成上下4：5两部分时，求MP的长；
　　（3）设点P移动的路程为x，当0≤x≤3及3≤x≤9时，分别求点P到直线AC的距离（用含x的式子表示）；
　　（4）在点P处设计并安装一扫描器，按定角∠APQ扫描△APQ区域（含边界），扫描器随点P从M到B再到N共用时36秒．若AK=9/4，请直接写出点K被扫描到的总时长．
　　【分析】
　　题（1）根据垂线段最短即可。
　　题（2）利用面积比等于相似比的平方即可。
　　题（3）求点P到直线AC的距离，需要根据点P运动路径进行分类讨论，分为MB、BN两段。利用勾股与三角函数即可得出结论。
　　题（4）中涉及到实际问题。题目看起来比较长，不是很好理解。越是这种题目越需要耐心。当然，作为压轴题，能搞定前3问就很好了。最后一问战略性放弃也是可以的。
　　题目中求的是＂点K被扫描到的总时长＂，那就需要理解什么情况下K会被扫描到。因为扫描器按定角∠APQ扫描△APQ区域，所以点K在∠APQ的内部即可。
　　当点P在BM上运动时，由于点P从M点开始运动且PQ∥BC，当AP=AK=9/4时开始就会扫描到，直至到点B。
　　当点P从点B运动的过程中，∠APQ的范围先编写再变大。当CQ的长度大于CK的长度时，就扫描不到了。
　　所以只需要表示出CQ的长度即可。
　　那么怎么求CQ的长度呢？
　　本题的关键就是∠APQ＝∠B。
　　易得绿色的两个三角形相似（两个角对应相等），用x表示出CQ的长度。
　　当CQ＞CK时，用速度求出运动的时间。再用总时间减去这部分的时间即可。
　　本题的难点就是需要理解题目的意思，并进行分类讨论。把行程问题转化为几何线段求值的问题。
　　【答案】 解：（1）如图1中，过点A作AH⊥BC于H．
　　∵AB＝AC，AH⊥BC，
　　∴BH＝CH＝4，∠B＝∠C，
　　∴tan∠B＝tan∠C=AH/BH=3/4，
　　∴AH＝3，AB＝AC=√(AH²+BH² )=√(3²+4² )=5．
　　∴当点P在BC上时，点P到A的最短距离为3．
　　（2）如图1中，∵∠APQ＝∠B，
　　∴PQ∥BC，
　　∴△APQ∽△ABC，
　　∵PQ将△ABC的面积分成上下4：5，
　　∴S_(△APQ)/S_(△ABC) =（AP/AB）²=4/9，
　　∴AP/AB=2/3，
　　∴AP=10/3，
　　∴PM＝AP＝AM=10/3-2=4/3．
　　（3）当0≤x≤3时，如图1﹣1中，过点P作PJ⊥CA交CA的延长线于J．
　　∵PQ∥BC，
　　∴AP/AB=PQ/BC，∠AQP＝∠C，
　　∴(x+2)/5=PQ/8，
　　∴PQ=8/5（x+2），
　　∵sin∠AQP＝sin∠C=3/5，
　　∴PJ＝PQ•sin∠AQP=24/25（x+2）．
　　当3≤x≤9时，如图2中，过点P作PJ⊥AC于J．
　　同法可得PJ＝PC•sin∠C=3/5（11﹣x）．
　　（4） 【方法一】
　　由题意点P的运动速度=9/36=1/4单位长度/秒．
　　当3＜x≤9时，设CQ＝y．
　　∵∠APC＝∠B+∠BAP＝∠APQ+∠CPQ，∠APQ＝∠B，
　　∴∠BAP＝∠CPQ，
　　∵∠B＝∠C，
　　∴△ABP∽△PCQ，
　　∴AB/CP=BP/CQ，
　　∴5/(11-x)=(x-3)/y，
　　∴y=-1/5（x﹣7）²+16/5，
　　∵-1/5＜0，
　　∴x＝7时，y有最大值，最大值=16/5，
　　∵AK=9/4，
　　∴CK＝5-9/4=11/4＜16/5
　　当y=11/4时，11/4=-1/5（x﹣7）²+16/5，
　　解得x＝7±3/2，
　　∴点K被扫描到的总时长＝（11/4+6﹣3）÷1/4=23秒．
　　【方法二】
　　①点P在AB上的时候，有11/4个单位长度都能扫描到点K；
　　②在BN阶段，当x在3～5.5（即7﹣1.5）的过程，是能扫到K点的，
　　在5.5～8.5（即7+1.5）的过程是扫不到点K的，
　　但在8.5～9（即点M到N全部的路程）能扫到点K．
　　所以扫到的时间是
　　[（9﹣8.5）+（5.5﹣3）+11/4]÷1/4=23（秒）．