中考数学压轴题分析比例关系的转化

　　【中考真题】
　　（2020•福建）如图，△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，AD，EC相交于点P．
　　（1）求∠BDE的度数；
　　（2）F是EC延长线上的点，且∠CDF＝∠DAC．
　　①判断DF和PF的数量关系，并证明；
　　②求证：EP/PF=PC/CF．
　　【分析】
　　题（1）由旋转的性质得出AB＝AD，∠BAD＝90°，△ABC≌△ADE，得出∠ADE＝∠B＝45°，可求出∠BDE的度数；
　　题（2）①证明边相等，转化为证明△DPF中对应的两个内角相等。已知两个蓝色的角相等，只需证明两个红色的角为45°即可得到结论；
　　题（2）②证明成比例的四条线段是共线的，想直接证明并不容易。因此必然需要进行转化。
　　观察这4条线段，它们之间还是有一定关系的：
　　EP+PC=EC，CF+PC=PF。
　　因此可以考虑对原来的等式两边同时加上1，即
　　EP/PF+1=PF/CF+1，
　　两边通分，得
　　EF/PF=PF/CF，
　　竟然出现了两个PF，也就是
　　PF²=EF·CF，
　　这时候离结论就比较近了，
　　题①证明了PF=DF，所以直接转化为
　　DF²=EF·CF，
　　那么只需要证明△DCF∽△EDF即可。
　　由于
　　∠DEF=∠AED-45°=∠ACB-45°=∠DAC=∠CDF，
　　所以结论得证。
　　当然，也可以利用平行线分线段成比例的方式进行证明，通过构造辅助线即可。
　　过点P作PH∥ED交DF于点H，得出∠HPF＝∠DEP，EP/PF=DH/HF，证明△HPF≌△CDF（ASA），由全等三角形的性质得出HF＝CF，则可得出结论．
　　【答案】 解：（1）∵△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，
　　∴AB＝AD，∠BAD＝90°，△ABC≌△ADE，
　　在Rt△ABD中，∠B＝∠ADB＝45°，
　　∴∠ADE＝∠B＝45°，
　　∴∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝90°．
　　（2）①DF＝PF．
　　证明：由旋转的性质可知，AC＝AE，∠CAE＝90°，
　　在Rt△ACE中，∠ACE＝∠AEC＝45°，
　　∵∠CDF＝∠CAD，∠ACE＝∠ADB＝45°，
　　∴∠ADB+∠CDF＝∠ACE+∠CAD，
　　即∠FPD＝∠FDP，
　　∴DF＝PF．
　　②证明：过点P作PH∥ED交DF于点H，
　　∴∠HPF＝∠DEP，EP/PF=DH/HF，
　　∵∠DPF＝∠ADE+∠DEP＝45°+∠DEP，
　　∠DPF＝∠ACE+∠DAC＝45°+∠DAC，
　　∴∠DEP＝∠DAC，
　　又∵∠CDF＝∠DAC，
　　∴∠DEP＝∠CDF，
　　∴∠HPF＝∠CDF，
　　又∵FD＝FP，∠F＝∠F，
　　∴△HPF≌△CDF（ASA），
　　∴HF＝CF，
　　∴DH＝PC，
　　又∵EP/PF=DH/HF，
　　∴EP/PF=PC/CF．