微积分发明的前夜

　　文艺复兴后数学的第一个大突破自然是微积分了。从微积分再到物理科学的发展，人类心目中的大自然已经大大不同。可以说人类第一次有了科学的探索方向。迷信和盲目慢慢远离了人类。可惜悲哀地是，人类对建立良好的制度至今一筹莫展，所以战争的阴云一直笼罩着人类，人类面临毁灭还不是耸人听闻的传闻。
　　大家好，伟岗今天跟大家聊聊微积分发明前，数学家的一些工作，当然主要是费马的工作，因为费马可以说是真正的微积分先驱。
　　文章开始前还是要感谢各位朋友的鼓励打赏，这是伟岗写作的动力源泉。
　　我们前面简单介绍了费马的生平，我们记得费马，当然是因为他数学方面的贡献。
　　我们前面也聊过笛卡尔，他也算是微积分先驱之一。不过真正最接近微积分思想的数学家应该是费马。
　　笛卡尔在求曲线的切线法线时，最终得出的公式，基本跟微分求解法吻合。但是笛卡尔的算法还是太过复杂，很多也是求助于几何作图，没有极限逼近的理论。所以还只能说，笛卡尔仅仅有一点微分的萌芽思想。费马可以说是大大进了一步。
　　首先，在对求极大极小值这类问题上，费马大胆的引入了一个小变量。而且在最后的处理中还令这个小变量为零，这简直就是微分的雏形！费马是用E来表示这个小变量。展示的问题是在一条线段上截取一点x，使得以这个点为界的两个线段组成的长方形面积最大。也就是说求x(a-x)的极大值（x是变量，a是常量）。
　　费马采用的方法几乎跟微分解法思路一致，那就是引进一个变量，费马用E来表示，这时面积公式变成（x+E）（a-x-E）。由于前人已经有答案是x为中点时，面积为最大，而且其值为a²/4。费马对二次方程进行处理。令这个方程的两个根为x₁和x₁＋E.并把面积方程减去标准面积方程再除以方程的两个根之差（也就是E）。最后令E为零，可以得出x为中点时，面积为最大。
　　这个方法就是我们后来的微分求极值的方法。不过费马没有解释为什么可以令E为零，甚至没有提E是无穷小量。所以要说费马发明了微分，也比较牵强。
　　同时费马也没有把这种思路推广到一般情况。在这方面牛顿，莱布尼茨的思想就要深刻得多，所以我们只能说，费马第一次把微分展示给了众人，但是却没有说服众人，这个方法非常的有效和值得推广，所以发明微积分的重任还需要很多人的努力，费马只是轻轻点了点微分的穴道。
　　费马是怎么想到跟微分形式一样的公式来求极大值，我们还不得而知。也许是因为费马提前知道那个长方形的面积是当边长相等时达到最大值，经过反推得到了微分同样形式的公式。只可惜，费马没有得到一般情况下用微分的方式来求极大极小值的公式，否则微积分的历史乃至数学发展史就要改写了。
　　不过在费马那个时代，极限的概念还非常模糊。数学家对级数的收敛还没有好的理论，也就是说，微积分的基础还几乎没有，要求费马这个业余数学家得出微积分的一般公式，还是有些勉为其难。
　　有的同学在这里肯定会提出一些疑问。牛顿发明微积分时，极限和级数的理论一样没有很完善啊，为什么牛顿就能得出微积分的一般理论呢？这确实是一个难解之谜。
　　不过伟岗认为，牛顿的基础要比费马好很多。我们不提牛顿的老师巴罗也对微积分在几何上的应用有一定的思路。也不说牛顿对二项式展开定理有深刻地理解（这个对积分的发明特别重要），就是牛顿对物理方面运动的理解就比费马要深刻的多。别忘了，求瞬间速度是微分的重要应用之一。牛顿以他天才的思维，理清了现实世界物体运动的基本规律，在这个基础上，他不可能不思考到微分的运用。
　　如果抛开忽略无穷小量这个大的鸿沟，微分运算实际上就是计算速度。牛顿也许就是在演算速度公式时，发现只要忽略无穷小量就可以得到瞬间速度。当然，这只是伟岗的臆想，微积分的理论比计算瞬间速度要深刻得多，牛顿发明微积分需要做的工作远远大于物理方面的速度计算。
　　我们这里只能可惜费马仅仅在门缝里窥探了一下微分的威力，没有进行深入研究。不过以费马业余数学家的身份，能够做到这一点已经非常伟大了。
　　不仅仅是这一项求极大值的例子，费马还在探索求曲线的切线，长度以及围成的面积方面触及到微积分的理论。如果你对费马有无限的敬仰，你甚至可以认为费马差一点就发现了微分跟积分的互逆运算关系。要是在这方面费马也再深入一点，微积分的发明人真要归他所有了。
　　费马的求切线的方法来源于他跟笛卡尔的争执。笛卡尔虽然是坐标系的发明人，但他强烈反对把几何问题代数化。或者说笛卡尔非常反感代数方程的几何解释。这也许是因为笛卡尔太沉醉于古希腊几何的完美性，认为代数的引入，特别是把代数问题几何化，会破坏几何严密的逻辑。
　　我们不能忘了，笛卡尔最想成名的是让世人认为他是一个哲学家，而不是数学家。哲学家的眼里，数学只是一系列逻辑关系的组合。几何已经有很好的逻辑关系了，你再插入一个代数，是不是会破坏几何的整个逻辑链条？
　　到这里有些同学就会质疑了，既然笛卡尔认为几何完美，那他为什么要考虑发明坐标系？坐标系不就是要把代数问题几何化，或者几何问题代数化？这也许有点只知其一未知其二了。数学发展到了笛卡尔时代，完美的几何体系已经不存在了。也就是说，数学家光靠几何手段已经解决不了很多存在的问题。比如方程根的问题，再比如一些复杂几何图形的定量问题。
　　可以说到了笛卡尔时代，没有代数手段，很多现时的几何问题都无法解决。笛卡尔只不过是顺应了历史潮流，发明了坐标系，从而使很多数学问题得到解决。但是在笛卡尔的心目中，他的坐标系只是古希腊几何的一个补充。
　　笛卡尔还没有如此远见，预示到代数问题比几何问题要复杂得多。而且几何也不是光光限制在欧氏几何，有很多没有直观性的几何，你必须用代数的方法研究。在笛卡尔的心灵深处，也许他认为有了他的坐标系，一切问题都可以通过几何方式得到解决。
　　笛卡尔发明了坐标系，架起了代数跟几何的桥梁，但是笛卡尔没有认识到这座桥的重要性。他只是认为这座桥完善了几何学，这只能说是笛卡尔有历史局限性。
　　我们再回头来聊费马。费马是在研究抛物线和双曲线时，触及到微积分的思路的。这些研究包括抛物线的切线，抛物线的长度以及抛物线双曲线围成的面积。
　　从我们后人的观点看，求曲线的切线以及曲线所围成的面积，是最容易发现微分跟积分的互逆运算关系的。因为抛开严密的数学理论，曲线围成的面积正好是切线组成小矩形的面积之和。也就是说，求面积，可以先求切线，然后把切线归总求和，就得到面积了。当然，这需要严密的数学证明，而这个证明也不是那么直观容易得到的。所以费马没有从他的推断中得出微积分的理论也是情有可原的。
　　除了求切线的算法，费马的主要着眼点是计算y=xⁿ所围成的面积。不过费马不是用微分逆运算的方式求得面积的，而是通过求和，再忽略无穷小量得出面积函数为（n+1）分之x的（n+1）次方。不过考虑到费马同时还算出了切线函数为（n-1）乘以x的（n-1）次方，对比微积分的两个公式，是不是很容易联想到微分是积分的逆运算？可惜的是，费马没有迈出决定性的一步。微积分的发明自然不能算费马的功劳。
　　除了微积分方面的贡献，费马在数论发展上也是标志性的人物。古典数论历史一般分三个阶段，第一阶段是古希腊阶段，代表作是《几何原本》中证明的素数有无穷多个。这个阶段属于数论刚刚起步阶段。第二阶段就是费马了。除了费马大定理那个引发数学家三百多年证明求索的数论大难题，费马还对同余等问题进行了研究，那就是著名的费马小定理。可以说高斯的数论巨著《算术探究》正是在费马的基础上继续研究同余问题的，也就是说，古典数论到现代数论进化的第三阶段：高斯的《算术探究》的出版是费马研究工作的继续。
　　费马还在概率论的发展上也有一定贡献，这个我们留在谈拉普拉斯时，再详细聊聊。
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