普通人要不要了解现代数学的奥秘，或者说数学家要不要向一般人宣传现代数学，是当代数学家的一个心结。从理智和情感上讲，数学家非常想普罗大众能分享他们的研究成果，绝大多数人都渴望大众的认可，数学家也不例外。问题在于，现代数学的大多数内容都埋藏在数学逻辑推导的细节中，同时，现代数学的结果往往出乎大家的想象。而且很多结果又没有直观性，还需要很多数学上的一系列知识链去支撑它，否则外人看来就像天方夜谭。而讲清楚那些知识，可不是一朝一夕能办得到了。所以数学家在数学方面，跟大众对话非常的累。有一种不在一个频道的感觉。 从另一方面讲，可能是数学研究耗尽了数学家太多的精力，有名的大数学家往往讲话中气不足，比如陶哲轩，怀尔斯等，不像影星或者政治家那样具有煽动性。每当伟岗在油管上看那些思想极其深邃数学家的演讲，都有一丝遗憾的感觉，思维如此敏捷的人怎么说话那么低调，似乎自信心不强，很多重要内容竟然要要反复地听才能注意到！这给大家接触现代数学造成一定的障碍。 当然从好的一方面讲，现在的科技手段还能够给大家展示数学家的风采，听数学家细细叙述他们的思想。如果没有视频，你去读数学家的著作，你根本就读不下去。而且可能你连一点知识也学不到。伟岗前面就讲过，读黎曼猜想提出的原始论文，你根本就找不到黎曼猜想！也就是说，你连黎曼猜想怎么提出的都找不到，更不要说深入的解释和关联信息。读其它的论文也一样。怀尔斯证明费马最后定理的论文网上也可以下载到，可是你去读，也根本读不出一个知识点，说是天书都不过分。 怎样突破数学家跟大众的隔阂，目前谁也没有好办法。数学知识的积累太快了，而一般人受到的教育（指数学方面）又太初级。目前一个高中毕业生大概只能掌握古希腊时代的数学知识。如果你是个悲观主义的人，你甚至认为一般人可能连古希腊人的数学都掌握不了。也就是说普通人竟然落后数学家几千年！虽然在数学发展史上，停滞发展了几百年，但是后来高速发展阶段的近代现代数学竟然跟很多人无缘，这是一个极大的悲哀。 伟岗的观点是，我们现代人应该积极地去接触近代现代数学，虽然貌似学习了解这些数学知识没有什么现实作用。但是涓涓细流可以汇成大海，如果每个人或者很多人都积极去深入理解学习现代数学，大家就会在很多场合谈论数学，在谈论的过程中一些思维的火花就会迸发，这些火花肯定会极大推动现代数学被大众理解从而促进数学的发展。 当然了解学习现代数学难度还是比较大，这也许是大多数人放弃学习的主要原因。拿这个伽罗华群来说，几乎所有数学科普书都没有深入地探讨，最多也是提到对称性。可见这个话题是个禁区，数学家认为难度超过大众的理解。 其实伽罗华群可不是对称那么简单。伟岗前面写的两篇可以说是连伽罗华群的边都没有摸到，但是但是还是有很多同学朋友反应太难了，阅读量也严重下降，可见很多朋友同学都放弃了。也许目前市面上的数学科普书是对的，群论是科普很难说清楚的领域，深入地探讨群论有一点曲高和寡的味道。 不过伟岗还是想坚持写下去，虽然伟岗的水平非常有限，但是把高深的数学知识展现给大家一起探讨，也是一种乐趣。也希望多一点朋友同学跟伟岗一起尝试进入数学家的世界，如果大家都不关注数学家在干什么，数学的发展就会停滞不前了。 伟岗前面写了三篇关于群论的文章，大致总结一下就是，群论是研究一组数的结构，而不是研究具体数或者运算。要实现研究一组数的结构，数学家（伽罗华首创）把一组数放在一起，用4个规则把这些数组合在一起，也就是封闭性，结合律，单位元和逆元。不要小看这简单的4个规则，它开辟了一个崭新的世界。很多意想不到的结果都被数学家证明出来，其中最古老最重要的就是证明5次及5次以上方程没有根式解（事实上群论就是为了解决这个根式解难题而产生的）。 根式解问题产生的最根本原因是数的性质。伽罗华以他敏锐的洞察力断言，存在一类数，这类数满足5次及5次以上方程（也就是说是五次及5次以上方程的解），但是这类数无法通过其他有理数的加减乘除以及开方运算得到。而最最的关键地是，那些其他有理数就是5次及以上方程的系数。也就是说，5次及5次以上方程存在这样的解，它们无法用方程的系数通过加减乘除以及开方运算计算出来。 伽罗华证明了他的断言，用的就是他首创的群论。当然伽罗华也不是凭空想起群论这个理论，他第一步是引进拉格朗日的置换理论，提出置换群理论，这个是证明伽罗华定理（也就是5次及5次以上方程没有根式解定理）的关键。 置换群中的元素不是具体的数，而是置换运算，这是群论的第一个难点。在初等数学阶段，我们只习惯对具体的数或图进行运算推理，虽然有时候用字母来代替具体的数，给我们的运算推理造成很大的麻烦，但还是可以把那些字母想象成具体的数，甚至可以用具体的数去验算。到了群论阶段，你要用更抽象的思维来思考问题。置换群是一个起点。 要理解伽罗华理论，域论也是一个拦路虎。复杂的域论是证明伽罗华定理的必须。域论的存在，伟岗认为是为了把多项式跟群论结合起来。用群论的方法研究多项式，就是把多项式的系数提炼出来，通过对系数的组合，研究多项式组成方程根的性质，最终得出伽罗华定理。 分裂域是域论的一个难点，也是连接多项式系数和根的一个桥梁。分裂域不但把多项式的系数和根都组合在一起，而且组合的形式又采用了跟多项式因式分解有关的扩域方法。这些都是后来证明伽罗华定理的必须准备，只可惜到了这一步，伟岗也理解不了埋藏在扩域形式后面的逻辑关系，这个肯定跟伽罗华定理的证明有关，但关联在哪里就找不到直接的联系了。 有了扩域和分裂域，我们就可以看看什么是伽罗华群了。这又是一个非常抽象的东西，因为组成伽罗华群的元素既不是具体的数，也不是显而易见的转换（比如置换群的元素），而是被数学家定义为自同构的变换！ 伽罗华群的定义是这样的（还是按照抽象代数教科书）：假定E是F的伽罗华扩域，E的所有使F中元素固定不变的域自同构成为一个群，记这个群为G=Gal(E/F),称为扩域(E/F)的伽罗华群。 上面这个定义虽短，却有很多数学秘密，这些秘密现在的数学科普书读不到，但愿不久的将来，大众的数学水平提高了，这样的定义就像方程的定义一样广为人知。 首先，什么叫伽罗华扩域？伽罗华域实际上就是有限域的代名词。数学越往深处学，名词和代号符号会成为巨大的障碍。就连舒尔茨这样的天才，也有一个专门的柜子放置关于数学代号符号及名词的文档，随时查阅，可见这些内容的繁杂且不容易记住。我们数学水平比较低的人，之所以读到现代数学家的文献感到像天书，最令人困惑的就是一堆数学符号，你根本搞不清这些符号代表什么意思，怎么来的。但愿以后印刷技术发展了，点一个符号就可以看到它的意思，这样数学的推广和发展会上一个台阶。有限域就是元素个数有限的域，这个好理解； 为什么要采用扩域的形式来定义伽罗华群也是相当困扰大家的。为什么不直接就定义一个域呢？这里面大有讲究。把多项式系数跟方程的根既组合又区别对待，这是伽罗华理论的精髓。 事实上从教科书后面的内容看，正是因为有了扩域才使得判断多项式方程有没有根式解成为可能。这里面也有很多数学家不愿意讲给大众听的秘密，因为这些内容有一定的难度。按照伟岗的理解，粗略地讲，当一个方程在实数域里没有解，这时它在实数域里因式分解就不可能（数学家称之为不可约），但是这个方程在复数域里肯定是有根的，这时多项式的分裂域可以由多项式方程的根来表示。通过这个分裂域可以求出多项式伽罗华群的阶数，通过这个阶数加上其他条件就可以判断多项式方程有没有根式解。 上面这些叙述蕴含的数学知识还是太多，对于普通人也许暂时忽略它们比较合适，大家只要知道，伽罗华精妙地把多项式系数和多项式组成方程的根结合在一个群中，同时又区别对待了多项式系数和根，这使得在数学证明上有很多特殊手段，找到一个方程有没有根式解的充分必要条件。 接下来域的自同构又是一个三言两语讲不清楚的数学概念。第一，你必须理解同构。我们前面讲过，群是研究数的结构的。同构的概念就相当于运算中的等号。也就是说，在群论中，如果两个群同构，那么就可以当做是一个群来研究。那么怎样才使得两个群同构呢？数学家把两个群之间如果存在一一对应的关系（数学上叫映射），那么两个群就同构。当然还有很多细节要去理解，不过大体上讲，两个群只要群里的元素能够对应起来，那么两个群的结构就是一致的，也就是同构。至于对应方式，在群论中就很少研究，毕竟群论是研究群结构的，而不是研究怎样得到一个特定的结构，所以群论中的对应（也就是映射）是个抽象的东西，没有具体内容，但是又确实存在，这也许是数学家不愿意给大众上课讲同构的主要原因。你必须热爱数学，发挥你的数学想象力，才能真正理解同构和映射这样的数学知识。 自同构是建立在同构基础上。它是指一个群内部的同构。这又怎么理解呢？简单讲，就是如果存在映射，能把群的一些元素映射到群里其它元素上，那么这些映射就是自同构。按照伽罗华群的定义，构成伽罗华群的自同构是把多项式扩域的元素映射到多项式系数上。也就是说，这样的变换，他们把多项式扩域中的元素通过变换能够等于多项式的系数。有了这样的解释，几个巨大的疑问就产生了，这样的变换存在吗？就算默认这些变换存在，它们真能构成一个群吗？就算数学家有天才，证明了这些自同构组成了一个群，我们怎么去求这些自同构啊？毕竟自同构是个抽象的东西，它们甚至没有固定的形态，这样的东西在数学上怎么去操作它们？ 你还别说，伽罗华以及后续的数学家还真是天才，这样的自同构竟然被他们拿来充分地研究，甚至对于具体的方程，他们也能从某种意义讲求出了全部自同构。当然这里所说的求出，不是具体地列出了自同构，而是把自同构群同构到一类群（具体讲就是置换群）上，从而用来证明5次以及5次以上方程在什么条件下没有根式解，你不服还真不行。 不过这些内容要写起来，篇幅又太长，今天就暂时写到这里吧。文章结尾还是要感谢朋友同学的鼓励打赏，谢谢了！ 最后做点小广告，如有打扰，请多多包涵！喜欢飞镖的朋友同学请关注伟岗的飞镖小店：伟岗飞镖。飞镖运动源于英国，是非常正式的体育竞技项目，欧美特别是英国美国非常流行，大家有空可以关注关注，谢谢！！