几何原本命题7命题15的证明过程

　　在上篇文章《《几何原本》-与圆有关的平面几何（1） 》中， 我向大家讲解了欧几里德是如何对《几何原本》第3卷中的命题1~命题6进行证明的。
　　命题1~命题6就像生活常识一样，如＂可以作出已知圆的圆心＂、＂圆上两点的连线在圆内＂、＂两圆相交，圆心不同＂、＂两圆相切，圆心不同＂。估计好多人和我一样，看到这些命题的第一反应是：这还需要证明吗？但是，如果真的让我们去证明这些命题，确实一时也不好办。
　　这6个命题看着虽然很简单，但想直接证明也不容易。欧几里德则是使用了假设法进行的证明，假设法的思路是，先假设与命题相反的结论，然后推导出矛盾的结论，从而假设不成立，原命题成立。《几何原本》中很多命题的证明都使用上了 假设法 ，还有引发第一次数学危机的无理数，它的发现过程也是使用了 假设法 。
　　从中我们能看出，相比这些结论，数学家解决问题使用的方法所带来的启发更重要，也更让人印象深刻，而这也是我们学习科学家原著的原因。
　　这一讲我继续进行命题7~命题15的讲解，让我们一起来看看欧几里德又证明了哪些命题，使用了哪些方法。命题7：如果在一个圆的直径上取一个不是圆心的点，在过该点相交于圆的所有线段中，最长的线段是过圆心的那条，最短的是同一直径上剩下的线段。在其他线段中，离圆心近的线段比离得远的长，过该点到圆上只有两条线段相等，且分别在最短线段的两边。
　　已知在原ABCD中，AD是直径，在AD上任取一个非圆心的点F。设E是圆心，过点F向圆ABCD上作线段FB、FC和FG。
　　目标1：证明FA是最长的线段，FD最短，其次，FB大于FC，FC大于FG。
　　证明：
　　1、连接BE、CE、GE。
　　2、因为三角形两边之和大于第三边，所以BE+EF>BF。（第1卷 命题20）
　　3、又AE=BE，所以AF>BF。
　　4、又在三角形BEF与三角形CEF中，BE=CE，EF=EF，角BEF>CEF，所以BF>CF。（第1卷 命题24）
　　5、同理，CF>FG。
　　6、因为三角形两边之和大于第三边，所以EF+FG>EG。（第1卷 命题20）
　　7、又ED=EG，所以EF+FG>ED。
　　8、等式同时减EF，于是FG>FD。所以FA是最长的线段，FD最短，其次，FB大于FC，FC大于FG。
　　目标2：证明过点F到圆ABCD上的线段仅有两条相等，且各在最短线段FD的两边。
　　9、以EF为边，E为顶点作角FEH=角FEG。（第1卷 命题23）
　　10、连接FH。
　　11、因为EG=EH，角FEH=角FEG，EF=EF，所以FG=FH。（第1卷 命题4）
　　12、假设圆上还存在H以外一点K，使得FK=FG。
　　13、因为FG=FH，所以FK=FH，即靠近圆心的线段等于远离圆心的线段，这是不可能的。
　　14、因此假设不成立，所以过点F到圆上的线段再无另一条线段等于GF。
　　证明完毕。
　　说明：本命题的证明使用了假设法。 命题8：如果在圆外任取一点，过该点作通过圆的线段，其中一条线段过圆心，其他线段都是任意画的，则在凹圆弧上的线段中，过圆心的线段最长。在其他线段中，靠近圆心的线段大于远离的线段。而在凸圆弧上的线段中，在取定的点到直径之间的一条线段最短。在其他线段中，靠近圆心的线段小于远离的线段，且在该点到圆周上的线段中，彼此相等的线段只有两条，它们各在最短线段的一侧。
　　已知ABC是一个圆，点D是圆ABC外任意一点，过点D作DA、DE、DF和DC，设DA过圆心。
　　目标：证明在凹圆弧AEFC上的线段中，最长的是过圆心的线段AD，且DE大于DF，DF大于DC。在凸圆弧HLKG上的线段中，最短的是该点和直径AG之间的线段DG，且靠近最短线段DG的线段小于远离的线段，即DK小于DL，DL小于DH。
　　证明：
　　1、设圆的圆心为M。（第3卷 命题1）
　　2、连接ME、MF、MC、MK、ML和MH。
　　3、因为AM=EM，两边同时加MD，于是AD=EM+MD。
　　4、在三角形MED中，EM+MD>DE。（第1卷 命题20）
　　5、所以AD>DE。
　　6、在三角形EMD、FMD中，EM=FM，MD=MD，角EMD>角FMD，所以ED>FD。（第1卷 命题24）
　　7、同理，FD>CD。
　　8、所以AD>DE>FD>CD。
　　9、因为MK+KD>MD(第1卷 命题20)，MG=MK，所以KD>GD。
　　10、因为在三角形MLD中，在MD的上方，有两条直线MK和KD相交于三角形内，所以MK+KD于是GD。
　　接下来证明从D到圆周的线段中，只有两条线段相等，且各在最短线段DG的一边。
　　13、以MD上的一点M作角DMB=角DMK。（第1卷 命题23）连接DB。
　　14、因为MK=MB，MD=MD，角DMB=角DMK，所有DK=DB。（第1卷 命题4）
　　15、假设除DB以外，点D到圆周上有另外一条线段DN=DK。
　　16、因为DN=DK、DK=DB，所以DB=DN，即靠近最短线段DG的等于远离的，而这在本命题已证明是不可能的，因此假设不成立，即过点D到圆周的线段中，只有两条线段相等，且各在最短线段DG的一侧。
　　证明完毕。
　　说明：本命题的证明使用了假设法。 命题9：如果在圆内的任意一点到圆周的线段中，有超过两条线段相等，那么这点就是该圆的圆心。
　　已知圆ABC，点D是圆内一点，由点D到圆ABC的圆周的相等线段有DA、DB、DC。
　　目标：证明点D是圆ABC的圆心。
　　证明：
　　1、连接AB、BC，取AB、BC的二等分点E、F。（第1卷 命题10）
　　2、连接ED、FD并向两侧延伸，与圆相交于点K、G、L、H。
　　3、因为AE=EB，ED=ED，DA=DB，所以角AED=角BED。（第1卷 命题8）
　　4、所以角AED=角BED=直角。（第1卷 定义10）
　　5、所以GK平分且垂直于AB。
　　6、因为如果在一个圆内一条线段截另一条线段成相等的两部分，且交成直角，则圆心在前一条直线上。（第3卷 命题1推论）即圆心在GK上。
　　7、同理，圆心也在HL。
　　8、因为GK、HL除点D以外没有其他公共点，所以点D是圆ABC的圆心。
　　证明完毕。命题10：一个圆截另一个圆，交点不多于两个。
　　证明：
　　1、已知圆ABC截圆DEF的交点多于两个，设交点为B、G、F、H。
　　2、连接BH、BG，作BH、BG的二等分点K、L。（第1卷 命题10）
　　3、过点K、L分别作HB、BG的垂线，垂线分别与圆ABC、DEF相交于点A、C和M、E。（第1卷 命题11）
　　4、因为圆ABC中一条弦AC平分且垂直于另一条弦HB，所以圆ABC的圆心在AC上。（第3卷 命题1推论）
　　5、又因为圆ABC中一条弦NO平分且垂直于另一条弦BG，所以圆ABC的圆心在NO上。（第3卷 命题1推论）
　　6、因为圆ABC的圆心在AC、NO上，AC、NO除点P外无其他交点，所以点P是圆ABC的圆心。
　　7、同理，可证点P是圆DEF的圆心。
　　8、于是，圆ABC与圆DEF相交，有共同圆心P，这与本卷命题5＂两圆相交，圆心不同＂矛盾，因此假设不成立。因此圆ABC、DEF交点不多于两个。
　　证明完毕。
　　说明：本命题的证明使用了假设法。 命题11：如果两个圆内切，找到它们的圆心并用线段连接这两个圆心，这条线段的延长线必过两圆的切点。
　　已知两圆ABC和ADE相互内切于点A，圆ABC的圆心为F，圆ADE的圆心为G（第3卷 命题1）。
　　目标：证明连接GF的线段的延长线必经过点A。
　　证明：
　　1、假设连接GF的线段不经过点A。
　　2、延长FG，与圆ADE、圆ABC分别相交于点D、H，连接AG、AF。
　　3、在三角形AGF中，AG+GF>AF。（第1卷 命题20）
　　4、因为点F是圆ABC圆心，所以AF=FH，于是AG+GF>FH。
　　5、两边同时减去FG,于是AG>GH。
　　6、又AG=GD，所以GD>GH，即小的大于大的，这是不可能的。
　　7、于是假设不成立，因此GF线段的延长线经过点A。
　　证明完毕。
　　说明：本命题的证明使用了假设法。 命题12：如果两圆外切，则两圆圆心的连线必经过切点。
　　已知圆ABC、ADE外切于点A，设圆ABC的圆心为F，圆ADE的圆心为G。（第3卷 命题1）
　　目标：证明F、G的连线经过切点A。
　　证明：
　　1、假设F、D的连线不经过点A，并与圆ABC、ADE分别相交于点C、D。
　　2、因为点F、G是圆ABC、ADE的圆心，所以FA=FC、GA=GD。
　　3、于是FA+AG=FC+DG。
　　4、在三角形AFG中，AF+AG>FG。（第1卷 命题2 ）
　　5、所以FC+DG>FG，即小的大于大的，这是不可能的。
　　6、于是假设不成立，所以F、G的连线经过切点A。
　　证明完毕。
　　说明：本命题的证明使用了假设法。 命题13：一个圆与另一个圆无论是内切还是外切，切点不超过一个。
　　证明：
　　情形一：证明两圆内切，切点不超过一个。
　　1、假设圆ABDC与圆EBFD内切，切点超过一个，点D与点B为其中的2个内切点。
　　2、设圆ABDC的圆心为G，圆EBFD的圆心为H。（第3卷 命题1）
　　3、连接GH。
　　4、由命题11的结论可知，GH的延长线必经过切点B、D。（第3卷 命题11）
　　5、因为圆ABDC的圆心为G，所以BG=GD。
　　6、因为GD>HD，所以BG>HD。
　　7、又因为BH>BG，所以BH>HD。
　　8、因为点H是圆EBFD的圆心，所以BH=HD。
　　9、而步骤7已证得BH>HD,这与BH=HD不符，因此假设不成立，所以圆ABCD与圆EBFD内切，切点只有一个。
　　情形二：证明两圆外切，切点不超过一个。
　　10、假设圆ACK与圆ABDC外切，切点不止一个，点A、C是其中的2个外切点。
　　11、连接A、C。
　　12、因为A、C是圆ACK与圆ABCD上任意两点，所以线段AC落在每个圆的圆内。（第3卷 命题2）
　　13、因此两圆相交于A、C，这与两圆外切的事实矛盾，于是假设不成立。
　　14、因此圆ACK与圆ABCD外切，切点只有一个。
　　证明完毕。
　　说明：本命题的证明使用了假设法。 命题14：在一个圆中，相等弦的弦心距相等；弦心距相等的弦彼此相等。
　　证明：
　　情形一：在一个圆中，相等弦的弦心距相等。
　　已知圆ABDC内两条弦AB、CD彼此相等。
　　目标：证明AB、CD的弦心距相等。
　　1、假设圆ABDC的圆心为E。（第3卷 命题1）
　　2、过点E作EF、EG分别垂直AB、CD于F、G。（第1卷 命题12）
　　3、连接AE、EC。
　　4、因为E是圆心，EF垂直AB，所以AF=FB。（第3卷 命题3）
　　5、同理CG=CD。
　　6、又因为AB=CD，于是AF=CG。
　　7、在直角三角形EFA中，以EF、FA为边的正方形面积之和等于以EA为边的正方形面积。（第1卷 命题47）
　　8、同理，以EG、GC为边的正方形面积之和等于以EC为边的正方形面积。
　　9、因为FA=CG，EA=EC，所以EF为边的正方形面积等于以EG为边的正方形面积，于是EF=EG，所以弦AB、CD的弦心距相等。
　　情形二：在一个圆中，弦心距相等的弦彼此相等。
　　已知圆ABDC内两条弦AB、CD的弦心距彼此相等，即EF=EG。
　　目标：证明AB=CD。
　　10、因为EF是弦AB的弦心距，所以EF垂直AB。（第3卷 定义4）
　　11、因为E为圆心，EF垂直AB，所以AF=FB，AB=2FA。（第3卷 命题3）
　　12、同理，CG=GD，CD=2CG。
　　13、在直角三角形EFA中，以EF、FA为边的正方形面积之和等于以EA为边的正方形面积。（第1卷 命题47）
　　14、同理，以EG、GC为边的正方形面积之和等于以EC为边的正方形面积。
　　15、因为EF=EG，EA=EC，所以FA为边的正方形面积等于以EG为边的正方形面积，于是FA=GC。
　　16、又AB=2FA、CD=2CG，所以AB=CD。
　　证明完毕。
　　说明：本命题的证明需要用到第1卷命题47的结论，该结论正是大名鼎鼎的勾股定理。 命题15：在一个圆中，直径是最长的弦，其他越靠近圆心的弦总是比远离的长。
　　已知ABCD是一个圆，AD是圆的直径，E是圆心，弦BC靠近圆心，弦FG远离圆心。
　　目标：证明AD最长且BC大于FG。
　　证明：
　　1、过点E作EH、EK分别与BC、FG垂直。（第1卷 命题12）
　　2、因为BC靠近圆心，FG远离圆心，所以EK>EH。（第3卷 定义5）
　　3、在EK上取一点L，使EL=EH。（第1卷 命题3）
　　4、过点L作LM垂直EK，LM与圆ABCD相交于M。（第1卷 命题11）
　　5、延长ML与圆ABCD相交于N，连接ME、EN、FE和EG。
　　6、因为EH=EL，所以BC=MN。（第3卷 命题14）
　　7、在三角形EMN中，EM+EN>MN。（第1卷 命题20）
　　8、因为EA=EM=EN=ED，所以AD>MN。
　　9、又因为BC=MN，所以AD>BC。
　　10、因为ME+EN=FE+EG，角MEN>角FEG，所以MN>FG。（第1卷 命题24）
　　11、又因为MN=BC，BCFG。
　　证明完毕。
　　好了，命题7~命题15的讲解就到这里了，下一讲，我们继续学习《几何原本》第3卷＂与圆有关的平面几何＂。
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