几何原本与圆有关的平面几何（5）命题31命题37的证明过程

　　在前四篇文章《《几何原本》-与圆有关的平面几何（1） 》、《《几何原本》-与圆有关的平面几何（2）-命题7~命题15的证明过程》、《《几何原本》-与圆有关的平面几何（3） 命题16~命题22的证明过程 》、《《几何原本》-与圆有关的平面几何（4） 命题23~命题30的证明过程》中，我对《几何原本》第3卷命题1-命题30是如何证明的进行了讲解。
　　这一讲我继续向大家介绍第3卷最后7个命题是如何证明的：命题31：在一个圆内，半圆上的角是直角，较大的弓形上的角小于直角，较小的弓形上的角大于直角；且较大的弓形角大于直角，较小的弓形角小于直角。
　　已知ABCD是一个圆，设BC是其直径、E是圆心。连接BA、AC、AD和DC。
　　目标：证明半圆BAC上的角BAC是直角，大于半圆的弓形ABC上的角ABC小于直角，小于半圆的弓形ADC上的角ADC大于直角。
　　证明：
　　1、连接AE，延长BA至F。
　　2、因为EA=EB，所以角EAB=角EBA。（第1卷 命题5）
　　3、因为EA=EC，所以角EAC=角ECA。（第1卷 命题5）
　　4、于是角BAC=角ABC+角ACB。
　　5、又角FAC是三角形ABC的外角，所以角FAC=角ABC+角ACB。（第1卷 命题32）
　　6、于是角BAC=角FAC，所以它们都是直角。（第1卷 定义10）
　　7、所以半圆BAC上的角BAC是直角。
　　8、又角FAC=直角=角ABC+角ACB，所以角ABC小于直角，且它是大于半圆的弓形ABC上的角。
　　9、又因为ABCD是圆内接四边形，所以其对角的两角和等于直角（第3卷 命题22），又角ABC小于直角，所以其对角ADC大于直角，且它是小于半圆的弓形ADC上的角。
　　10、因为角BAC=角FAC=直角，所以由弦AC与圆弧AB所围成的角大于直角，即优弧ABC与弦AC所围成的角大于直角，即较大的弓形角大于直角。
　　11、同理因为角BAC=角FAC=直角，所以由弦AC与圆弧AD所围成的角小于直角，即劣弧ADC与弦AC所围成的角小于直角，即较小的弓形角小于直角。
　　证明完毕。命题32：若直线与圆相切，由切点过圆内作一条直线将圆截成两部分，那么切线与该直线所夹的角等于另一弓形上的角。
　　已知直线EF与圆ABCD相切于点B，过点B作BD与圆ABCD相交于点D，将圆截成两部分。
　　目标：证明BD与切线EF所夹的角等于另一个弓形上的角，即证明角FBD=角BAD，角EBD=BCD。
　　证明：
　　1、过点B作BA与EF成直角（第1卷 命题11），并与圆相交于点A。
　　2、在圆弧BD上任取一点C，连接AD、DC、CB。
　　3、因为EF与圆相切于点B，BA过切点B且与切线EF垂直，所以圆心在BA上。（第3卷 命题19）
　　4、于是BA是圆ABCD的直径，所以角ADB是半圆上的角，角ADB=直角。（第3卷 命题31）
　　5、于是在三角形ADB中，剩余的角BAD与ABD之和等于一个直角。（第1卷 命题32）
　　6、又角ABF=直角，所以ABD+DBF=直角。
　　7、等式两边同时减去ABD，剩余的角DBF等于另一弓形上的角BAD。
　　8、又ABCD是圆内接四边形，所以角BAD+角BCD=两直角和。（第3卷 命题22）
　　9、又角DBF+角DBE=两直角和（第1卷 命题13），角DBF=角BAD，所以角BCD=角DBE。
　　证明完毕。命题33：在给定直线上作一弓形，使其所含的角等于给定的直线角。
　　已知AB是给定直线，C是给定直线角。
　　目标：在直线AB上作一弓形，使其所含的角等于C。
　　此时，角C可以是锐角、直角或者钝角。
　　证明：
　　情形一：假设角C是锐角。
　　1、在直线AB上，以A为顶点，作角BAD=角C。（第1卷 命题23）
　　2、因为角C是锐角，所以角BAD也是锐角。
　　3、作直线AE与DA成直角。（第1卷 命题11）
　　4、作AB的二等分点F。（第1卷 命题10）
　　5、过点F作FG与AB成直角，并与AE相交于点G。（第1卷 命题11）
　　6、连接GB。因为FA=FB、FG=FG、角GFB=角GFA=直角，所以三角形AFG全等于三角形BFG，所以AG=BG。（第1卷 命题4）
　　7、以G为圆心，GA为半径，经过点B作圆，并与AE相交于E。设作好的圆为ABE，连接EB。
　　8、因为AD在直径AE的的端点A上，并与AE成直角，所以直线AD与圆ABE相切。（第3卷 命题16推论）
　　9、因为AD与圆ABE相切，直线AB过切点A，并与圆相交于B，所以角DAB等于另一弓形上的角AEB。（第3卷 命题32）
　　10、又角DAB=角C，所以角AEB=角C，即弓形AEB在给定直线AB上，且包含的角与给定角C相等。
　　情形二：假设角C是直角。
　　11、作角BAD=角C。（第1卷 命题23）
　　12、作AB的二等分点F。（第1卷 命题10）
　　13、以F为圆心，FA或者FB为半径作圆ABE，连接AE、EB。
　　14、所以，直线AD与圆ABE相切。（第3卷 命题16推论）
　　15、因为AB是直径，所以角AEB=直角。（第3卷 命题31）
　　16、又角C=直角，所以角AEB=角C，即弓形AEB上的角等于角C。
　　情形三：假设角C是钝角。
　　17、在直线AB上，以A为顶点，作角BAD=角C。（第1卷 命题23）
　　18、作直线AE与DA成直角。（第1卷 命题11）
　　19、作AB的二等分点F。（第1卷 命题10）
　　20、过点F作FG与AB成直角，并与AE相交于点G，连接GB。（第1卷 命题11）
　　21、因为FA=FB、FG=FG、角GFB=角GFA=直角，所以三角形AFG全等于三角形BFG，所以AG=BG。（第1卷 命题4）
　　22、以G为圆心，GA为半径，经过点B作圆，并与AE相交于E，设作好的圆为ABE。
　　23、因为AD在直径AE的的端点A上，并与AE成直角，所以直线AD与圆ABE相切。（第3卷 命题16推论）
　　24、因为AD与圆ABE相切，直线AB过切点A，并与圆相交于B，所以角DAB等于另一弓形上的角AHB。（第3卷 命题32）
　　25、又角DAB=角C，所以角AHB=角C，即弓形AHB在给定直线AB上，且包含的角与给定角C相等。
　　证明完毕。命题34：在给定圆内，截取一弓形，使其含有的角等于给定直线角。
　　已知ABC是给定圆，D是给定直线角。
　　目标：在圆ABC内截取一弓形，使其含有的角等于给定直线角。
　　证明：
　　1、设EF与圆ABC相切于点B。
　　2、在直线FB上，以点B为顶点，作角FBC等于角D。（第1卷 命题23）
　　3、因为直线EF与圆ABC相切，BC过切点且与圆相交，所以角FBC等于另一弓形BAC上的角，即角FBC=角BAC。（第3卷 命题32）
　　4、又角FBC=角D，所以角BAC=角D，即弓形BAC上的角等于角D。
　　证明完毕。命题35：如果圆内有两条弦相交，则其中一条弦的两段所构成的矩形等于另一条弦的两段所构成的矩形。
　　已知AC和BD是圆ABCD内的两条弦，且相交于点E。
　　目标：证明AE和EC为边长所构成的矩形面积等于DE和EB为边长所构成的矩形面积。
　　此时，AC和BD可能经过圆心，也可能不经过圆心。
　　证明：
　　情形一：AC和BD经过圆心。
　　1、设E是圆ABCD的圆心。（第3卷 命题1）
　　2、因为AC、BD经过圆心，所以AE=EC=BE=EC。
　　3、所以由AE和EC所构成的矩形面积等于DE和EC所构成的矩形面积。
　　情形二：AC和BD不经过圆心。
　　4、设F是圆ABCD的圆心。（第3卷 命题1）
　　5、过F作FG、FH分别垂直于弦AC和DB。（第1卷 命题12）
　　6、连接FB、FC和FE。
　　7、因为FG经过圆心且与不经过圆心的直线AC成直角，所以GF平分AC，AG=GC。（第3卷 命题3）
　　8、又AG=GC，所以以AE、EC为边长的矩形面积与以EG为边长的正方形面积之和等于以GC为边长的正方形面积。（第2卷 命题5）
　　9、两边同时加上以GF为边的正方形面积，于是以AE、EC为边长的矩形面积加上以EG为边长、以GF为边长的两个正方形面积等于以GC为边长、以GF为边长的两个正方形面积之和。
　　10、以FE为边长的正方形面积等于以GF、EG为边长的两个正方形面积之和。（第1卷 命题47）
　　11、以FC为边长的正方形面积等于以GC为边长、以GF为边长的两个正方形面积之和。（第1卷 命题47）
　　12、所以以AE、EC为边长的矩形面积加上以FE为边长的正方形面积等于以FC为边长的正方形面积。
　　13、同理，以BE、ED为边长的矩形面积加上以EF为边长的正方形面积等于以BF为边长的正方形面积。
　　14、又BF＝FC，FE＝EF，所以以AE、EC为边长的矩形面积等于以BE、ED为边长的矩形面积。
　　证明完毕。命题36：若在圆外任取一点，由该点作两条直线，其中一条与圆相交，另一条与圆相切，那么由圆截得的整个线段与圆外定点与凸弧之间一段所构成的矩形面积，等于切线上的正方形面积。
　　已知D是圆ABC外一点，过点D有2条线段DCA、DB。设DCA与圆ABC相交于A、C两点，BD与圆相切于点B。
　　目标：证明以AD、DC为边长的矩形面积等于以DB为边长的正方形面积。
　　此时，有两种情况，DCA可能经过圆心，也可能不经过圆心。
　　证明：
　　情形一：DCA经过圆心。
　　1、设F是圆ABC的圆心，连接FB。
　　2、因为B是切点，所以角FBD是直角。（第3卷 命题18）
　　3、因为FC＝FA，于是以AD、DC为边长的矩形面积加上以FC为边长的正方形面积等于以FD为边长的正方形面积。（第2卷 命题6）
　　4、又FC=FB，所以以AD、DC为边长的矩形面积加上以FB为边长的正方形面积等于以FD为边长的正方形面积。
　　5、因为角FBD是直角，所以以FD为边长的正方形面积等于以FB、BD为边长的两个正方形面积之和。（第1卷 命题47）
　　6、所以以AD、DC为边长的矩形面积加上以FB为边长的正方形面积等于以FB、BD为边长的两个正方形面积之和。
　　7、等式两边同时减去以FB为边长的正方形面积，于是以AD、DC为边长的矩形面积等于以切线DB为边长的正方形面积。
　　情形二：DCA不经过圆心。
　　8、设圆心为E。
　　9、过点E作EF垂直AC于F。（第1卷 命题12）
　　10、连接EB、EC、ED。
　　11、因为B是切点，所以角EBD是直角。（第3卷 命题18）
　　12、因为E是圆心，EF垂直弦AC于F，所以AF=FC。（第3卷 命题3）
　　13、因为FC＝FA，所以以AD、DC为边长的矩形面积加上以FC为边长的正方形面积等于以FD为边长的正方形面积。（第2卷 命题6）
　　14、等式两边同时加上以FE为边长的正方形面积，于是以AD、DC为边长的矩形面积加上以FC、FE为边长的两个正方形面积等于以FD、FE为边长的两个正方形面积。
　　15、因为角EFD是直角，所以以EC为边长的正方形面积等于以FC、FE为边长的两个正方形面积，以ED为边长的正方形面积等于以FD、FE为边长的两个正方形面积。（第1卷 命题47）
　　16、于是以AD、DC为边长的矩形面积加上以EC为边长的正方形面积等于以ED为边长的正方形面积。
　　17、因为角EBD是直角，所以以ED为边长的正方形面积等于以DB、EB为边长的两个正方形面积。（第1卷 命题47）
　　18、又EC＝EB，所以以AD、DC为边长的矩形面积加上以EB为边长的正方形面积等于以DB、EB为边长的正方形面积。
　　19、等式两边同时减去以EB为边长的正方形面积，于是以AD、DC为边长的矩形面积等于以DB为边长的正方形面积。
　　证明完毕。命题37：在圆外任取一点，由该点作两条直线，其中一条与圆相交，另一条落在圆上，如果由圆截得的整条线段与这条直线上由圆外定点与凸弧之间一段构成的矩形面积，等于落在圆上的线段上的正方形面积，则落在圆上的直线与圆相切。
　　已知点D是圆ABC外一点，过点D有两条直线DCA和DB，其中DCA与圆ABC相交于A、C两点，DB落在圆上。此时以AD、DC为边长的矩形面积等于以DB为边长的正方形面积。
　　目标：证明DB与圆ABC相切。
　　证明：
　　1、设DE与圆ABC相切于点E（第3卷 命题17），设圆ABC圆心为F，于是角FED是直角（第3卷命题18）。
　　2、连接FE、FB、FD。
　　3、因为DE与圆相切，直线DCA与圆相交，所以以AD、DC为边长的矩形面积等于以DE为边长的正方形面积。（第3卷 命题36）
　　4、又以AD、DC为边长的矩形面积等于以DB为边长的正方形面积，所以以DB为边长的正方形面积等于以DE为边长的正方形面积。
　　5、于是DB＝DE。
　　6、又FE＝FB，FD＝FD，所以三角形DEF与三角形DBF全等，角FBD＝角FED＝直角。（第1卷 命题8）
　　7、又点F是圆心，点B是圆上的点，角FBD＝直角，所以DB与圆ABC相切。（第3卷 命题16推论）
　　证明完毕。
　　好了，这一讲就到这了。
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