纳维尔

　　从太空中看，地球是一个美丽的、蓝白相间的球体。一提到＂地球＂这个词，我们就会联想到这个画面。然而，在二十世纪以前，人类只能仰望星空，太空旅行只不过是一个梦想。几乎没有人想过去地球以外的另一个世界旅行。
　　几位勇敢的拓荒者开始缓慢地向天空＂攀登＂。中国人首先做了这个尝试。公元前500年左右，鲁班发明了一种＂木鸟＂，这可能是最早的滑翔机。十七世纪氢的发现，激发了一些勇敢的人，他们乘氢气球飞向地球大气层的底层。但氢是可以爆炸的。1783年，法国的约瑟夫-米歇尔兄弟发明了热气球，这比氢气球更加安全。
　　人类所能达到的高度开始迅速增加。1903年，奥维尔·莱特和威尔伯·莱特夫妇进行了第一次动力飞机飞行。第一家航空公司DELAG（德国航空公司）于1910年开始运营。1914年，圣彼得堡-坦帕 汽船 航线开始商业飞行。商业航空旅行很快变得司空见惯。喷气式飞机也随之出现，波音707从1958年推出以来就成为了市场的领导者。
　　世界上第一家航空公司
　　1961年，苏联宇航员尤里·加加林乘坐东方一号（Vostok 1）首次进行了载人地球轨道飞行。1969年，美国宇航局的阿波罗11号将两名美国宇航员尼尔·阿姆斯特朗和巴兹·奥尔德林送上了月球。航天飞机于1982年开始运行飞行，由于预算限制，它无法实现最初的目标（可重复使用的快速周转的运载工具）。今天，马斯克已经雄心勃勃地想要征服火星，这将是人类的又一壮举。
　　地球是一个水的世界，有海洋、河流、湖泊。水最擅长的就是流动。水流可能是从屋顶上滴下来的雨水，也可能是瀑布一样的湍流。它可以是温和的、平滑的，也可以是汹涌的。
　　19世纪，数学家们推导出了流体方程。飞行所需的＂液体＂不像水那么明显，但却无处不在——空气。空气的流动在数学上更为复杂，因为空气是 可以压缩 的。数学家们通过修改 不可压缩流体方程 ，使之适用于可压缩流体，从而开创了一门科学： 空气动力学 。早期的先驱者可能凭经验飞行，但商用飞机和航天飞机能飞行是因为工程师们已经进行了计算。飞机设计需要对流体流动的数学有深刻的理解。
　　阿基米德早在2200年前就研究了漂浮物体的稳定性。1738年，荷兰数学家丹尼尔·伯努利发表了《流体动力学》，其中包含了流体在压力较低的区域流动更快的原理。如今，伯努利原理经常被用来解释为什么飞机能飞：机翼的形状是为了让空气在顶部表面流动得更快，从而降低压力并产生升力。这个解释有点过于简单，而且飞行中还涉及许多其他因素，但它确实说明了基本数学原理和实际飞机设计之间的密切关系。伯努利把他的原理体现在一个关于不可压缩流体中 速度和压力 的代数方程中。
　　1757年，欧拉在《柏林学院回忆录》上发表了一篇文章，名为《流体运动的一般原理》。这是用 偏微分方程 模拟流体流动的第一次尝试。为了使方程不那么复杂，欧拉做了一些假设：特别是， 他假设流体是不可压缩的 ， 并且是没有粘度的 。这些假设让他找到了一些解。欧拉方程今天仍然用于某些类型的问题，但总的来说，它太简单了，不具有太大的实用价值。
　　后来，有两位科学家提出了一个更现实的方程。 克劳德-路易斯·纳维尔（ 法国工程师和物理学家 ） 和 乔治·加布里埃尔·斯托克斯（ 爱尔兰数学家和物理学家 ） 。纳维尔在1822年推导出一套粘性流体流动的偏微分方程组。20年后，斯托克斯开始发表有关这一主题的文章。流体流动的最终模型现在被称为 纳维尔-斯托克斯方程 （ Navier-Stokes方程 ） （ 通常使用复数，因为这个方程是用矢量表示的，所以它有几个分量 ） 。
　　这个方程是如此精确，以至于现在工程师们经常使用计算机直接计算流体模型，而不是在风洞中进行物理测试。这项技术被称为计算流体力学（CFD），现在已成为任何涉及流体流动问题的标准技术： 航天飞机的空气动力学 、 一级方程式赛车和家庭汽车的设计、人体血液循环 等。
　　有两种方法可以观察流体的几何形状。一种是 跟踪单个微小流体颗粒 的运动，看看它们去了哪里。另一种方法是 关注这些粒子的速度： 它们在任何时刻移动的速度和方向。这两者是密切相关的，但这种关系很难理清，除非用数值近似。欧拉，纳维尔和斯托克斯的一个伟大的见解是：用速度来表示。流体的流动最好用 速度场 来理解。
　　速度场是一种数学描述，它描述的是速度在空间和时间中的变化。欧拉，纳维叶和斯托克斯写下了描述速度场的方程。然后就可以计算出流体的实际流动模式，至少可以得到一个很好的近似结果。
　　纳维尔-斯托克斯方程是这样的：
　　其中ρ是流体的密度，v是流体的 速度场 ，p是压力，T是应力，f是作用于整个区域的力（而不仅仅是作用于表面）。而 是偏导数的表达式，即
　　这个方程是从基础物理学推导出来的。与波动方程一样，关键的第一步是应用 牛顿第二运动定律 ， 将流体粒子的运动与作用在其上的力联系起来 。主要的力是 弹性应力 ，它有两个主要的组成部分： 由流体黏度引起的摩擦力 ， 以及正（压缩）)或负（拉升）压力的影响 。还有来自流体粒子自身加速的 体积力 。将所有这些信息结合起来，就得到了纳维尔-斯托克斯方程，它可以被看作是在这种特殊情况下 动量守恒定律的陈述 。基础物理是无可挑剔的，模型是足够现实的。像所有经典数学物理的传统方程一样，它是一个连续模型： 它假设流体是无限可分的 。
　　这（连续模型）也许是纳维尔-斯托克斯方程与现实脱节的主要地方，但只有当运动涉及到单个分子规模的快速变化时，才会出现问题。这种小尺度运动在一个至关重要的情况下非常重要： 湍流 。如果把水龙头开到最大，会看到一股冒着泡沫的水流。类似的泡沫流也发生在河流的急流中。这种效应被称为 紊流 。
　　求解纳维尔-斯托克斯方程很难。在（超级）计算机问世之前，数学家们只能简化和近似。流体流动的模式一直是数学研究的热门领域，但该领域中最大和最基本的问题之一仍然没有得到回答： 纳维尔-斯托克斯方程的解确实存在，是否有数学上的保证？ 能解决这个问题的人将获得100万美元的奖金，这是克莱研究所七个千禧奖问题之一。在二维流中答案是肯定的，但没有人知道 三维流 的答案。
　　尽管如此，纳维尔-斯托克斯方程提供了一个有用的 湍流模型 。湍流的主要问题是实际的： 几乎不可能数值求解纳维尔-斯托克斯方程 ， 因为计算机无法处理无限复杂的计算 。偏微分方程的数值求解是，将空间和时间划分为离散区域。为了捕捉湍流的运，我们需要一个非常精细的计算网格。因此，工程师们经常使用湍流的 统计模型 。
　　纳维尔-斯托克斯方程彻底改变了现代交通。最大的影响是在飞机的设计上，因为飞机不仅要高效飞行，而且还要稳定可靠地飞行。船的设计也受益于这个方程，因为水是流体。即使是普通的家用汽车也根据空气动力学原理进行设计，这不仅是因为它使汽车看起来美观，还因为它能有效地降低阻力，从而节省燃料。 计算流体力学（CFD）
　　在早期的飞机设计中，先驱们通过粗略的计算、物理直觉和反复试验将飞机组装在一起。很快，飞机的设计必须基于一种更合理、更可靠的方法。 空气动力学 诞生了，它的基本数学工具是 流体流动方程 。纳维尔-斯托克斯方程方程在空气动力学理论发展的过程中占据了中心位置。
　　然而，在没有现代计算机的情况下，解这些方程几乎是不可能的。因此，工程师们求助于物理模拟：将飞机模型放置在风洞中。如今，大多数F1车队都使用风洞来测试他们的赛车。现在计算机的能力已很强大，大多数车队都使用计算流体力学（CFD）。例如，下图显示了一辆汽车的空气流动的CFD计算。
　　也许最大的困难是在不影响空气流动的情况下精确测量空气的流动。如果在风洞里放一个仪器来测量气压，那么仪器本身就会干扰气流。CFD最大的优势是可以在不影响流体的情况下进行测量计算。现代制造工艺通常在设计阶段就使用计算机模型。
　　风洞模型在超音速飞机方面的研究尤其困难，因为需要非常大的风速。在这样的速度下，空气离开飞机的速度不能和飞机在空气中的速度一样快，这就导致了冲击波的产生，在地面上可以听到 音爆 。计算流体力学（CFD）被广泛应用于超音速飞机的气流预测。
　　CFD的方法被医学研究人员广泛用于了解人体的血液流动。数学分析人体血液流动非常困难，因为动脉壁是有弹性的。计算流体在刚性管中的运动已经很困难了，如果管子可以根据流体施加的压力改变它的形状，这就更难了。
　　CFD是解决这类问题的理想方法，因为计算机每秒可以进行数十亿次计算。
　　纳维尔-斯托克斯方程还有另一个应用： 气候分析 。气候和天气是相关的，但又是不同的。天气是指在给定的时间和地点发生的事情。众所周知，天气是不可预测的，不可预测的数学逻辑是混沌（这是另一个主题了）。
　　气候是天气的长期概念，降雨和温度在长期（也许是几十年）的平均情况下的表现。由于气候平均了这些差异，预测起来反而容易得多，但仍然很困难。气候对全球范围内的温度变化非常敏感。它们往往会使天气变得更加极端，干旱和洪水变得更加常见。气候的两个重要方面是大气和海洋。两者都是流体，都可以用 纳维尔-斯托克斯方程 来研究。