小乐数学科普数学与计算机科学2020年终总结译自量子杂志

　　作者：Bill Andrews 比尔·安德鲁斯，量子杂志，高级编辑 2020-12-23
　　译者：zzllrr小乐 2020-12-24
　　对于数学家和计算机科学家而言，2020年充满了跨学科的发现和对创造力的庆祝。几个长期存在的问题导致了持续的协作，有时还作为快乐的副产品回答了其他重要问题。尽管有些结果可以立即应用，研究人员可以改进发现或将其纳入其他工作，但其他结果目前仍是启发，暗示进展触手可及。
　　年初，量子杂志描述了五名计算机科学家如何确定对纠缠的量子计算机验证问题的极限能力。作为他们工作的一部分，研究小组还回答了物理学和数学领域的长期问题，这使一直致力于这些问题的研究人员感到惊讶。另一组的合作加强了连接遥远数学领域的深远桥梁。被称为朗兰兹对应关系的这座猜想桥为加深我们对许多数学子领域的理解提供了希望。
　　今年，我们还探索了数学家对几何构造的日益熟悉情况，研究了计算机程序如何帮助数学家提供证明，并调查了数学的现状及其存在的问题。但是，今年并非所有新闻都令人欣喜：COVID-19的大流行使在职数学家的研究复杂化，他们越来越依靠合作来推动这一领域的发展。这场流行病还夺走了伟大的数学家约翰·康威（John Conway）的生命，大约一个月前，我们就传出一个研究生解决了一个涉及他的标志性结的著名问题的消息。
　　计算机科学分支
　　有时，科学成果是如此重要，许多学科被迫引起重视。一月份就有这种例子，一个简单地称为＂ MIP * = RE＂的地标性证明。由五位计算机科学家撰写的论文证明，纠缠量子位计算的量子计算机可以从理论上验证对一系列问题的答案。在研究过程中，研究人员还回答了另外两个主要问题：物理学中的Tsirelson问题，有关粒子纠缠的模型以及纯数学中的一个问题，即孔涅 嵌入猜想（Connes embedding conjecture）。当然，对于研究工作涉及这个猜想的研究人员（该论据指出，无穷维矩阵总是可以用有限的矩阵来近似），突然从外部论文中得知这是错误的，很令人震惊。数学家现在必须重新审视与这些矩阵有关的其他假设，同时急忙学习足够的计算机科学以理解本文。
　　今年，计算机科学家还成功地解决了著名的旅行销售员问题，该问题涉及如何找到任何城市集合的最短往返行程。7月，三位计算机科学家使用一种称为多项式几何的数学学科来证明，现代算法比起长期存在的最佳方法可以无限小地提高效率。听起来至少相差至少＂ 1万亿分之一的2万亿分之一＂，但事实证明，这个问题持续了数十年，确实有可能取得进展。
　　Daniel Castro Maia开发数学思想的联系
　　近三十年前，费马最后定理的证明受到世界各地数学杂志和报纸的称赞。但这仅仅是更大努力的开始。该定理建立了一种遥远的数学大陆之间的桥梁，一侧是某些代数方程，另一侧是一种几何平铺的对称组织。当两篇论文极大地扩展了现在已连接的方程式和拼贴的类型并消除了进一步扩展的长期障碍时，这座桥梁被称为朗兰兹相关性（Langlands correspondence），得到了重大升级。芝加哥大学的马修·埃默顿（Matthew Emerton）说：＂有一些正在揭示的基本数论现象，而我们才刚刚开始理解它们是什么。＂
　　在其他数字新闻中，Vesselin Dimitrov使用另一个著名的桥梁-将多项式连接到幂级数-精确地量化多项式的某些数值解如何在几何上相互排斥。量子杂志还探索了表示论理论的力量，它展示了将称为群的复杂对象与更简单的矩阵概念联系起来的链接。所有这些结果都表明在新的情况下考虑现有数学思想的重要性，以弄清问题是否目前可以解决。例如，牛津大学的数学家詹姆斯·梅纳德（James Maynard）经常花时间来解决著名的难题，并且顽固地拒绝接受失败，并从质数之间的间距中获取新的见解。
　　卢卡斯·施拉根豪夫（Lukas Schlagenhauf）事物的形状
　　许多数学问题不会对现实生活产生影响，但是在3月，量子杂志承担了宇宙本身的几何学难题。我们对生活在平面，球形和双曲几何（根据当前数据，最有可能的选择）形状中的离奇展望的探索揭示了一个镜像大厅，你可以看到自己的无限副本，也可以看到同伴越来越大的世界。他们离开了。尽管某些线索暗示着我们的宇宙很可能是一个平坦的宇宙，但它可能只是看起来是平坦的，就像当您站在地球上时，地球看起来显然是平坦的一样。
　　在一个无关宇宙的领域，两位数学家终于在5月解决了一个古老的问题，即通过在光滑连续的闭环上连接点可以找到什么样的矩形。通过将可能的矩形重新想象为特殊版本的四维空间内的点的集合，这两个数学家发现所有此类循环都包含一些点集，​这些点集定义了任意比例的矩形。同样在五月，三位数学家解决了关于十二面体的一个基本问题（十二面体，对我们的专栏作家罗伯特·迪克格拉夫（Robbert Dijkgraaf）来说，是一种数学美的形式。）。他们表明，确实有可能在不经过任何其他拐角的情况下在形状的表面上跟踪往返行程，实际上，他们发现存在无限数量的此类路径。
　　Baka Arts计算机入侵数学
　　几十年来，数学家一直使用称为证明助手的计算机程序来帮助他们编写证明-但是人类一直在引导过程，选择证明的总体策略和方法。这可能很快就会改变。许多数学家对名为Lean的程序感到兴奋，该程序是一种高效且令人上瘾的证明助手，有一天可以帮助解决重大问题。不过，首先，数学家必须将数千年的数学知识（其中大部分是未书写的）数字化为Lean可以处理的形式。研究人员已经对一些最复杂的数学思想进行了编码，从理论上证明了该软件可以处理难题。现在，剩下的只是一个问题了。
　　该软件的一项重大测试将于明年在国际数学奥林匹克IMO上进行。微软研究院的丹尼尔·塞尔萨姆（Daniel Selsam）创立了IMO大挑战赛，该挑战赛希望利用Lean开发一种人工智能，该人工智能可以在数学竞赛中获得金牌。用电子计算机来代替人类我们还有很长的路要走，当然，许多数学家仍然没有完全接受这些程序。但是计算机现在已成为数学研究的主流，其纯粹的计算能力被证明对回答某些大问题至关重要，例如多维正方形是否必须精确地共边。
　　回归本源
　　如果您对数学感兴趣，但是不能从有限域中分辨出卡拉比-丘（Calabi-Yau）流形，那么我们的数学地图可能会有所帮助。正如数学家所理解和实践的那样，该地图围绕三个起点（数字，形状和变化）进行组织，提供了当前数学状态下的速成课程。显然，这并不是一个全面的主题，但我们的最大目标是不仅说明最重要的数学概念，而且说明它们之间的关系。
　　对基本数学思想的其他潜在有益的探索包括对哥德尔Gödel不完全性定理的解释，证明所有数学系统都有一些无法证明的陈述，并讨论称为p进制（p -adic）数的替代数系统如何工作以及为什么证明了它们有助于理解有理数。
　　Ian MacLellan约翰·康威的遗产
　　成功的数学家通常是富有创造力的人，能够发现新的联系并找到解决旧问题的新方法。2月，《数学年鉴》发表了Lisa Piccirillo的证明，后者在仍然是研究生的时候，用一些久负盛名但很少使用的数学工具回答了数十年来关于结的问题。长期以来，以传说中的数学家约翰·康威（John Conway）的名字命名的一个特定结一直躲避数学分类，因为它被称为＂切片＂。但是，通过开发适用于传统结分析的结版本，Piccirillo最终确定了康威结不是＂切片＂。
　　不幸的是，康威本人于四月死于COVID-19，他的妻子在我们的评论部分确认他不知道Piccirillo的结果。康威（Conway）自己的贡献远不止于结理论-他丰富了群论，数论，分析等等，同时始终对游戏和谜题感到快乐。量子杂志的十月洞察＂ October Insights＂难题向他致敬，其中包括他发明的数字谜语以及基于他或受其启发的游戏。