勾股定理引发的第一次数学危机

　　数学史上最伟大定理之一的勾股定理，在被毕达哥拉斯发现后不久，就引发了第一次数学危机，这场数学危机持续了2000多年，并改变了古希腊数学家的研究方向。下面让我们来探讨第一次数学危机是如何发生的。
　　一、毕达哥拉斯的观点
　　毕达哥拉斯认为万物都可以用整数或者整数之比表示。
　　这个很好理解：
　　整数，如1、2、3……
　　现实生活中所有物体的数量都可以用整数来表示，如1个苹果，2个菠萝，3个橙子……
　　整数之比，如1/2、3/4、3/2……
　　我们只需将一条已知的线段平均分为2段、4段，然后再取其中的1段、3段就得到了已知线段的1/2、3/4部分；同样地，将已知线段平分2段，取其中1段接在已知线段上就得到已知线段3/2部分。
　　二、勾股定理介绍
　　平时我们对勾股定律的描述是，直角三角形直角边的平方和等于斜边的平方。不过古希腊人陈述勾股定理用的确是几何术语而不是数，描述方式如下：
　　建立在两个较小边上的正方形的面积之和等于建立在最长边（斜边，即直角所对的边）上的正方形的面积。
　　几何图形描述如下：
　　正方形ABFG面积+正方形ACKH面积=正方形BCED面积（AB*AB+AC*AC=BC*BC）
　　这里再多说一句，虽然勾股定理是毕达哥拉斯发现的，但是他没有留下勾股定理的证明资料，今天我们能够看到最早关于勾股定理的证明方法，是欧几里得在《几何原本》＂第1卷 平面几何基础＂ 命题47中给予的证明，他是通过在上图的基础上添加辅助线来证明的，这里我就不展示了，等到后面专门写《几何原本》内容时，再来展示他的证明方法。
　　三、无理数的发现过程
　　勾股定理被毕达哥拉斯发现之后，毕达哥拉斯学派成员里就有人提出了一个问题：
　　如果有一个边长是一个单位长的正方形，以及最长边上面积是这个正方形面积2倍的另一个正方形，那么另一个正方形的边与这个正方形的边的比是多少？
　　这个时候我们还是引用上面那个图简单分析一下这个问题，首先我们先画出这个问题的图形出来，如下图所示：
　　假设正方形ABFG面积为a*a，最长边上正方形面积为2a*a，那么BC边与AB边长度的比是多少？
　　我们来分析一下这个问题，毕达哥拉斯不是提出＂万物都可以用整数或者整数之比表示＂，首先我们可以很快排除BC边的长为整数：
　　如果我们假设a=1，那么AB=1，BC*BC=2。我们知道，没有哪个整数的平方是等于2的，因为1*1=1、2*2=4，1和2之间没有整数，这样我们就可以排除BC边的长为整数。
　　即然BC边的长不是整数，那按照毕达哥拉斯＂万物都可以用整数或者整数之比表示＂的说法，BC边就只可能表示为两个整数的比。
　　这时候，就有人提出了一个推理过程：
　　首先，我们来做一个定义。
　　假设BC的长可以表示为2个整数的比，并且这2个整数没有除了单位1之外的公因子（如果2个整数之间有除了单位1以外的公因子，我们可以约分掉公因子变成最简形式，也就是2个整数没有除了单位1之外的公因子），这2个整数我们命名为b和a，且b的平方正好是a的平方的2倍(b*b=2a*a)，这时b就相当于图上BC边的长，a就相当于图上AB边的长度。
　　这时我们就能得出一个结论：b*b一定是偶数，且是4的倍数。那么为什么呢？下面我们给予证明：
　　我们已经假设a、b是整数，b*b=2a*a，那么b*b肯定是偶数。又b*b是两个相同的整数相乘，且还是偶数，那么b*b最小数值是4。（整数中最小的数值是1、第二小的是2,而1*1=1是奇数与b*b是偶数不符，2*2=4与b*b是偶数符合，所以b*b的最小数值是4），这时我们就能得出b*b是4的倍数。
　　这时我们再画一个图形，如下图所示，取BC中点H,以BH为边作一个正方形BHOI。在这里我们设BH的长度为c，那么BC=2BH,也就是b=2c。
　　上面我们已经证明了b*b是4的倍数，那么b肯定是偶数。又b=2c,b是偶数，那么c肯定是一个整数。
　　BC边长=b,BH边长=c，b=2c
　　接下来我们继续
　　因为b=2c,那么b*b=2c*2c=4c*c
　　又因为b*b=2a*a，所以a*a=2c*c
　　之前我们通过b*b=2a*a证明了b*b的值是4的倍数，同理我们也可以通过a*a=2c*c得出a*a的值也是4的倍数。
　　接下来就是见证奇迹的时候了：
　　因为b*b与a*a都是4的倍数，那么b和a肯定都是偶数，那么b和a之间肯定有公因子2。
　　那么问题就来了，b和a有公因子2，与我们开始的假设＂b与a之间没有除了1以外的公因子＂矛盾。而b和a之间有公因子2，我们是依据假设和勾股定理推倒出来的。这就只能说明一个问题，要么是假设错了、要么就是勾股定理是错的，还有就是假设和勾股定理都是错的。
　　既然毕达哥拉斯已经证明了勾股定理是对的，那么就只有一种可能，假设错了，也就是BC边的长无法用2个整数的比表示。加上之前我们证明了BC边的长不是整数，这时我们又可以得出结论：毕达哥拉斯有关＂万物都可以用整数或者整数之比表示＂的结论是错的。你看，BC的边长就既不是整数，也不能用整数之比来表示。
　　类似BC的长度这类无法用整数和整数之比来表示的数，后来人们把这类数称为＂无理性的数＂，也就是无理数。
　　四、第一次数学危机的影响
　　因为毕达哥拉斯和毕达哥拉斯学派在古希腊数学界殿堂级别的地位，无理数的发现对古希腊后来的数学研究产生了深远影响。
　　毕达哥拉斯之后，涌现了一批数学家，如欧几里得、阿基米德，他们给出的结论不再是根据经验得出来的，而是通过给出严谨的证明推理出来的。
　　因为无理数的发现，古希腊数学家将研究方向转向了几何学，如后来的欧几里得创作了《几何原本》，阿基米德使用穷竭法计算出来一些抛物线的面积，计算圆周率的数值。
　　总的来说，这次数学危机对数学的发展起到推动作用。
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