古印度的数学成就

　　头条创作挑战赛
　　1、东方数学的特点
　　作为四大文明古国的印度，早期拥有数学素养的人几乎都是僧人，或者种姓地位较高的人；而希腊则是人人可学习数学；中国是读书人取得功名后，按照自己的兴趣去学习探索。
　　古代东方的数学基本上是实用数学，数学完全是为实际生产服务的，以实用为目的。古代中国仅是把数学当做解决实际问题的一种工具。古代西方的数学，以希腊数学为例，他们的数学家一般都是哲学家，他们的数学更多的是从哲学家的兴趣爱好为驱动力的数学。
　　印度数学家多以天文学为职业，数学成果多半是经验的、实用的，很少给出推导和证明。本质上，印度和中国近似，在数学这一项目同属于古代东方数学。
　　除了古希腊人，在历史上的世界范围内都没有将数学独立出来，为数学而数学，单纯研究数学本身的民族。
　　2、印度数学起源
　　考古人员发现，早在公元前1200年，古印度的《吠陀经》，就已经记载了很多的数学知识。举个例子说，我们现在知道的十进制，就是出自于吠陀经，里面最初的记载是十的力量。在数学中，我们最清楚的通常是用10的幂表示，举个例子说，365可以表示为3102，加上6101，再加上5101。用我们现代的数来来解释，就是10的幂，而在当时的数字和10的幂不是用阿拉伯数字表示的，古印度人都有特定的吠陀语，就是十的力量。
　　《绳法经》是印度最早的数学文献，其中的数学问题涉及祭坛设计中的几何图案和代数计算，毕达哥拉斯定理的应用，相似图形的性质，以及拉绳测量和基本几何体的面积计算等。比如书中提到的祭坛形状和尺寸的设计法则：不论祭坛是正方形、圆形、还是半圆形，面积必须相等。一直到印度教兴起，数学才逐渐摆脱了宗教的影响，成为天文学的有力工具。
　　而在古印度时，最早的数字符号是出现在一些印章上。这些印章符号，平民根本无法触及。在古印度，富人们都喜欢用特定的印章来彰显自己的身份和地位。所以在很多印章上会有很多奇怪的笔画符号。那这些符号代表什么呢？经过考古学家研究发现，这些符号代表着数字。
　　婆罗门数字这个称呼由此而来，到目前为止，考古学家对婆罗门数字还没有完全一致的看法。
　　这种数字出现在公元前3世纪，它被人们用于书写，婆罗门数字并不是数字系统的数字。数字系统是什么呢？数字系统仅仅意味着同一个数字在不同的位置上代表不同的值，举个例子，比如说55这个数字，在10位中的个位表示5个1，而在10位中的十位表示50。
　　而婆罗门的数字有着很多的符号表示和计算，所以婆罗门的数字一直到公元前600年才形成完整数字系统。考古学家研究证明，婆罗门数字就是阿拉伯数字的前身。
　　当今世界所用的最广泛的数字系统，几乎都是阿拉伯数字，如果没有阿拉伯数字，我们的文明发展将停滞甚至灭亡，所以所有使用阿拉伯数字的人都应该感谢婆罗门数字的发明者。在婆罗门数字中，古印度发现并发展了更全面的数学概念零的概念。
　　在这期间，印度数学就像解应用题，设计规定形状的祭坛，搞懂一些基本的几何知识和结论；数学知识多半是用文字表达的近似的、经验性的法则。这一点也和早期中国数学的特点差不多。
　　印度人陈述的毕达哥拉斯定理：矩形对角线生成的（正方形）面积等于矩形两边各自生成的（正方形）面积之和。
　　接下来，亚历山大的东征促进了希腊与印度的交流，印度首先引入了零号和完整的十进制数字，这些印度数字先传入阿拉伯世界，再由阿拉伯传到欧洲；印度数字和十进制计数法被欧洲人普遍接受并改造，在近代科学进步中的意义是不言而喻的。
　　3、印度数学的0和负数
　　印度人的数学从宗教祭坛设计转向天文学，内容主要涉及算术（运算法则），三角函数、不定方程、低阶方程等等代数问题。
　　在1811年，考古学家挖掘出巴克沙利手稿，就是在这个手稿中，科学家们发现了零的概念，这个手稿目前放在了伦敦的牛津大学图书馆中。巴克沙利手稿的出现，成为了公元前2世纪至公元前3世纪期间，对古印度数学唯一的见证。这个手稿，里面涉及了分数，平方根，数列，代数方程，级数求和等。里面还记载这一次放方程和二次方程。
　　巴克沙利手稿
　　巴克沙利手稿，是有70页的桦树皮组成，因为年代久远，保存的并不是很完整，同时因为年代的原因，这份手稿的内容顺序根本无法确定。由于手稿不是纸做的，极其脆弱，研究起来也很困难，一直到近几年才有突破。研究学家发现，手稿中除了公式之外，还出现了一些数学符号，比如加减号，而零也并不是突然产生的，最开始用一点。表示0。
　　在这本手稿中，0并没有表达什么数字，更像一个占位符，所以最初才用一个点来表示，后来才逐渐演变成一个空心圆，同时也可以看出，印度数字中，零的出现，克服了早期河谷文明只留空位而没有符号的缺点。约公元9世纪，包括有零号的印度数码和十进位数值记数法臻于成熟，特别是印度人不仅把0看做记数法中的空位，而且也视其为可施行运算的一个独立的数。印度数码在公元8世纪传入阿拉伯国家，后又通过阿拉伯人传至欧洲。所以说，阿拉伯数字并不是阿拉伯人创造的，他们只是起了传播作用。而真正对阿拉伯数字有贡献的，正是古印度人。
　　至今我们依旧无法确定零出现的确切时间，但可以想像的是，它出现的时间，只会比我们预想期的要早得多，当然这也证实了古印度是第一个使用零概念的国家。
　　在中国，概念0的出现是在唐代，也是从印度引入。公元718年，唐开元年间来华的天竺高僧瞿昙悉达在他编纂的《开元占经》一书中，出现了关于概念0的占位法。《开元占经》天竺九执历经开篇即介绍天竺算字法的以0进位法；那个时候印度人的零依然是黑点。
　　负数的使用
　　中国是第一个发明和使用负数的国家。
　　在公元前2世纪，中国就有了负数的概念，用红色表示正数，用黑色表示负数来计算税款。《九章算术》中，除了引进正负数的概念外，还完整地记载了正负数的运算法则，实际上是正负数加减法的运算法则，也就是书中解方程时用到的正负术即同名相除，异名相益，正无入正之，负无入负之；其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。
　　这段话的前四句说的是正负数减法法则，后四句说的是正负数加法法则。
　　在印度，负数这个词最早出现在公元628年，印度天文学家、数学家布拉马古普塔在其著作《布拉马古普塔》中介绍了负数的使用规则。负数的发明和应用对数学的发展也至关重要。古代印度比其他许多国家都早意识到这一点。
　　数学家布拉马古普塔他最早的想法就是正数是财务，负数是债务。如果这个数字比零还小，那就是债务，举个例子，如果一个农民欠了地主10头牛，那么这个农民拥有的牛是10，因为他是欠别人的，自身并没有牛，所以说这是一笔债务，他需要去买10头牛来还地主。这对于农民来时，就是低于零的支持，就是债务。数学家布拉马古普塔他还提出了负数加负数即负数，正数加正数即正数、正与正、负与负、正与负、正与负、正与零相乘、负与零相乘等操作规则。
　　与东方中国、印度相比，许多西方数学家不愿意接受负数。他们认为负数是荒谬的，并质疑负数存在的意义。经过不断的论证和实践，负数在西方被广泛接受。
　　负数是东方智慧的产物。负数的引进，是我国古代数学家贡献给世界数学的一份宝贵财富。负数概念引进后，整数集和有理数集就完整地形成了。
　　4、印度数学与天文学
　　微积分的发明是数学史上一次划时代的壮举。可以说，如果没有微积分，就没有现代科技，就没有人类辉煌的现代文明，人类仍然在黑暗中摸索前行。公元1350年，印度克拉拉学派的一批数学家和学者提出了微积分的核心部分之一无穷级数的概念。虽然克拉拉邦，学派没有建立系统的微积分，但他们已经构想出了由欧洲数学家提出的泰勒级数、无穷小、微分等概念。
　　印度人使用了数字，引入了负数，讨论了数的运算法则；广泛使用了无理数等等。如数学家阿耶波多给出了连续n个正整数的平方和和立方和的表达式。阿耶波多在印度率先给出了圆周率，但方法不得而知；他还有一项有意义的结果是一次不定方程的求解。
　　在阿耶波多之后，过100多年出现了婆罗摩笈多，他留下了两部天文学著作《婆罗多修正体系》和《肯达克迪迦》。婆罗摩笈多使用二次插值法，制作了正弦函数表，收录在《肯达克迪迦》；而更多的数学内容包含在《婆罗多修正体系》中，其中算术讲义和不定方程讲义两章主要讨论了三角形、四边形、二次方程、零和负数的算术性质、运算规则，一阶和二阶不定方程。婆罗摩笈多给出了一元二次方程的求根公式，只是一个根；他还给出了四边形的面积公式，（这个公式从形式上看，很像三角形的面积公式海伦公式）只是他没注意到公式成立的条件是四边形必须内接于圆。成立条件，请参考公众号：究尽中学数学和究尽数学文章。
　　在婆罗摩笈多过世后的四个多世纪中，印度未曾出现杰出的数学家，这期间政治动乱、王朝更迭。在拉喜特拉库塔王朝鼎盛时期，出现了一位数学家马哈维拉，他撰写了印度第一部初具现代形式的教科书《计算精华》，该书和以往不同，是一本纯粹的数学书籍，不包含天文学内容；书中包括了零的运算、二次方程、利率计算、整数性质和排列组合等内容。
　　接下来，到了12世纪，出现了印度古代和中世纪最伟大的数学家、天文学家婆什伽罗。婆什伽罗有两部重要的数学著作《莉拉沃蒂》和《算法本源》。其中《算法本源》主要探讨了正负数法则、线性方程组、低阶整系数方程求解等代数问题；还给出了毕达哥拉斯定理的两个漂亮证明，其中一个与赵爽的方法相同，另一个是利用相似三角形的性质。
　　如图所示，在直角三角形ACB中，
　　婆什伽罗对数学的主要贡献是：采用缩写文字和符号来表示未知数和运算；熟练掌握了三角函数的和差化积公式；比较全面地讨论了负数，广泛使用了负数。
　　19世纪后期印度诞生了享誉世界的数学天才拉马努金。纵观印度的数学发展，不难发现印度对数学的要求简单实用，数学家也并不多。和中国相比，有很多相似之处。
　　5、东方数学独树一帜
　　现代数学的起源通常被认为是欧洲，而东方的成就往往被忽视。然而，古印度微积分的发现无疑证明了东方数学并不亚于西方数学，一个比西方更早建立起来的更为完善的数学体系。一些科学家试图证明微积分是通过一些渠道传到西方的，并被牛顿、莱布尼茨等人学习和进一步发展。虽然没有确凿的证据，但至少证明了数学应该是全人类共同的智力成果，而不是欧洲的一个独特分支。
　　在古印度，数学正在蓬勃发展。从复杂的微积分到简单的数字，古印度数学为现代数学的发展做出了非常重要贡献。今后，我们或许能在这片土地上探索更多的数学秘密，不断刷新对数学发展的认识。