数学发现的艺术，如何教会学生思考，来自数学大师的启示

　　你是否有这样的一个体会：一道题，自己总也想不出解法，而当我们去问其他学生或者老师时，他们却能快速给出了一个巧妙的解法，这时候我们会想＂这个解法并不难时，这种类型我之前也见过，我自己完全可以想出，但为什么我没有想到呢?＂还有＂别人是怎么想出这个解法的?＂
　　在老师上课的时候，为什么很多学生能听懂例题却不能独立思考得出问题的答案，总是要等到提示、点拨后才恍然大悟呢？
　　这是因为学生不懂得思考的方法，大多数老师讲题总是＂头痛医头，脚痛医脚＂，只有实战经验，没有形成方法论。但是学生要的不应该是一道道具体的题目，而是面对任何一道题目时的思维方法。其实波利亚早已系统告诫我们了。
　　波利亚·哲尔吉（1887一1985），著名匈牙利裔美国数学家和数学教育家。他在大量的数学范畴工作，包括级数、数论、组合数学和机率；同时，他长期从事数学教育，对数学思维的普遍规律有深入的研究。
　　曾著有《怎样解题》、《数学的发现》、《数学与猜想》等，它们被译成多种文字，广为流传。波利亚主张数学教育主要目的之一是发展学生的解决问题的能力，教会学生思考。
　　当代数学家N． G、德布鲁因（de Bruijn）这样评价他：＂波利亚是对我的数学活动影响最大的数学家。他的所有研究都体现出使人愉快的个性、令人惊奇的鉴赏力、水晶般清晰的方法论、简捷的手段、有力的结果。如果有人问我，想成为什么样的数学家，我会毫不迟疑地回答：波利亚。
　　01、波利亚的数学教育思想概述
　　波利亚认为，中学数学教育的根本目的是＂教会学生思考＂。关于数学发明或者发现的方法，它直接指向数学发明或者发现的过程，探究这一过程中的智力活动的一般规律。
　　技能与技巧、有益的思考方式、理想的思维习惯。
　　教师在教学时遵循教学（学习）过程的三个原则，即主动学习，最佳动机，循序渐进。我们需要思考并借鉴的是：
　　（1）如果头脑不活动起来，是很难学到什么东西的，也肯定学不到更多的东西，所以波利亚的＂主动＂、＂被动＂，其实主要是指思维是否活动起来。现在不少学生的学习，还处在模仿水平和记忆水平上，很少达到理解水平，更难达到创造性的水平。教学中，要充分激发学生思维，追求学生思维参与的广度和深度。
　　（2）＂学东西的最好途径是亲自去发现它＂，这就是说最富有成效的学习是学生自己去探索、去发现。
　　（3）学习动机的形成有各种各样的原因，其中，最为重要的是学生＂在学习中寻求欢乐＂，也就是要充分地关注学生成功的体验、对数学知识本身的内在兴趣。
　　波利亚认为学习的三原则同时也是教学的三原则，教师的作用应由传统的传递知识转向推动和促进学生主动学习。与此相应，教师应采用启发式教学法，充当思想的产婆，激发、诱导学生去积极思维，促使他们尽可能地自己去发现。
　　波利亚曾为中学数学教师开办进修班，他在了解到中学教师需要一个对日常教学直接有所助益的课程。在该课程中，他一再地强调他个人对教师日常工作的看法，最后归纳浓缩成十条规则，亦即他所谓的「十诫」：
　　（1）要对你讲的课题有兴趣；
　　（2）要懂得你讲的课题；
　　（3）要懂得学习的途径，学习任何东西的最佳途径就是靠自己去发现；（4）要观察你的学生的脸色，弄清楚他们的期望和困难，把自己置身于他们之中；
　　（5）不仅要教给他们知识，并且要教给他们＂才智＂，思维的方式，有条不亲的工作习惯；
　　（6）要让他们学习猜测；（7）要让他们学习证明；
　　（8）要找出手边题目中那些对后来题目有用的特征-即设法去揭示隐藏在眼前具体情形中的一般模型；
　　（9）不要立即吐露你的全部秘密--让学生在你说出来之前先去猜-尽量让他们自己去找出来；
　　（10）要建议，不要强迫别人去接受。
　　波利亚对教师的这十诫，对我们数学课堂教学极具指导意义。我们说，学习是学习者自己的体验与感受，是任何其他人都代替不了的。课堂上，教师就要时时考虑：如何提供学生感兴趣的学习材料，激发他们的好奇心和求知欲，使学生保持旺盛的学习动力；如何把学生＂卷＂入到教学活动中来，用他们自己的理解方式和思维方式去学习数学，去体验数学，而教师重在启发、引导和帮助，等等。
　　因此，波利亚强调应该教有目的的思考，教正规的演绎推理，也教非正规的似真的合情推理。
　　他指出：＂第一，我们这里所说的思考不是空想，而是有目的的思考’或‘有意义的思考’或‘有成果的思考’；
　　第二，数学思考不是完全‘正规的’，它不仅涉及到公理、定义和严格证明，而且还包含许多别的方面：从观察到的情况得出结论、归纳推理、类比推理。在具体情况里辨认数学概念或从具体情况进行数学抽象。数学教师应不失时机地使他的学生熟知这些相当重要的‘非正规的’思想方法。＂
　　在培养学生的独立思考能力方面，波利亚特别注重＂思想应该在学生的头脑中产生出来，而教师仅仅应起一个助产婆的作用＂，他认为最适宜的教学形式是＂苏格拉底问答法＂，并倡导了探索式教学法或启发式教学法，认为在教学中最佳的方法就是多问：什么？为什么？哪里？何时与怎样？
　　波利亚在他长期教学经验的基础上，结合心理学研究的成果，总结出了一套怎样提问，怎样掌握提问的最佳时机和方式等的方法。
　　他认为，提问应从＂一般化的问题和建议开始，逐步转向更特殊更具体的问题和建议，直到学生的头脑中得出答案为止＂，＂要让学生感受到某种近似于独立探索的体验＂。
　　02怎样解题
　　美国著名数学家哈尔莫斯曾说过:＂数学的真正组成部分是问题和解＂。
　　波利亚也曾指出：＂问题是数学的心脏＂,＂学习数学就意味着掌握解题＂。并强调指出＂中学数学教学的首要任务是加强解题能力的训练＂。
　　怎样要学会解题？解题的关键在哪里？难点在哪里？怎样抓住问题的本质，直取核心？怎样突破难点，走出瓶颈？这是每个解题者必须面对的问题。
　　波利亚的数学教育宗旨是＂教会年轻人去思考＂，阐述他思想的一些世界数学名著被译成了多国文字，其中《怎样解题》一书被译成了十六种文字。
　　直到今天，该书仍被各国数学教育界奉为经典，波利亚的启发式教学和数学解题方法成为数学教育的一面旗帜，在全世界广为流传。
　　波利亚在《怎样解题》第一版序言中指出：＂数学有两个侧面，它是欧几里德式的严谨科学，但它也是别的什么东西。用欧几里德方式提出来的数学看来像一门系统的演绎科学，但在创造过程中的数学看来却像是一门实验性的归纳科学。
　　这两个侧面都像数学本身一样古老。但从某一点说来，第二个侧面则是新的，因为以前从来就没有‘照本宣科’地把处于发现过程中的数学照原样提供给学生、教师自己或公众。＂
　　在学生解题的过程中，＂如果学生有进展，教师就不应该问他任何问题，以便让他独立思考；当学生停滞不前，教师就可以找一个适当的问题或建议去帮助他＂，而这种帮助应尽量顺乎自然，照顾学生的自尊心，并且这种帮助要适中，帮助太少，问题仍将一无进展，帮助过头，则学生就失去了在自己求解中学习的机会，也使他们失去了品尝自己想出＂好念头＂的乐趣。
　　波利亚特别反对提那些＂针对性太强的建议＂，因为，那将使学生失去积极思考的机会。
　　波利亚把教会学生解题看作是教会学生思考，培养他们独立探索的一条有效途径。但他认为，一个学生要真正学会解题则必须＂观察、模仿他人惯，才能真正学会应该怎样思考问题和解决问题，才能学到解题的方法。
　　波利亚把教会学生去猜想作为培养学生创造能力的一种得力手段。因为一个合情合理的猜想并不是幻想，它需要敏锐的观察能力，深厚的知识功底和积极并富有想象和创造性的思维活动，证明往往是由猜想发现的，猜想往往就是论证推理的先导。
　　为了贯彻他的教育宗旨，培养学生独立思考、独立研究和创新的能力，
　　如何改变目前绝大多数学生只会套用模式解题，对背景稍新的问题束手无策的现状？
　　波利亚在多年解题和教学经验的基础上提出了著名的＂怎样解题＂表，将解题过程分为四个阶段。
　　在这四个阶段中＂执行计划＂较为容易的，需要的只是解题者的耐心和认真；＂弄清问题＂则是成功解决问题的前提；＂回顾＂是最容易忽视的一个环节，通过回顾反思所完成的解答，通过重新考虑和重新检查这个结果和得出这一结果的思路，解题者，可以巩固他们的知识和发展他们的解题能力，进一步形成认知能力.＂拟定计划＂才是解决问题的关键所在.
　　波利亚相信，解题时只要按这四个步骤去做，必能成功.同学们如果能在平时的学习中不断实践和体会改变，也会发出和波利亚一样的感叹：＂学数学是一种乐趣！＂
　　对怎样解题，笔者尤其感慨的是：
　　1.波利亚主张＂不断地变换你的问题＂。＂
　　我们必须一再地变化它,重新叙述它,变换它,直到最后成功地找到有用的东西为止＂。不断地变更问题,直到它变得易于解决,这是不难体会最朴素最有效的解题的常用方法。
　　2.数学思想方法的魅力，波利亚说：＂完善的思想方法犹如北极星，许多人通过它而找到正确的道路。＂
　　让学生积极主动地经历知识的形成过程，并逐步体验、感悟到知识背后所承载的方法、所蕴涵的思想，学生的头脑中就能留下数学思想及数学思想方法的相关印记，日积月累，这印记便能渐渐明晰起来，并受益终身。
　　03解题其实也是一种创造
　　当找到一个方法解决了一道题目，我们同时也应该思考 ＂你能在别的什么题目中利用这个结果或这种方法吗？＂
　　有时我们要举一反三，改造一道题目。基本的方法有：普遍化、特殊化、类比、分解和重组等。
　　记得上大学的时候修了抽象代数这一门课程，它蕴含了丰富的数学思想方法（整体化、转化、构造、反证） ，上这门课时，老师讲的都能听懂，课后解题却不知所措。还有一些需要证明的习题也是今后能够用到的结论，却不懂得如何运用和解答。自己不去反思、去领悟、去归纳，纵使心中方法无数，下笔也只能低头苦思。
　　数学家笛卡尔说：＂我所解决的每一个问题都将成为一个范例，以用于解决其他问题。＂ 多题一解，总结出解决问题的共性规律，找出各种题目有共性的解题思想，数学思想。
　　联系日常教学，笔者对波利亚怎样解题的理论受益匪浅，认为有两点是值得注意的：教学中要减少程式化的机械训练，这种训练过多会僵化学生的数学思维。
　　教师要教过程，要注重概念、定理的发生、发展过程，要引导学生注重对通性、通法的体验、思考和感悟，重点是思维的灵活性、应用的广泛性和数学知识的视野，要让学生经历、感悟概念的抽象概括过程、定理结论的探索发现过程、解题方法的总结提炼过程、实际问题数学化的过程等等，在这些过程中，逐渐领悟数学的思想、数学的思维方式、数学的方法，并形成数学的理性精神，真正提高数学素养。
　　第二，要让学生独立地学习一点新东西；独立地阅读书本，独立做题和独立地研究所做的题，让学生自己思考和感悟；让学生学会：拿到一个有点陌生的或从未见过的问题，如何去理解，如何去思考，如何去研究，如何去找到一个解决办法，找到个好的＂念头＂，然后将念头一步步具体化，最终找到，个解决问题的方案。并借助对问题解决过程进行反思、总结、引申、提炼，促进和深化知识的理解和方法的领悟。
　　题目和某种蘑菇有点相似之处：它们都成串生长。找到一个以后，我们应该四处看看，很有可能在很近的地方又能找到更多的。＂
　　参考文献：杨世明、王雪琴，《数学发现的艺术》