分片实验与有限元法

　　摘要：本文提出分片试验在有限元法中有着重要的作用，它是近代有限元发展的一个主要特色。得出分片试验对位移函数和应变函数的要求，这些要求便是一个好的有限元法所应保证的；分析了几何方程弱形式与分片试验的关系，借此分析了杂交元、拟协调元如何满足这些要求，以及在满足这些要求的同时产生的对其他条件的影响；分析了精化直接刚度法、广义协调元和双参数法如何保证分片试验的满足；最后作为位移条件的应用例子，改进了BCIZ元。
　　关键词：分片试验，弱形式，网线函数，有限元法
　　1 引言
　　众所周知，分片试验是与单元间的位移协调性密切相关的。人们在进行有限元分析时，不可避免的涉及了单元间的协调关系，这种协调关系与两个单元有关，文[4][5]采用了单元边界上的的位移插值函数，文[9]把这种位移插值函数成为＂网线函数＂。正式这种所谓的＂网线函数＂的采用，单元间的协调问题可以在单元内独立考虑。目前成功解决  连续问题的有限元法均有意或无意地使用了这种网线函数。本文通过网线函数给出了分片试验对应变和位移的要求。
　　目前对各种有限元法分析的方法均是在单元一级上采用变分原理，从而得到单元的应变（或应力）的，由结点位移为参数表达的表达式，再把它们代入最小势能原理得到刚度阵。各种有限元法在得到应变（或应力）的做法上不同，好的有限元法得到的应变表达式已满足了通过分片实验所应满足的条件。
　　2 分片的要求
　　因有限元法最终列出的是势能的方程，因此分片试验可以看作：在常应变情况下，位移的不协调部分对势能无贡献，在薄板弯曲问题中，可如下表达：
　　(1)
　　其中,A：单元域，  为位移的不协调部分,有：
　　(2)
　　为位移，  为位移的协调部分。
　　(3)
　　对
　　(3)式中的  项应用格林公式，并应用坐标变换公式：
　　(4)
　　其中  、  分别为位移协调部分在单元边界的法向和切向的导数，即为文中的网线函数，  、  为单元边界外法线的方向余弦。对含  的项再分步积分得：
　　（  >r时  ）
　　(5)
　　r表示单元的边数，  表示结点的位移参数。对
　　(3)中的含  项也进行分步积分并整理有：
　　(6)
　　同样，对  项再分步积分得：
　　(7)
　　ai、bi、ci为由各边的nx与ny组成的参数，  表示位移函数在结点处的值。
　　(4)、
　　(5)、
　　(6)、
　　(7)便是通过分片检验所需满足的方程。
　　(4)、
　　(5)是从应变的角度反映了分片试验对单元的要求，这里称之为应变约束条件；
　　(6)、
　　(7)是从位移的角度反映了分片试验对单元的要求，这里称之为位移约束条件。成熟的有限元法都自觉或不自觉地应用了这些条件。
　　传统的位移法构造的协调元自动满足了上述各式，下面对其它有限元分析方法进行分类分析。
　　3 使用应变约束的有限元法
　　方程
　　(4)、
　　(5)是对应变的要求，没有涉及刚体位移，同时应力和应变之间只有一个线性关系，所以，假设应变或应力的有限元法都应满足这两个方程。
　　方程
　　(4)、
　　(5)表达的是应变与位移之间的关系，它们必然与弹性力学的几何方程：
　　(8)
　　有着密切的关系。把几何方程(3.
　　1)写成弱形式：
　　(9)
　　、  、  为权函数，应用两次格林公式变换上述方程：
　　(10)
　　在上式中，单元边界上的  、  、  分别以它们对应的网线函数  、  、  代替：
　　(1
　　1)
　　如果方程
　　(1
　　1)中  、  、  是应力的变分，即满足了齐次的平衡方程：
　　(1
　　2)
　　则方程
　　(1
　　2)变为：
　　(1
　　3)
　　此即为薄板弯曲问题在单元上的最小余能原理的变分方程。
　　方程
　　(1
　　1)与
　　(1
　　3)便是连续性方程弱形式中的两个典型形式。在方程
　　(1
　　1)与
　　(1
　　3)中当  、  、  分别取常数，另两个为零时，便可得到方程
　　(4)或
　　(5)，即符合分片试验的要求。
　　拟协调元与杂交混合元便是采用方程
　　(1
　　1)对应变或应力进行离散，而应力杂交元采用的是
　　(1
　　3)式。不同的是应力杂交元与杂交混合元是由假设应力出发，而拟协调元是由假设应变入手。而应力与应变之间的关系只是一个线性变换，如果应力与应变设在同一空间，仅是设应力与设应变的不同是不会影响最终结果的。
　　从方程
　　(1
　　1)与
　　(1
　　3)的来源
　　(9)式可以看出，几类单元中的应变（或应力）只在较弱的意义上满足相容方程。因平衡方程与连续性方程是一对对偶的微分方程组，有限元法中已经使用了平衡方程的弱形式—最小势能原理，这里使用了连续性方程的弱形式也许更为合理。可以验证，单元应变满足相容条件的强形式与弱形式对单元的精度一般影响不大。
　　由以上讨论可见，在有限元分析中选常数作检验函数是保证单元通过分片检验的关键。而这一点在以上提到的三种有限元法中都能自然得到满足。构造三角形单元时，常取面积坐标作为检验函数基，因三个面积坐标之和为1，固在离散每个应变时，检验函数应取遍三个面积坐标，这样便保证了检验函数为常数时式
　　(5)或
　　(6)成立。
　　精化直接刚度法虽然从设位移出发，但又对应变矩阵进行了修正。以下讨论其应变的改进作用。
　　在方程
　　(4)的两边同时除以单元的面积  ，变为：
　　(1
　　4)
　　上式表达了单元的平均应变所应满足的方程。可把上式写成如下矩阵形式：
　　(1
　　5)
　　其中  与文[7]中相一致，  为结点参数矢量。一般的有限元法得到的应变表达式：
　　(1
　　6)
　　其单元的平均应变：
　　(1
　　7)
　　不一定满足式
　　(1
　　4)，因此把平均应变进行修正，即换成式
　　(1
　　8)中表达的所需形式，修正后的应变阵为：
　　(1
　　8)
　　这样便保证了单元能够通过分片检验。此外，得到  时还可使用
　　(6)式，从而得到与式
　　(1
　　4)不尽相同的形式。
　　因此，可以说精化直接刚度法是通过修正单元的平均应变，使其通过分片试验的有限元分析方法。精化直接刚度法实施起来是巧妙而方便的。
　　4 使用位移约束的有限元法
　　使用位移约束方程的方式有两种：第一种是位移的广义参数的个数不增加，改变以往的采用结点参数确定各广义参数的方法，广义协调元和双参数法便是采用这种方法；第二种方法是采用增加位移中的广义参数的做法。此外两种做法也可混合使用。
　　4.1 广义协调元和双参数法
　　方程
　　(6)、
　　(7)反映了分片检验对位移函数的要求，与其相应的有限元法是广义协调元和双参数法。从
　　(6)、
　　(7)可以看出，若使单元通过分片检验，则应包含条件：
　　或  （i=1,…,r）
　　(1
　　9)
　　广义协调元与双参数法在确定位移广义参数的时候包含上述方程。这两种有限元法得到的位移插值函数在结点处的表达不一定精确，有时会有一个高阶小量的误差。而边界位移条件是直接由结点位移表示的，因此在做分片检验时会有一定的误差，即不很准确地通过分片检验。这一点可由文[8]中的算例看出。
　　对于某些特殊形状的单元来说，方程
　　(1
　　9)只是方程
　　(6)和
　　(7)的充分条件，非必要条件，这一点可以从十二参矩形单元中看出。众所周知，矩形薄板单元不满足  连续，可以验证它同样不满足
　　(1
　　9)式。但这种单元能通过分片试验而且计算精度较高，其原因是它满足方程
　　(6)和
　　(7)。
　　4.2 增加位移中的广义参数
　　可以增加位移函数中的广义参数，通过分片试验的条件消去这些多余的广义参数，这样得到的位移插值函数会得到改善或完全满足分片试验的要求。这种方法的实质是改善了位移函数的空间，但它的应用还非常少，其主要原因是计算中涉及求逆运算。目前技术及软件的高速发展，尤其是代数运算软件的出现，这种做法也许会有一些生命力。下面举一个通过这种方法改善单元性能的例子。
　　在构造三角形单元时，人们呈为完全的三次式中十个基函数的取舍大费周折，面积坐标的应用解决了对称性的问题，但Zienkiewicz元（BCIZ元）的性能不佳也是人所共知的。今位移函数的基取完全的三次式，含十个基函数，采用面积坐标可写成如下形式：
　　(20)
　　其中  为Zienkiewicz元的单元位移函数，  (iC为待定参数。以下通过C的确定来改善单元的性质。因只有一个待定参数，方程
　　(6)不可能完全得到满足，考虑到对称性将
　　(6)中的前两式相加得到方程：
　　(2
　　1)
　　应用方程
　　(2
　　1)可以确定出参数C，其中  由采用结点参数建立的单元边界法线方向转角的线性插值函数来表达。定出C后便可用常规方法得到单元刚度阵。
　　表1 分片试验
　　可以看出改进Zienkiewicz元的性能有很大的改善，以下做一算例。
　　算例：方板中心受集中力，根据对称性，取板的四分之一，采用交叉网格的计算结果如表2。
　　表2  BCIZ元改进前后板中心挠度计算
　　由算例可以看出改进Zienkiewicz元的收敛性能有了很大的改善，而且单元采用的位移函数不仅具有几何对称性，各结点的挠度和转角值也表达精确。在三次位移函数的单元中，这种单元的位移函数的插值空间得到了进一步改进。
　　5
　　通过前面的讨论可以看出，各有限元法与分片试验是密不可分的，它们自觉或不自觉得满足了分片试验的要求。这些有限元法合理的共同原因也许在于它们能通过分片试验。
　　满足了应变约束条件的有限元法，一般是以损失连续性方程的严格性为代价的，这一点对计算结果一般影响不大，而且往往会改善计算精度，这些有限元法对分片试验的满足十分自然，但有些时候会涉及秩的问题；
　　使用了位移约束条件的有限元法，以损失位移函数在单元结点的准确程度为代价，换取了单元总体性能的改进，或者改善了位移试函数的插值空间，这类有限元法对在保持位移函数的几何对称性上有些困难。以上两类有限元法都得出了很多属于自己特色的单元。
　　本文得出的是常应变分片试验的要求，同样可以得出应变或位移在什么情况下，能够通过线性应变的分片试验。如果单元的位移参数较多，位移插值函数已含完全三次多项式，单元片在线性应变情况下也应计算准确，这样才更值得我们增加参数。
　　参    考    文    献
　　[1]    O.C.Zienkiewicz and R.L.Taylor, The Finite Element Method, (Fourth Edition), Mcgraw-Hill Book Company, 1988.
　　[6]    龙驭球，辛克贵，广义协调元，土木工程学报，1987，1，1-14
　　[9]    Tang Limin, Chen Wanji and Liu Yingxi, String Net Function Approximation and Quasi-Conforming Technique, Hybrid and Mixed Finite Element Methods, S.N.Atluri, R.H.Gallagher and O.C.Zienkiewicz, John Wiley & Sons, 1983.
　　Patch Test and Finite Element Method
　　Abstract: This paper realized that the Patch Test is very important to Finite Element Methods. Derive the requirement to strain and displacement of Patch Test. Give the relationship between weak form of continuity equation and the Patch Test, through which the hybrid element method and quasi-conform element method are analyzed. Refined direct stiffness method and generalized conforming elements are also analyzed about why they can pass patch test. At last, as an example of using the requirement of patch test for displacement, improved the BCIZ Element.
　　Key Words: patch test, weak form, string-net function, finite element method