数学归纳法及其应用课堂实录

　　一、引入新课
　　师：四边形、五边形、六边形分别有多少条对角线？你是怎样考虑的？
　　[提出问题，让学生在解答的过程中发现规律.]
　　生：四边形、五边形、六边形分别有两条对角线，五条对角线和九条对角线，以六边形为例，每个顶点可引3条对角线，六个顶点可引18条对角线，但因每条对角线都计算了两次，所以六边形实际有9条对角线.
　　师：n边形(n 4)有多少条对角线？为什么？
　　[由特例到一般问题的提出，符合由特殊到一般，由具体到抽象的认识过程.]
　　生：n边形有条对角线，因为每个顶点可引n-3条对角线，所以n个顶点可引n(n-3)条，但每条对角线都计算了两次，故n边形实际有条对角线.
　　师：这一公式适合四边形、五边形、六边形吗？
　　[由一般再回到特殊，特例的正确性提高了学生探索问题的积极性，增强了猜想的信心.]
　　生：适合.
　　师：观察等差数列的前几项：
　　a1=a1+0d
　　a2=a1+1d
　　a3=a1+2d
　　a4=a1+3d
　　你发现了什么规律？试用a1，n和d表示an.
　　生：an=a1+(n-1)d
　　师：像这种由一系列特殊事例得到一般结论的推理方法，叫做归纳法，用归纳法可以帮助我们从特殊事例中发现一般规律，但是，由归纳法得出的一般结论并不一定可靠.例如，一个数列的通项公式是an=(n2-5n+5)2请算出a1，a2，a3，a4你能得到什么结论？
　　生：由a1=1，a2=1，a3=1，a4=1可知an=1
　　师：由an=(n2-5n+5)2计算a5.
　　[由a5=25 1，否定了学生的猜想，举出反例是否定命题正确性的简单而基本的方法.]
　　师：由归纳法得到的一般结论是不一定可靠的.法国数学家费尔马曾由n=0，1，2，3，4得到+1均为质数而推测：n为非负整数时，+1都是质数，但这一结论是错误的.因为数学家欧拉发现，n=5时+1是一个合数：+1=4294967297=641 6700417.
　　[数学史例使学生兴趣盎然，学习积极性大为提高，至此，归纳法作为一种发现规律的推理方法的数学已告结束.]
　　师：既然由归纳法得到的结论不一定可靠，那么，就必须想办法对所得到的结论进行证明，对于由归纳法得到的某些与自然数有关的命题P(n)，能否通过一一验证的办法来加以证明呢？
　　生：不能.因为这类命题中所涉及的自然数有无限多个，所以无法一个一个加以验证.
　　[新问题引导学生思考：既然对于P(n0)、P(n0+1)、P(n0+2)……的正确性无法一一验证，那么如何证明P(n)(n n0)的正确性呢？至此，数学归纳法的引入水到渠成.]
　　二、新课
　　师：我们将采用递推的办法解决这个问题.同学们在电视中可能看到过＂多米诺＂骨牌的游戏，由于骨牌之间特殊的排列方法，只要推到第一块骨牌，第二块就会自己倒下，接着第三块就会倒下，第四块也会倒下……如此传递下去，所有的骨牌都会倒下，这种传递相推的方法，就是递推.
　　从一个袋子里第一次摸出的是一个白球，接着，如果我们有这样的一个保证：＂当你第一次摸出的是白球，则下一次摸出的一定也是白球＂，能否断定这个袋子里装的全是白球？
　　生：能断定.
　　[为数学归纳法的两个步骤提供具体生动的模型，帮助学生理解数学归纳法的实质.]
　　师：要研究关于自然数的命题P(n)，我们先来看自然数有什么性质，自然数数列本身具有递推性质：第一个数是1，如果知道了一个数，就可以知道下一个数.有了这两条，所有自然数尽管无限多，但我们就可全部知道了.类似地，我们可采用下面的方法来证明有关连续自然数的命题P(n)，先验证n取第一个值n0时命题正确；再证明如果n=k(k n0)时命题正确，则n=k+1时命题正确，只要有了这两条，就可断定对从n0开始的所有自然数，命题正确，这就是数学归纳法的基本思想.
　　[先通俗了解数学归纳法的基本思想，对深刻理解数学归纳法的实质至关重要.]
　　师：用数学归纳法证明一个与自然数有关的命题P(n)的步骤是：
　　(1)证明当n取第一个值n0(如n0=1或n0=2等)时结论成立，即验证P(n0)正确；
　　(2)假设n=k(k N，且k n0)时结论正确，证明n=k+1时结论正确，即由P(k)正确P(k+1)正确由(1)和(2)，就可断定命题对于从n0开始的所有自然数n都正确.
　　这两步实质上是证明P(n)的正确具有递推性.(1)是递推的始点(2)是递推的依据.
　　步骤(1)是一次验证，步骤(2)是以一次逻辑推理代替了无限次验证过程.步骤(2)用的是演绎推理.
　　由(1)与(2)可知，递推的过程是：
　　上述无穷＂链条＂一环扣一环，形象地说明了用数学归纳法证明P(n)正确性的过程.
　　[先明确步骤，然后在运用中加深理解数学归纳法的实质.]
　　师：用数学归纳法证明等差数列通项公式an=a1+(n-1)d对一切n N都成立.
　　(证明由学生完成，并得出)
　　师：至此，对等差数列通项公式的＂观察——猜想——证明＂的研究结束，观察特例，归纳一般结论，用数学归纳法证明，这是解答有关连续自然数命题的有效途径.
　　师：下面，我们来看教材中的例题：证明1+3+5+……+(2n-1)=n2
　　请同学们自己完成，然后将自己的证明与教材中的证明对照，如发现错误，找出错误的原因.
　　师：用数学归纳法证明1+3+5+……+(2n-1)=n2如采用下面的证法，对吗？
　　(1)n=1时，通过验证，等式成立.
　　(2)假设n=k时等式成立，即1+3+5+……+(2k-1)=k2
　　则
　　这就是说，当n=k+1时等式也成立，由(1)和(2)，可知对任何n N等式都成立.
　　生甲：证明是对的.
　　生乙：证明方法不是数学归纳法.因为第二步证明时，未用到归纳假设.
　　[指出错误，并分析出错原因，是澄清学生模糊认识的有效方法.]
　　师：从形式上看这种证法，用的是数学归纳法，实质上不是，因为证明n=k+1正确时，未用到归纳假设，而用的是等差数列求和公式.数学归纳法的核心是在验证n取第一值n0正确的基础上，由P(k)正确证明P(k+1)正确，也就是说核心是证明命题的正确具有递推性.因此，今后用数学归纳法证明时，第二步必须由归纳假设P(k)的正确性来推导出P(k+1)的正确性，简记作.可见，正确使用归纳假设，是用数学归纳法证题的关键.
　　[教师的概括与强调，能使学生运用数学归纳法证题的思路进一步清晰和明确，不再机械地套用两个步骤，而且能深入理解实质及两个步骤之间的内在联系.]
　　师：用数学归纳法证明命题的两个步骤中，仅有第一步骤验证而没有第二步骤递推性的证明是不行的，那么，没有第一步行吗？
　　[新的问题引起学生新的思索.]
　　生甲：第一步仅是验证当n取第一个值n0时结论正确.其实，这是显然的，可以省略.
　　生乙：第一步是第二步递推的基础，没有第一步是不行的.
　　师：让我们举一个例子来看一下：试问等式2+4+6+……+2n=n2+n+1成立吗？
　　设n=k时成立，即2+4+6+……+2k=k2+k+1
　　则2+4+6+……+2k+2(k+1)=k2+k+1+2k+2=(k+1)2+(k+1)+1
　　这就是说，n=k+1时等式也成立，若仅由这一步就得出等式对任何n N都成立的结论，那就错了.事实上，当n=1时左边=2，右边=3，左边 右边，可能有的同学已经看出，该式左边总是偶数，而右边总是奇数，因此对任何n N该式都是不成立的.因此，用数学归纳法证明命题的两个步骤，缺一不可.第一步是递推的基础，第二步是递推的依据.缺了第一步，递推失去基础；缺了第二步，递推失去依据，因此无法递推下去.
　　三、练习
　　用数学归纳法证明：n边形的对角线的条数是(n 4)
　　四、小结
　　师：本节课主要讲了数学归纳法及其应用，应掌握下列几个要点：
　　(1)数学归纳法证题的步骤：
　　①验证P(n0)成立.
　　②假设P(k)成立(k N且k n0)，推证P(k+1)成立.
　　(2)数学归纳法的核心，是在验证P(n0)正确的基础上，证明P(n)的正确具有递推性(n n0).第一步是递推的基础或起点，第二步是递推的依据.因此，两步缺一不可，证明中，恰当地运用归纳假设是关键.
　　(3)数学归纳法适用的范围是：证明某些与连续自然数有关的命题.
　　(4)归纳法是一种推理方法，数学归纳法是一种证明方法，归纳法帮助我们提出猜想，而数学归纳法的作用是证明猜想.
　　五、布置作业(略)
　　点评：本节课练中有讲，讲中有练，讲与练结合.在讲与练的相互作用下，使学生的思维逐步深化，教师提出的问题和例题，先由学生自己解答，然后教师分析与概括，在教师讲解新课中，又不断提出问题让学生解答和练习，以求在练习中加深理解.