数学教案一元二次方程实数根错例剖析课

　　课题：一元二次方程实数根错例剖析课
　　【教学目的】 精选学生在解一元二次方程有关问题时出现的典型错例加以剖析，帮助学生找出产生错误的原因和纠正错误的方法，使学生在解题时少犯错误，从而培养学生思维的批判性和深刻性。
　　【课前练习】
　　1、关于x的方程ax2+bx+c=0，当a_____时，方程为一元一次方程；当 a_____时，方程为一元二次方程。
　　2、一元二次方程ax2+bx+c=0(a 0)的根的判别式 =_______，当 _______时，方程有两个相等的实数根，当 _______时，方程有两个不相等的实数根，当 ________时，方程没有实数根。
　　【典型例题】
　　例1 下列方程中两实数根之和为2的方程是（）
　　(A) x2+2x+3 0 (B) x2-2x+3 0 (c) x2-2x-3 0 (D) x2+2x+3 0
　　错答： B
　　正解： C
　　错因剖析：由根与系数的关系得x1+x2 2，极易误选B，又考虑到方程有实数根，故由 可知，方程B无实数根，方程C合适。
　　例2 若关于x的方程x2+2(k+2)x+k2 0 两个实数根之和大于-4，则k的取值范围是（ ）
　　(A) k -1 (B) k 0 (c) -1  k 0 (D) -1 k 0
　　错解 ：B
　　正解：D
　　错因剖析：漏掉了方程有实数根的前提是  0
　　例3（2000广西中考题） 已知关于x的一元二次方程(1-2k)x2-2 <?XML:NAMESPACE PREFIX =O />x-1 0有两个不相等的实根，求k的取值范围。
　　错解: 由 (-2 )2-4(1-2k)(-1)  -4k+8 0得 k 2又 k+1 0 k  -1。即 k的取值范
　　围是 -1 k 2
　　错因剖析：漏掉了二次项系数1-2k 0这个前提。事实上，当1-2k 0即k  时，原方程变为一次方程，不可能有两个实根。
　　正解： -1 k 2且k
　　例4 （2002山东太原中考题） 已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2+1 0的两个实数根，当x12+x22=15时，求m的值。
　　错解：由根与系数的关系得
　　x1+x2  -（2m+1）, x1x2 m2+1,
　　x12+x22 (x1+x2)2-2 x1x2
　　[-（2m+1）]2-2（m2+1）
　　2 m2+4 m-1
　　又  x12+x22=15
　　2 m2+4 m-1=15
　　m1   -4 m2   2
　　错因剖析：漏掉了一元二次方程有两个实根的前提条件是判别式 0。因为当m   -4时，方程为x2-7x+17 0，此时  （-7）2-4×17×1  -19 0，方程无实数根，不符合题意。
　　正解：m   2
　　例5 若关于 x的方程(m2-1)x2-2 (m+2)x+1 0有实数根，求m的取值范围。
　　错解： [-2(m+2)]2-4(m2-1)  16 m+20
　　0
　　16 m+20 0，
　　m  -5/4
　　又   m2-1 0，
　　m ±1
　　m的取值范围是m ±1且m  -
　　错因剖析：此题只说(m2-1)x2-2 (m+2)x+1 0是关于未知数x的方程，而未限定方程的次数，所以在解题时就必须考虑m2-1 0和m2-1 0两种情况。当m2-1 0时，即m ±1时，方程变为一元一次方程，仍有实数根。
　　正解：m的取值范围是m -
　　例6 已知二次方程x2+3 x+a 0有整数根，a是非负数，求方程的整数根。
　　错解： 方程有整数根，
　　9-4a 0，则a 2.25
　　又 a是非负数， a 1或a 2
　　令a 1，则x  -3± ，舍去；令a 2，则x1  -1、 x2  -2
　　方程的整数根是x1  -1， x2  -2
　　错因剖析：概念模糊。非负整数应包括零和正整数。上面答案仅是一部分，当a 0时，还可以求出方程的另两个整数根，x3 0， x4  -3
　　正解：方程的整数根是x1  -1， x2  -2 ， x3 0， x4  -3
　　【练习】
　　练习1、（01济南中考题）已知关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有两个不相等的实数根x1、x2。（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由。
　　解：（1）根据题意，得 (2k-1)2-4 k2 0 解得k
　　当k  时，方程有两个不相等的实数根。
　　（2）存在。如果方程的两实数根x1、x2互为相反数，则x1+ x2=- =0，
　　解得k  。经检验k  是方程- 的解。
　　当k  时，方程的两实数根x1、x2互为相反数。
　　读了上面的解题过程，请判断是否有错误？如果有，请指出错误之处，并直接写出正确答案。
　　解：上面解法错在如下两个方面：
　　（1）漏掉k 0，正确答案为：当k  时且k 0时，方程有两个不相等的实数根。
　　（2）k  。不满足 0，正确答案为：不存在实数k，使方程的两实数根互为相反数
　　练习2（02广州市）当a取什么值时，关于未知数x的方程ax2+4x-1 0只有正实数根 ?
　　解：（1）当a 0时，方程为4x-1 0， x
　　（2）当a 0时， 16+4a 0  a  -4
　　当a  -4且a 0时，方程有实数根。
　　又因为方程只有正实数根，设为x1，x2，则：
　　x1+x2 -  0 ；
　　x1. x2 -  0 解得 ：a 0
　　综上所述，当a 0、a  -4、a 0时，即当-4 a 0时，原方程只有正实数根。
　　【小结】 以上数例，说明我们在求解有关二次方程的问题时，往往急于寻求结论而忽视了实数根的存在与＂ ＂之间的关系。
　　1、运用根的判别式时，若二次项系数为字母，要注意字母不为零的条件。
　　2、运用根与系数关系时，  0是前提条件。
　　3、条件多面时（如例5、例6）考虑要周全。
　　【布置作业】
　　1、当m为何值时，关于x的方程x2+2（m-1）x+ m2-9 0有两个正根？
　　2、已知，关于x的方程mx2-2（m+2）x+ m+5 0（m 0）没有实数根。求证：关于x的方程
　　（m-5）x2-2（m+2）x + m 0一定有一个或两个实数根。
　　考题汇编
　　1、（2000年广东省中考题）设x1、 x2是方程x2-5x+3 0的两个根，不解方程，利用根与系数的关系，求（x1-x2）2的值。
　　2、（2001年广东省中考题）已知关于x的方程x2-2x+m-1 0
　　（1）若方程的一个根为1，求m的值。
　　（2）m 5时，原方程是否有实数根，如果有，求出它的实数根；如果没有，请说明理由。
　　3、（2002年广东省中考题）已知关于x的方程x2+2（m-2）x+ m2 0有两个实数根，且两根的平方和比两根的积大33，求m的值。
　　4、（2003年广东省中考题）已知x1、x2为方程x2+px+q 0的两个根，且x1+x2 6，x12+x22 20，求p和q的值。